Kompendium der diskreten Mathematik Bernd Baumgarten ISBN: © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen Abbildungsübersicht / List of Figures Tabellenübersicht / List of Tables

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 2 Abb. 2.1: Ein Mengendiagramm

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 3 Abb. 2.2: A ⊆ B

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 4 Abb. 2.3: Durchschnitt und Vereinigung

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 5 Abb. 2.4: Mengendifferenz

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 6 Abb. 2.5: Relatives Komplement

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 7 Abb. 3.1: Zwei Relationen mit unterschiedlichen Eigenschaften

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 8 Abb. 3.2: Vier Relationen mit je einer ausgewählten Eigenschaft

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 9 Tab. 3.1: Tabellarische Darstellung der beiden Relationen aus Abb. 3.1

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 10 Abb. 3.3: Zwei Relationen auf den reellen Zahlen 27 : R 1 (x, y) : ⇔ y = x / 2 (links) und R 2 (x, y) : ⇔ x 2 + y 2 ≤ 1 (rechts)

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 11 Abb. 3.4: Eine Abbildung f : A B

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 12 Abb. 3.5: Eine Relation R und exemplarische Teilmengen von A bzw. B

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 13 Abb. 3.6: Eine Äquivalenzrelation

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 14 Abb. 3.7: Eine Kongruenz R bezu ̈ glich ƒ und die Klassenabbildung ƒ / R von ƒ bezu ̈ glich der Kongruenz

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 15 Abb. 3.8: Eine Halbordnung als Pfeil- und als Hasse-Diagramm

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 16 Abb. 3.9: Eine Halbordnung zur Illustration besonderer Elemente

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 17 Abb : Verbände mit 1, 2, 3 und 4 Elementen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 18 Abb. 3.11: Eine Relation (links) und ihr Inverses (rechts)

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 19 Abb. 3.12: Die Verkettung QR (gestrichelt) zweier Relationen (jeweils durchgezogen)

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 20 Abb. 3.13: Ein Zyklus als Produkt von Transpositionen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 21 Abb. 3.14: Der Aufbau eines binären Klammerausdrucks

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 22 Abb. 3.15: Drei Darstellungsweisen der Induktionshistorie eines Terms

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 23 Abb. 3.16: Ein Baum als Klammerausdruck, als Aufbaubaum des Ausdrucks und als Graph

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 24 Tab. 3.2: Wortlänge und -verkettung als Beispiele rekursiv definierter Funktionen.

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 25 Abb. 3.17: Die Vertauschbarkeit von Abbildung und Erweiterungsschritten – das Prinzip der rekursiven Funktionsdefinition auf einer induktiv definierten Menge

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 26 Abb. 3.18: „Annäherungsweisen“ an eine induktiv definierte Menge

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 27 Abb. 4.1: Eine Formel (Mitte) und ihre Induktionshistorie als Funktionsterm (links) bzw. Syntaxbaum (rechts)

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 28 Tab. 4.1: Die Junktorensemantik

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 29 Abb. 4.2: Rekursive Berechnung eines Wahrheitswerts – bildlich

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 30 Tab. 4.2: Rekursive Berechnung des Wahrheitswerteverlaufs – mittels einer Wahrheitstafel

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 31 Tab. 4.3: Die In-situ-Form der gleichen Wahrheitstafel

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 32 Tab. 4.4: Semantische Eigenschaften und Wahrheitswerteverlauf

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 33 Abb. 4.3: Das Sudoku-Feld, eine Sudoku-Aufgabe und ihre Lösung

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 34 Tab. 4.5: Unterschiede zwischen Substitution und Ersetzung in der Aussagenlogik

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 35 Tab. 4.6: Die 16 möglichen zweistelligen Junktoren

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 36 Tab. 4.7: Die vier möglichen einstelligen Junktoren

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 37 Tab. 4.8: Zwei gewu ̈ nschte Wahrheitswerte fu ̈ r gegebene Argumente

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 38 Tab. 4.9 (links): Wahrheitswerteverlauf fu ̈ r eine Formel

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 39 Abb. 4.4 (rechts): Entscheidungsbaum fu ̈ r diese Formel

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 40 Abb. 4.5: Das Schema einer Problemreduktion

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 41 Tab. 4.10: KNF-Herleitung aus der Wahrheitstafel, Beispiel

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 42 Tab. 4.11: DNF-Herleitung aus der Wahrheitstafel, Beispiel

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 43 Abb. 4.6: Zwei gu ̈ ltige Resolutionsschritte … und ein häufig auftretendes Missverständnis.

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 44 Abb. 4.7: Resolution zum Nachweis der Unerfu ̈ llbarkeit von (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ C) ∧ A ∧ ¬C ; gleichzeitig Nachweis der Allgemeingu ̈ ltigkeit von (¬A ∧ B) ∨ (¬B ∧ C) ∨ A ∨ ¬C per Dualresolution (siehe Folgetext)

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 45 Tab. 4.12: Tableauregeln

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 46 Abb. 4.8: Erfu ̈ llbarkeitsnachweis (links) und DNF-Umformung (rechts) mit Tableaubäumen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 47 Abb. 4.9: Widerlegbarkeitsnachweis und KNF-Umformung mit Dualtableauverfahren

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 48 Tab. 4.13: Schlussregeln des aussagenlogischen Werkzeugkastens

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 49 Abb. 4.10: Werkzeugkasten – Beweisschemata fu ̈ r Blöcke

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 50 Abb. 4.11: Werkzeugkasten – zwei Anwendungsbeispiele

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 51 Abb. 4.12: Äquivalente OBDD, BDD und ROBDD

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 52 Abb. 4.13: Reduktionsschritte beim OBDD – links: Überspringen, rechts: Verschmelzen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 53 Abb. 4.14: Formelaufbau und syntaktische Begriffe an einem Beispiel

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 54 Abb. 4.15: Quantorenauswertung bei endlichem Universum U = {a,b} als Konjunktion bzw. Disjunktion

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 55 Abb. 4.16: Das neue Beweisschema des PL1-Werkzeugkastens: der All-Beweis

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 56 Tab. 4.14: Neue Schlussregeln des PL1-Werkzeugkastens

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 57 Abb. 4.17: Ein Beweis, dass ∀ xP(f (a, x)) → ∃ xP(f (x, a)) eine Tautologie ist

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 58 Abb. 4.18: Beweis, dass ∀ x(P(x) → ∃ y(Q(y) ∧ R(f (x), y))) aus ∀ x(P(x) →Q(x)) und ∀ xR(f (x), x) folgt

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 59 Tab. 4.15: Tableauregeln fu ̈ r Quantoren

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 60 Abb. 4.19: Ein Unerfu ̈ llbarkeitsnachweis mit PL1-Tableaubaum (mit Regelnummern und Knotennummern als Begru ̈ ndungen)

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 61 Tab. 4.16: Neue Schlussregeln des PL1 = -Werkzeugkastens

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 62 Abb. 4.20: Ein PL1 = -Werkzeugkasten-Beweis einer Folgerung aus einer Menge von PL1-Formeln

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 63 Abb. 5.1: Addition −2 + 1 = −1 u ̈ ber Repräsentanten der Äquivalenzklassen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 64 Abb. 5.2: Rationale Zahlen als Äquivalenzklassen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 65 Abb. 5.3: Ein irrationaler Schnitt

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 66 Tab. 5.1: Die Multiplikation von Schnitten

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 67 Abb. 5.4: (2 + i) + (−1 + i) = ・ i

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 68 Abb. 5.5: Die Polardarstellung einer komplexen Zahl

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 69 Abb. 5.6: z 1 ・ z 1 (1 + i) ・ (–1 – i) –2i

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 70 Abb. 5.7: Zählen mittels einer bijektiven Abbildung

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 71 Abb. 5.8: Durchzählen mittels einer bijektiven Abbildung

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 72 Abb. 5.9: Mächtigkeitsvergleich M N mittels Abbildungen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 73 Abb. 5.10: Vereinigung und Verkettung von Auswahlmöglichkeiten

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 74 Abb. 5.11: Ein Baum von abhängigen Verkettungen von Auswahlen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 75 Abb. 5.12: Das Pascal’sche Dreieck – links als Formeln, rechts als Werte

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 76 Tab. 5.2: Geordnete und ungeordnete Stichproben der Größe k aus einer Menge der Größe n – Übersicht

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 77 Abb. 5.13: Strukturbaum eines Experiments

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 78 Abb. 5.14: Aspekte der Unendlichkeit: eine Bijektion auf eine echte Teilmenge (links), eine unbegrenzt absteigende Kette echter Teilmengen (rechts)

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 79 Abb. 5.15: Beispiel fu ̈ r Konstruktion der Bijektion auf die Zwischenmenge im Beweis von Satz 5.12

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 80 Abb. 5.16: Die Ausgangssituation des Cantor’schen Diagonalverfahrens

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Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 82 Abb. 5.18: Ein Durchzählen der positiven Bru ̈ che

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Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 84 Abb. 5.20: Ein Teilerbaum einer natu ̈ rlichen Zahl

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 85 Abb. 6.1: Mengentheoretische und bildliche Darstellung einer Relation auf einer Menge

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 86 Abb. 6.2: Die Königsberger Bru ̈ cken 1836 – kartographisch und als Graph

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 87 Abb. 6.3: Vom Labyrinth zum zugehörigen Graphen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 88 Abb. 6.4: Benachbarte gefärbte Gebiete – geometrisch und als Graph

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 89 Abb. 6.5: Ein kleines Handlungsreisendenproblem

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 90 Abb. 6.6: Die Suche nach einem längsten Kantenzug

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 91 Abb. 6.7: Gleichwertige Darstellungen eines ungerichteten Graphen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 92 Abb. 6.8: Das Königsberger-Bru ̈ cken-Problem mit und ohne Mehrfachkanten

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 93 Abb. 6.9: Mehrdeutigkeiten, die durch Zeichenkonvention vermieden (oben) bzw. durch Interpretationskonvention entschieden (unten) werden

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 94 Abb. 6.10: Zwei planare (oben) und zwei nicht planare Graphen (unten)

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 95 Abb. 6.11: Knoteneinfu ̈ gung (links) und Kantenkontraktion (rechts)

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 96 Abb. 6.12: Ein Beispiel zur Demonstration gleichwertiger Darstellungen eines Graphen, von links: Zeichnung, Nachbarschaftsmatrix, Inzidenzmatrix und Nachbarschaftsliste

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 97 Abb. 6.13: Bilder desselben Graphen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 98 Abb. 6.14: Isomorphie zweier Graphen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 99 Abb. 6.15: Zwei Graphen, beide mit Zyklus u v x u v x wu, Pfad u v x w und Kreis u v x wu

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 100 Abb. 6.16: Wege u ̈ ber Knoten ≤ k + 1

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 101 Tab. 6.1: Einige Begriffe rund um die Weglängen 114

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 102 Abb. 6.17: Ein Beispiel fu ̈ r Weglängen-basierte Begriffe.

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 103 Abb. 6.18: Ein zusammenhängender (links) und ein unzusammenhängender ungerichteter Graph (rechts)

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 104 Abb. 6.19: Ein stark zusammenhängender (links) und ein schwach, aber nicht stark zusammenhängender gerichteter Graph (rechts)

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 105 Abb. 6.20: Zwei Beispiele fu ̈ r Eulerwege

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 106 Abb. 6.21: Ein Dodekaeder – räumlich und eben

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 107 Abb. 6.22: Ein Baum (links) und seine gängige Darstellung (rechts)

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 108 Abb. 6.23: Ein zusammenhängender kreisfreier ungerichteter Graph – kurz: ein wurzelloser Baum

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 109 Abb. 6.24: Zwei Bäume – identisch, wenn ungeordnet, und unterschiedlich, wenn geordnet interpretiert

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 110 Abb. 6.25: Mögliche Auswahlen einer Wurzel in einem kreisfreien ungerichteten Graphen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 111 Abb. 6.26: Der geordnete Baum (v 1,((v 2,()),(v 3,( (v 4,()),(v 5,( )))))) und sein Adressenbaum

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 112 Abb. 6.27: Ein Graph und einer seiner Spannbäume

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 113 Abb. 6.28: Ein zu durchlaufender Baum (links), durchlaufen mit Tiefensuche (Mitte) und mit Breitensuche (rechts)

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 114 Abb. 6.29: Unendlichkeit in Bäumen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 115 Abb. 6.30: Ein knoten- und kantenbeschrifteter gerichteter Graph

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 116 Abb. 6.31: Ein Verkaufsautomat als endlicher Automat

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 117 Abb. 6.32: Ein Syntaxbaum aus der Aussagenlogik

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 118 Abb. 6.33: Ein ungerichteter Graph und ein Spannwald fu ̈ r ihn

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 119 Abb. 6.34: Mögliche (1 und 3b2) und unmögliche Lagen eines Durchmesserpfads im Baum

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 120 Abb. 7.1: Verschiebung ror eines nach rechts und oben unendlichen Gitters

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 121 Tab. 7.1: Multiplikationstafeln zweier Gruppen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 122 Abb. 7.2: Ein Graph mit zwei und ein Graph mit sechs Symmetrien

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 123 Abb. 7.3: Hasse-Diagramm eines Begriffsverbandes

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 124 Abb. 7.4: Charakteristische Unterverbände bei Nicht-Distributivität

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 125 Abb. 7.5: (v i ) 1≤i≤3, eine Familie von Vektoren: Punkt- und Pfeildarstellung, lineare Abhängigkeit

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 126

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 127 Abb. 7.7: Matrix-mal-Vektor

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 128 Abb. 7.8: Matrixmultiplikation

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 129 Tab. 7.2: Lineares Gleichungssystem in normierter Stufenform, knapp und ausgeschrieben

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 130 Abb. 7.9: Ein Beispiel fu ̈ r die Erzeugung der normierten Stufenform

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 131 Abb. 7.10: Ein Beispiel fu ̈ r die Invertierung einer Matrix

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 132 Abb. 7.11: Ein Tensorprodukt von Basisvektoren

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 133 Abb. 7.12: Restmatrix beim Entwicklungssatz, Determinantenberechnung 2×2 und 3×3.

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Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 135 Tab. 7.3: Zwei Spezifikationen mit Sorten, Operatoren und Axiomen in Form von Gleichungen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 136 Abb. 7.14: Zwei triviale 3-Zöpfe und ein nicht-trivialer 3-Zopf

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 137 Abb. 8.1: Ein Glu ̈ cksrad mit W-Raum ({a 1, a 2,..., a 7,}, P), in dem P({a 1, a 2 }) = 1/ 2 gilt

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 138 Abb. 8.2: Zur Siebformel mit drei Mengen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 139 Abb. 8.3: Ein mehrstufiges Zufallsexperiment

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 140 Abb. 8.4: Einstufige Interpretation eines mehrstufigen Zufallsexperiments

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 141 Abb. 8.5: Ziehen ohne Zuru ̈ cklegen als mehrstufiges Zufallsexperiment

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 142 Tab. 8.1: Gewinne G fu ̈ r Ann, H fu ̈ r Ben

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 143 Abb. 8.6: Drei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert und unterschiedlicher Varianz

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 144 Abb. 8.7: Die Wahrscheinlichkeiten P(X = x) (oben) und die kumulative Verteilungsfunktion F X (unten) der Augensumme zweier Wu ̈ rfel.

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 145 Abb. 8.8: Ein Beispiel fu ̈ r die Verdopplungsstrategie

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 146 Abb. 8.9: Berechnung der Wahrscheinlichkeiten beim Aufteilungsproblem

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 147 Abb. 8.10: Eigenschaft und Testergebnis als mehrstufiges Zufallsexperiment

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 148 Tab. 8.2: Übergangswahrscheinlichkeiten beim ersten endlosen Urnenspiel

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 149 Abb. 8.11: Graphische Darstellung von Tab. 8.2

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 150 Tab. 8.3: Einige Übergangswahrscheinlichkeiten beim zweiten endlosen Urnenspiel

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 151 Abb. 8.12: Graphische Darstellung von Tab. 8.3

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 152 Abb. 8.13: Fallen in gerichteten Graphen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 153 Abb. 8.14: Gewinnstand bei wiederholten Mu ̈ nzwu ̈ rfen

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 154 Abb. 8.15: Ein einfacher Irrweg als unendliche Kette

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 155 Abb. 8.16: Ein „biased random walk“

Kompendium der diskreten Mathematik, Bernd Baumgarten ISBN © 2014 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, Mu ̈ nchen 156 Abb. 8.17: Eine Brown’sche Bewegung