Praxis der Lebensversicherungs-mathematik TU Kaiserslautern, SS 2012 von Dr. Hans-Otto Herr

Über mich 56 Jahre alt Mathematikstudium in Mainz Diplom 1983, Promotion 1988 Wissenschaftlicher Mitarbeiter der Uni Mainz von 1984 bis 1988 Ab 1988 Mitarbeiter der DBV Leiter der Produktentwicklung Leben/Rente Verantwortlicher Aktuar der winsecura Pensionskasse Zuletzt Abteilungsdirektor Zum 1.9.2011 mein Arbeitsverhältnis beim AXA- Konzern beendet 1999 erster Gaußpreisträger (damals Jahrespreis der DGVM) zusammen mit Markus Kreer Praxis der Lebensversicherungmathematik TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr 2

Idee zu dieser Vorlesung Die Theorie zur Versicherungsmathematik ist schon lange besser und fortschrittlicher als die Wirklich- keit in der weitaus meisten LVU Diese verwenden noch Methoden, die tlw aus dem Beginn des vorigen Jahrhundert sind. Trotzdem scheinen diese auch für die heutige Zeit robust genug zu sein, wenn man genügend vorsichtig ist. Ziel der Veranstaltung ist, Ihnen eine Vorstellung davon zu geben, was Sie als Versicherungstechnik in der Wirklichkeit nach Ende des Studiums erw. Und Sie sollten damit umgehen können Praxis der Lebensversicherungmathematik 3 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Ideen zu den Übungen Die üblichen Rechenbeispiele Dabei an DAV-Sterbetafeln orientieren, soweit einfach zugänglich Schrittweiser Aufbau eines EXCEL-Modells, das Beitrags-, Deckungskapital- und Überschussberechnung für eine oder zwei Versicherungsformen (z.B. Kapitalbildende LV und/oder Rentenversicherung) liefert Damit könnten auch Effekte bei Parameteränderungen studiert werden Praxis der Lebensversicherungmathematik 4 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Unser Fahrplan oder: was Sie nach dem Sommersemester wissen sollten Grundlegendes aus der elementaren Finanzmathematik Bezeichnungen und Konventionen der Versicherungsmathematik Gesetzlicher Rahmen Grundlegende Versicherungsformen Praxis der Lebensversicherungmathematik 5 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Biometrische Rechnungsgrundlagen Erlebensfall/Todesfallcharakter Erstellung von Rechnungsgrundlagen Kommutationswerte Rentenbarwerte Leistungsbarwerte Weitere Rechnungsrundlagen Äquivalenzprinzip Praxis der Lebensversicherungmathematik 6 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Retrospektive vs. prospektive Deckungsrückstellung Zillmerung Deckungskapital Retrospektive vs. prospektive Deckungsrückstellung Zillmerung Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung Grundsätze der Gewinnzerlegung Überschussbeteiligung (grundsätzlich) Überschussermittlung Beteiligung der Versicherungsnehmer Praxis der Lebensversicherungmathematik 7 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Beitragsfreistellung Weitere Vertragsänderungen Kündigung Beitragsfreistellung Weitere Vertragsänderungen Erhöhungen, Herabsetzungen Was gibt es noch / Was fehlt? Ein paar Worte zur Rechnungslegung Profitabilität Was ist noch unklar? Round up / Ihre Kritik Praxis der Lebensversicherungmathematik 8 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Literatur (eine Auswahl) Grimmer/Führer, Einführung in die LebensversicherungsmathematikVVW 2006 Isenbart/Münzer, Lebensversicherungsmathe- matik für Praxis und Studium, Gabler, 3. A. (?) Gerber, Life Insurance Mathematics, Springer Koller, Stochastische Modelle in der Lebens- versicherung, Springer Praxis der Lebensversicherungmathematik 9 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Grundlegendes aus der elementaren Finanzmathematik Rechnungszins „i“ Begriff „Barwert“ „Rentenbarwert“ Bezeichnungen und Konventionen der Versicherungsma- thematik Feste Buchstaben für gewisse Größen x, y stets Álter eines/r Mannes/Frau ä, a Rentenbarwert vor- /nachschüssig A Leistungsbarwert Praxis der Lebensversicherungmathematik 10 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Praxis der Lebensversicherungmathematik Praxis der Lebensversicherungmathematik 11 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

VAG (Versicherungs- aufsichtsGesetz VVG (VVertragsGesetz) Dazu Gesetzlicher Rahmen Gesetze VAG (Versicherungs- aufsichtsGesetz VVG (VVertragsGesetz) Dazu z.B. Rechtsverordnungen DeckRV HGB Grundlegende Ver- sicherungsformen Personenversicherung KV (PK, PF) LV und RV RisikoV Kapitalbildende LV RV aufgeschoben RV sofort beginnend Dazu BU/EU + … + Exoten wie Aussteuer Praxis der Lebensversicherungmathematik 12 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Allgemeine Struktur eines Vers.Vetrags 1 Haupversicherung + zzgl Zusatzversicherungen Beitragszahlweisen: normalerweise 1/1- jährliche Kalkulation Mögliche Zwen: EB, 1/1, ½, ¼, 1/12 Evtl. abgekürzt Optionen Bfreistellung, Rückkauf + evtl. weitere Andere Versicherungsformen Fondsgebundene, AILV Hinterbliebene Kapitalisation Verantwortlicher Aktuar §12a VAG Dauerhafte Erfüllbarkeit der Verpflichtungedn Testat DeckR in Bilanz Erläuterungsbericht, Vorschlag Übbeteiligung Praxis der Lebensversicherungmathematik 13 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Lebende Lebende Anwärter Biometrische Rechnungsgrundlagen Wichtigster Parameter –neben i - der Beitragskalkulation und Reservestellung Beschreibung der Ausscheideordnung Einfache Version: Periodentafeln Für x=0 bis  qx = Wkeit eines x-Jährigen vor Vollendung des x+1- ten Lebensj. zu sterben Lebende Tote Ausscheideordnung Sterbetafel Reak-tivie-rungsWkeit Reaktivierte Lebende Anwärter Invaliditäts-Wahrscheinlk. Invali-den-Sterb-lichk. Invalide Aktiven-Sterbetafel Praxis der Lebensversicherungmathematik 14 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr Tote

Außer Sterbewkeit noch wichtig: Weitere Ausscheideord- nungen Invalidisierungswk Erwerbsunfähigkeit … Wkeit im Zeitpunkt des Todes verheiratet Wkeit im Alter x zu heiraten Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung = die, mit denen kalkuliert wird 2. Ordnung =tatsächlich beobachtete Probleme Gesundheitsprüfung, listenmäßige Annahme Versicherten-/ Arbeitnehmerkollektive Extreme Situationen „preferrred lives“ Medizinischer Fortschritt Praxis der Lebensversicherungmathematik 15 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Übungen Hier wird auch nur hier vorkommender Stoff behandelt das gesprochene Wort in der Vorlesung, sowie alles, was an der Tafel steht Hinweis Hiermit erhalten Sie das zweite Päckchen der Folien zu dieser Veranstaltung. Bitte beachten Sie, dass diese nicht alles Relevante enthalten. Wichtig sind vor allem auch die Praxis der Lebensversicherungmathematik 16 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Erstellung von Sterbetafeln Erlebensfall/Todesf allcharakter Thema Unisex  Übungen Erstellung von Sterbetafeln Schritt 1: Ermittlung der rohen Sterbewk. Ausgleichen Schritt 2: Zu/Abschläge für Irrtum, Schwankg, Selektion Erlebensfall/Todesf allcharakter Todesfallcharakter = Erhöhung der qx bewirkt Verteuerung des Versicherungsprodukts/ Erhöhung der Verpflichtung; Bsp. Risikoversicherung Erlebensfallcharakter = Erhöhung der qx bewirkt Verbilligung…Reduktion; z.B.: Rentenversicherg Praxis der Lebensversicherungmathematik 17 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Jetzt hat das Warten ein Ende und es gibt Formeln Schritt 3: Vom Geburtsjahr abhängige Zuschläge für den Trend bei der Sterblichkeit für Versicherungen mit Erlebensfallchar., vor allem Renten Bei Todesfallchar evtl Raucher/ Nichtraucher unterschieden Jetzt hat das Warten ein Ende und es gibt Formeln Aber vorher noch ein paar Worte zum Rechnungszins i Festgelegt in Deckrv ist nur der HöchstRz für die Reservierung Fragwürdiger Formalismus (60% der Durchschnitts- Rendite öffentlicher Anleihen…) Praxis der Lebensversicherungmathematik 18 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Wir wiederholen nochmals die festen Bezeichnungen für Parameter: x/y Alter Mann/Frau n Dauer, Vers.dauer t Dauer, BZD m abgel. Dauer s Dauer, Aufschub- zeit i Rechnungszins v = 1/(1+i) d = i/(1+i) = 1 - v Praxis der Lebensversicherungmathematik 19 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

GRUNDSATZ der Kalkulation Es wird immer deter- ministisch nie stocha- stisch gerechnet. Um trotzdem brauch- bare Ergebnisse zu erzielen, ist beson- dere Vorsicht (Zu- schläge) notwendig Praxis der Lebensversicherungmathematik 20 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Die Grundregeln für reservierte Bezeichnungen: Kommutationswerte Formaler Kalkül, der mit wenig Tabellen alle wesentlichen Größen der Kalkulation mit geringem Aufwand errechnen lässt Die Grundregeln für reservierte Bezeichnungen: Barwerte für A einmalige Todesfallleistung E einmalige Erlebensfallleistung a wiederkehrende Erlebensfallleistung dabei a=nachschüssig und ä=vorschüssig Index rechts unten: grundlegendes Alter (x oder y oder xy) Rechts daneben unter Winkel: Dauer (n oder t)) Praxis der Lebensversicherungmathematik 21 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Die Grundregeln (Fortsetzung) Rechts oben: von jährlicher Zahlweise ab- weichende Zahlweise Links unten weitere Zeitparameter, dabei wichtig „Aufschubzeit“ mit senkrechtem Strich rechts daneben: „ n| “ A a ä Praxis der Lebensversicherungmathematik 22 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Dritte Folge. Was bisher geschah: Das letzte Mal reservierte Schreibweisen behandelt. Dazu Korrektur. Für Leistungsbarwert einer RisikoLV ist gebräuchlicher: (statt ) In Übungen durchschnittliche Lebenserwartung behandelt, hier kurzer Abriss an geeigneter Stelle. Dazu werden auch Tafeln zum Download zur Verfügung gestellt. Praxis der Lebensversicherungmathematik 23 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Berechnung eines Rentenbarwertes: Wir erinnern uns [mit v = 1/(1+i)] Jetzt mit Biometrie. Dazu ist zusätzlich gegeben für x=0,…,ω: qx (1 jährige Sterblk) Daraus (1 jährige Überlebenswahrscheinlichkeit) Weiterhin nützlich Praxis der Lebensversicherungmathematik 24 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Die lebenslängliche Variante wäre bei qx=0 ohne Biometrie Damit Die lebenslängliche Variante wäre bei qx=0 ohne Biometrie Praxis der Lebensversicherungmathematik 25 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Und da für gilt, wenn |v| < 1 ä= 1/(1-v) =1/d Wenn wir nun an interessiert sind, können wir genauso rechnen und haben keine Probleme mit dem Limes, da somit Praxis der Lebensversicherungmathematik 26 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Berechne zu normiertem Startwert: die Lebenden (Anmerkung lx+k/lx=kpx) Die klassische Versicherungsmathematik berechnet (mit dem gleichen Ergebnis) anders: Berechne zu normiertem Startwert: die Lebenden (Anmerkung lx+k/lx=kpx) Zwischenbemerk: Mittl zuk.Leb.erwartg = Praxis der Lebensversicherungmathematik 27 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Praxis der Lebensversicherungmathematik Praxis der Lebensversicherungmathematik 28 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Praxis der Lebensversicherungmathematik Praxis der Lebensversicherungmathematik 29 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Hieraus die diskontierten Lebenden und Toten, D und C Hieraus die Summen N und M der D und C Sowie für einige exotischen Versicherungen die Summen T, S der Summen Praxis der Lebensversicherungmathematik 30 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Rentenbarwerte Dann ist Und So ergibt sich Praxis der Lebensversicherungmathematik 31 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Spezialfall x+n = , dann Dx+n = 0, damit äx – ax = 1 – 0 = 1 was aber auch mit bloßem Auge zu erkennen ist Bemerkung: diese Herleitung nutzt die Überlebenden (lx) des Alters x. Genau so hätte man dies auch über die Toten (dx) tun können vielleicht eine Spur umständlicher. Es gilt Praxis der Lebensversicherungmathematik 32 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Rekursionsbeziehungen Oder anders herum Praxis der Lebensversicherungmathematik 33 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Zuschlag bei Normal-geschäft Zuschlag bei Groß-geschäft Unterjährige Beitragszahlung (Zwe) Man kalkuliert meist mit jährlichen Werten Für die Prämie (Beitrag) wird bei unterjähriger Zahlweise meist ein Zuschlag verwendet. Dieser muss (neuerdings) belegt werden. Üblich für den Zahlungsweisezuschlag sind Werte wie: Zahlungs-weise Zuschlag bei Normal-geschäft Zuschlag bei Groß-geschäft 1/ 2 2.0% 1.0% 1/4 3.0% 1/12 5.0% 2.5% Praxis der Lebensversicherungmathematik 34 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Unterjährige Rentenzahlung (Fortsetzung) Davon zu unterscheiden die Modifikation eines (natürlich zunächst für jährliche Zahlungs- weise) gegebenen Rentenbarwertes. Problem: Einfache und auch weit verbreitete Lösung: verwende als Korrektur Abzug in Höhe von (k-1)/2k (vorsch) bzw. (k+1)/2k (nachsch.) also z.B. Praxis der Lebensversicherungmathematik 35 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Risikoversicherungen Leistungsbarwerte Risikoversicherungen A IA siehe Übungen DA Kapitalbildende („gemischte“) Versicherung A siehe Übungen Termfix-Versichertung Rentenverscherung Aufgeschoben siehe Übungen Sofort beginnend Mit Garantiezeit Mit Beitragsrückgewähr im Todesfall Praxis der Lebensversicherungmathematik 36 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Einige wichtige Leistungsbarwe rte (siehe auch Übungen) Praxis der Lebensversicherungmathematik 37 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Weitere wichtige LBW Praxis der Lebensversicherungmathematik 38 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Dieses war der dritte Streich: Leistungsbarwerte und Rentenbarwerte Einfach mit Hilfe von Kommutationswerten Darstellen. Mit kommutationswerten spielen und umgehen können. … doch der vierte kommt sogleich Damit sind wir in der Lage tatsächlich relevante Beiträge auszurechnen Praxis der Lebensversicherungmathematik 39 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

NP = (Leistungsbarwert) / äxt Was wir jetzt schon könnten, ist die Nettoprämie NP für einen Versicherungsvertrag zu bestimmen NP ist eine an sich für den Kunden irrelevante Größe, da sie z.B. keine Kosten berücksichtigt. Sie spielt aber bei der Rechnungslegung (z.B. bei der Zerlegung von Beiträgen und Gewinnquellen) eine wichtige Rolle NP = (Leistungsbarwert) / äxt Praxis der Lebensversicherungmathematik 40 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

z Zillmersatz, in %o Bsumme, also t*B*z Weitere Kosten, Kosten der Verwaltung, des Abschlusses,… Abschlusskosten z Zillmersatz, in %o Bsumme, also t*B*z g lfd AK während bpfl Zeit in %B oder %oVS entweder zur Darstellung von lfd Provision oder Amortisationskosten Praxis der Lebensversicherungmathematik 41 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

 in % B „Inkassokosten“  in %o Vers.Summe während bpf Zeit Verwaltungskosten  in % B „Inkassokosten“  in %o Vers.Summe während bpf Zeit  in %o Vers.Summe während bfr Zeit Dabei Unterschied, ob planmäßig oder außerplanmäßig bfr  in % Rente während Rentenbezug Weitere Zuschläge Stk Stückkosten in € pro Police  Bspsweise in % LBW Praxis der Lebensversicherungmathematik 42 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Schließlich muss noch der Barwert der Beiträge berechnet werden. Damit kann nunmehr auch der Barwert der Kosten eines Vers.Vertrages ermittelt werden. Schließlich muss noch der Barwert der Beiträge berechnet werden. Wie heißt die nahezu triviale Überlegung, die uns die Berechnung des Bruttobeitrages ermöglicht? Praxis der Lebensversicherungmathematik 43 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Äquivalenzprinzip Barwert der Leistungen = Barwert der Beiträge oder auch genauer Barwert der rechnungsmäßigen Leistungen = Barwert der rechnungsmäßigen Gegenleistungen Praxis der Lebensversicherungmathematik 44 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Also hier ein allgemeines Beispiel Nach einer kleinen Rechnung ergibt sich: Praxis der Lebensversicherungmathematik 45 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Beispiele an der Tafel Praxis der Lebensversicherungmathematik 46 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Netto-Prämie (Netto-Beitrag) Ausreichende Prämie (Brutto-Beitrag) Weitere Punkte Netto-Prämie (Netto-Beitrag) Ausreichende Prämie (Brutto-Beitrag) Zillmer-Prämie Spar-Prämie Eintrittsalter Beitragsberechnung Praxis der Lebensversicherungmathematik 47 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Deckungskapital Bei Versicherungsformen, die zum Schluss größere Geldbeträge zur Verfügung stellen (gem KapitalV aber auch Rentenversicherungen zum Ende der Aufschubteit) ist ein Ansparkonto einsichtig Aber auch sonst wird ein Ausgleich benötigt, wie folgendes Beispiel (Tafel) zeigt: Praxis der Lebensversicherungmathematik 48 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Prämienreserve  Deckungsrückstellung  Deckungskapital Beispiele an der Tafel Prämienreserve  Deckungsrückstellung  Deckungskapital Ausgleich Rechnungsgrundlagen Ansparvorgang  Kontoführung Beitragsfreie Zeiten Praxis der Lebensversicherungmathematik 49 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Gemischte Kapitalversicherung Beispiele Gemischte Kapitalversicherung Todesfallleistung > Riskiertes Kaptal Achtung : Verzinsung & Ver-qx-ung der Risikobeiträge Praxis der Lebensversicherungmathematik 50 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Praxis der Lebensversicherungmathematik Praxis der Lebensversicherungmathematik 51 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Ansparvorgang unterschiedlich bei Rente in Aufschubzeit -> Gem Kap Achtung!! Ansparvorgang unterschiedlich bei Rente in Aufschubzeit -> Gem Kap Rente vererbt (negatives Risiko) Kapitalversicherung kostet (normales Risiko) Nächstes Beisp: Risikoversicherung mit konstanter Versicherungssumme Praxis der Lebensversicherungmathematik 52 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Praxis der Lebensversicherungmathematik Praxis der Lebensversicherungmathematik 53 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Risikoversicherung lebenslang = Gemischte Kapitalversicherung mit Endalter ω Nächste Beispiel: Fallende Risikoversicherung Bisher alle Dken weitgehend positiv. Praxis der Lebensversicherungmathematik 54 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Was aber ist das? Praxis der Lebensversicherungmathematik 55 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

DK steuert den Risiko-Ausgleich während der Versicherungsdauer. Wie kommt sowas? DK steuert den Risiko-Ausgleich während der Versicherungsdauer. Wenn das benötigte Geld für die zukünftige Tragung des Risikos fällt, geht das DK unter Null Es gibt auch das Beispiel Praxis der Lebensversicherungmathematik 56 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Praxis der Lebensversicherungmathematik Praxis der Lebensversicherungmathematik 57 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Darum bedingungsmä0ig abfangen! Ist das schlimm? Ja, wg Storni Darum bedingungsmä0ig abfangen! Bisher immer DK vom Anfang her fortgeschrieben (retrospektiv) Es geht auch anders herum (prospektiv) Prospektiv: Praxis der Lebensversicherungmathematik 58 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Retrospektive vs. prospektive Deckungsrückstellung Handelsgesetzbuch    3. Buch - Handelsbücher (§§ 238 342e)    4. Abschnitt - Ergänzende Vorschriften für Unternehmen bestimmter Geschäftszweige (§§ 340 - 341p) 1. … 2. Unterabschnitt - Ergänzende Vorschriften für Versicherungsunternehmen und Pensionsfonds (§§ 341 - 341p)       Praxis der Lebensversicherungmathematik 59 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

4. Titel - Versicherungstechnische Rückstellungen (§§ 341e - 341h) § 341f Deckungsrückstellung (1) Deckungsrückstellungen sind für die Verpflichtungen aus dem Lebensversicherungs- und dem nach Art der Lebensversicherung betriebenen Versicherungsgeschäft in Höhe ihres versicherungsmathematisch errechneten Wertes einschließlich bereits zugeteilter Überschußanteile mit Ausnahme der verzinslich angesammelten Überschußanteile und… Praxis der Lebensversicherungmathematik 60 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

… nach Abzug des versicherungsmathe- matisch ermittelten Barwerts der künftigen Beiträge zu bilden (prospektive Methode). Ist eine Ermittlung des Wertes der künftigen Verpflichtungen und der künftigen Beiträge nicht möglich, hat die Berechnung auf Grund der aufgezinsten Einnahmen und Ausgaben der voran- gegangenen Geschäftsjahre zu erfolgen (retrospektive Methode). Praxis der Lebensversicherungmathematik 61 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

(2) Bei der Bildung der Deckungsrückstellung sind auch gegenüber den Versicherten eingegangene Zinssatzverpflichtungen zu berücksichtigen, sofern die derzeitigen oder zu erwartenden Erträge der Vermögenswerte des Unternehmens für die Deckung dieser Verpflichtungen nicht ausreicht Praxis der Lebensversicherungmathematik 62 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Aber es gilt das erweiterte Äquivalenzprinzip Wenn das Deckungskapital einer Versicherung prospektiv berechnet werden kann, so ist dieses identisch mit dem retrospektiven Deckungskapital Praxis der Lebensversicherungmathematik 63 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

m = abgelaufene Dauer (Jahre) Bezeichnung: mVx Dabei m = abgelaufene Dauer (Jahre) x = ursprüngliches Alter (Eintrittsalter) Genau genommen ist mVx der Wert zum Zeitpunkt „1 Sekunde“ vor Beitragszahlung Also für NettoDK stets oVx= 0 Praxis der Lebensversicherungmathematik 64 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Bisher eigentlich nur NettoDK betrachtet, aber es gibt auch ein KostenDK. Zunächst: beta und gamma STK werden während der bpfl Zeit direkt verbraucht bleibt gamma während beitrfr. Zeit („gamma2“) Praxis der Lebensversicherungmathematik 65 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Die sog. Zillmerung. Nach Dr. August Zillmer (*1831 , +1893 ) Für Versicherungsverträge gibt es ein besonderes Verfahren zur Verrechnung von Abschlusskosten Die sog. Zillmerung. Nach Dr. August Zillmer (*1831 , +1893 ) Die Zillmerung hat zum großen Erfolg der Lebensversicherung in Deutschland wesentlich beigetragen Praxis der Lebensversicherungmathematik 66 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Die Idee: Die Kosten, die direkt bei Abschluss des Versicherungsvertrages entstehen, werden dem Kunden direkt in Rechnung gestellt (Dadurch hohe Abschlussprovisionen an Vermittler möglich). Der höchstmögliche Zillmersatz (=> Obergrenze für negativen Wert per Vertragsbeginn) ist 40%o der Beitrags- Summe (t*B*40%o) Praxis der Lebensversicherungmathematik 67 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

In der Bilanz können für die negativen Werte nicht saldiert werden (auf 0 hochgesetzt). Aber sie werden als „noch nicht fällige Forderungen an VN“ aktiviert. Praxis der Lebensversicherungmathematik 68 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Man hat also zu tilgen während Beitragspflicht Zillmerbetrag/äx,t Dabei i.a. Zillmerbetrag = Zillmersatz*t*B Also ist das gezillmerte DK Praxis der Lebensversicherungmathematik 69 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Beispiele Praxis der Lebensversicherungmathematik 70 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Beispiel Tafelwahl 1 äxt 12,87166798 n 15 x= 50 Sex 2 äxn alpha-z= 0,04000 B= 3.383,80 € i 1,75% d= 0,017199 beta= 0,03000 NP= 3.024,55 € x+n 65 v= 0,982801 gamma-1= 0,00200 PZ= 157,73 € x+t gamma-2= 0,00125 Kosten direkt 201,51 € RentenZW 12 VS= 50.000 KostResBfr= - € LBWe NettoDK ausr DK ZillmerDK GesDK x+m v^x Axn gem Kap 49 0,427379 13,610 0,765914 0,420029 12,872 0,778620 - 2.030,28 € 51 0,412805 12,121 0,791532 2.916,22 € - 1.911,86 € 1.004,35 € 52 0,405705 11,358 0,804655 5.880,25 € - 1.791,51 € 4.088,75 € 53 0,398727 10,582 0,817997 8.893,50 € - 1.669,15 € 7.224,34 € 54 0,391869 9,793 0,831562 11.957,32 € - 1.544,74 € 10.412,58 € 55 0,385130 8,991 0,845363 15.074,25 € - 1.418,18 € 13.656,07 € 56 0,378506 8,174 0,859411 18.247,14 € - 1.289,34 € 16.957,80 € 57 0,371996 7,342 0,873721 21.479,18 € - 1.158,10 € 20.321,07 € 58 0,365598 6,494 0,888307 24.773,57 € - 1.024,33 € 23.749,23 € 59 0,359310 5,629 0,903186 28.134,06 € - 887,88 € 27.246,18 € 60 0,353130 4,746 0,918377 31.565,07 € - 748,56 € 30.816,51 € 61 0,347057 3,843 0,933904 35.071,93 € - 606,16 € 34.465,76 € 62 0,341088 2,919 0,949795 38.660,86 € - 460,43 € 38.200,43 € 63 0,335221 1,972 0,966081 42.339,19 € - 311,07 € 42.028,12 € 64 0,329456 1,000 46.115,50 € - 157,73 € 45.957,77 € 0,323790 - 1,000000 50.000,00 € Praxis der Lebensversicherungmathematik 71 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Hier gibt es wieder Rekursionsformeln m+1Vx= (Dx+m{mVx + Pm} – Cx+m)/Dx+m+1 0Vx = 0 1Vx = (Dx+1*P1 – Cx+1) / Dx+2 Praxis der Lebensversicherungmathematik 72 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Kapitalisation (keine Biometrie) n=t= 40 B=1000 a-z= 0,04 ß= 0,08 i= 1,75% v= 0,9828 äxn= 29,0946 Zillmerung= 1.600,00 € Kostenb= 80,00 € ZillmerB= 54,99 € RisikoB= - € SparB= 920,00 € Praxis der Lebensversicherungmathematik 73 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

BSUM RKW (95%) RKW%BSUM 0Vx= - 1.600,00 € - € - 680,00 € 920,00 € 0% - 1.600,00 € - € - 680,00 € 920,00 € 0% 1Vx= - 691,90 € 228,10 € 1.840,00 € 216,70 € 12% 2Vx= 232,09 € 220,49 € 1.152,09 € 2.760,00 € 1.094,49 € 40% 3Vx 1.172,25 € 1.113,64 € 2.092,25 € 3.680,00 € 1.987,64 € 54% 4Vx 2.128,87 € 2.022,42 € 55% 3.048,87 € 4.600,00 € 2.896,42 € 63% 5Vx= 3.102,22 € 2.947,11 € 64% Praxis der Lebensversicherungmathematik 74 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Praxis der Lebensversicherungmathematik Praxis der Lebensversicherungmathematik 75 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Versicherungsmathematische Bilanzgleichung oVAx = -az · t · PA (m-1VAx + PA – Gm) · (1+i) = px+m-1·(mVAx + Em) + qx+m-1 · Tm  mVAx = [1+i]·{m-1VAx+PA-Gm)/px+n-1 – Em – Tm · qx+m-1/px+m-1 Praxis der Lebensversicherungmathematik 76 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

PA = v·qx+m-1·[Tm – mVAx – Em] + v·Em + v·mVAx – m-1VAx + Gm Nach PA aufgelöst: PA = v·qx+m-1·[Tm – mVAx – Em] + v·Em + v·mVAx – m-1VAx + Gm Riskiertes Kapital = Tm – mVAx – Em Risikoprämie= PR = v·qx+m-1·[Tm–mVAx– Em] Sparprämie= PS= v·Em + v·mVAx – m-1VAx Kostenprämie= PK = Gm = VS·g + ß·PA + … Insgesamt gilt Beitragszerlegung: PA = PR + PS + PK Praxis der Lebensversicherungmathematik 77 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

In der Startposition < 0, also direkt Verbrauch Und wo steckt az? In der Startposition < 0, also direkt Verbrauch Praxis der Lebensversicherungmathematik 78 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung = vorsichtige Schätzung, so dass diese auskömmlich sind  Ex post: man erkennt welches die „richtigen“ Rechnungsgrundlagen gewesen wären. Diese Werte für i, K und qx bezeichnet man mit i‘, K‘ und q‘x und nennt sie Rechnungsgrundlagen 2.Ordnung A priori Praxis der Lebensversicherungmathematik 79 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

i <=> i‘ „Kapitalanlageergebnis“ Dazu benötigt man eine Analyse der Ergebnisse, also eine Aufteilung des Überschusses nach Gewinnquellen i <=> i‘ „Kapitalanlageergebnis“ qx <=> q‘x „Sterblichkeitsergebnis“ K <=> K‘ „Kostenergebnis“ Dies wird für kleine separate Teile des Bestandes gemacht (Bestandsgruppen) und ist der BaFin zu melden. Praxis der Lebensversicherungmathematik 80 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Ein paar Worte zur Rechnungslegung Bilanzdeckungsrückstellung Probleme Unterjährig < 0 Praxis der Lebensversicherungmathematik 81 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Zentrales Hilfsmittel bei Gewinnanalyse ist die Beitragszerlegung letztes mal Zentrales Hilfsmittel bei Gewinnanalyse ist die Beitragszerlegung => Gewinnanalyse Wichtig für Rechnungslegung und Überschussbeteiligung Gleichbehandlungsgrundsatz Praxis der Lebensversicherungmathematik 82 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Gleichbehandlungsgrundsatz §11(2) VAG: Prämien und Leistungen müssen bei vorliegen gleicher Voraussetzungen „nach gleichen Grundsätzen bemessen sein“ Unisex? Praxis der Lebensversicherungmathematik 83 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Grundsätze der Gewinnzerlegung Wir brauchen eine Einschätzung, welche Beiträge zum Ergebnis in welcher Höhe bezogen auf i‘, qx‘ und K‘ entfallen. Diese resultieren aus den vorsichtigen Annahmen der Kalkulation (=> Rohüberschuss Dies auch noch für kleinste Bestands- Gruppen. Praxis der Lebensversicherungmathematik 84 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Verordnung über die Berichterstattung von Versicherungsunternehmen gegenüber dem Bundesaufsichtsamt für das Versicherungswesen (BerVersV)  Gewinnzerlegung Praxis der Lebensversicherungmathematik 85 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Abrechnungs-Verbände Gesamtbestand des LVU Altbestand 28.07.1994 Abrechnungs-Verbände Neubestand 28.07.1994 Bestands-gruppen Praxis der Lebensversicherungmathematik 86 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Abrechnungsverbände des Altbestandes Einzelkapital-versicherung Großleben VBG-Versicherungen Gruppen-Kapitalvers. Nach Sondertf Rentenversich. BU/EU Bausparrisiko Fondsgebundene Pflege Sonstige Praxis der Lebensversicherungmathematik 87 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Bestandsgruppen 100 Inlandsgeschäft (einschließlich Dienstleistungsgeschäft) 3) 110 Einzelversicherung mit Überschussbeteiligung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird 111 Kapitalbildende Lebensversicherung (einschließlich vermögensbildende Lebensversicherungen) mit überwiegendem Todesfallcharakter 112 Risikoversicherung 113 Kapitalbildende Lebensversicherung mit überwiegendem Erlebensfallcharakter 114 Berufsunfähigkeitsversicherung (einschließlich Berufsunfähigkeits-Zusatzversicherungen) 4) 115 Pflegerentenversicherung (einschließlich Pflegerenten-Zusatzversicherungen) 4) 116 Übrige Tarife, aber ohne Sonstige Lebensversicherung (130) 117 Kapitalbildende Lebensversicherung mit überwiegendem Erlebensfallcharakter nach dem AltZertG Praxis der Lebensversicherungmathematik 88 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Bestandsgruppen (Fortsetzung) 120 Kollektivversicherung mit Überschussbeteiligung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird 121 Kapitalversicherung ohne eigene Vertragsabrechnung mit überwiegendem Todesfallcharakter (ohne 122 und 123) 122 Bausparrisikoversicherung 123 Restschuldversicherung 124 Kollektivversicherung mit eigener Vertragsabrechnung 125 Übrige Tarife ohne eigene Vertragsabrechnung, aber ohne Sonstige Lebensversicherung (130) 126 Kapitalbildende Lebensversicherung mit überwiegendem Erlebensfallcharakter nach dem AltZertG 130 Sonstige Lebensversicherung 131 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsnehmer getragen wird 132 Lebensversicherung ohne Überschussbeteiligung, bei der das 133 Tontinenversicherung 134 Kapitalisierungsgeschäfte 135 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsnehmer getragen wird, nach dem AltZertG Praxis der Lebensversicherungmathematik 89 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Bestandsgruppen (Fortsetzung) 130 Sonstige Lebensversicherung 131 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsnehmer getragen wird 132 Lebensversicherung ohne Überschussbeteiligung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird 133 Tontinenversicherung 134 Kapitalisierungsgeschäfte 135 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom Versicherungsnehmer getragen wird, nach dem AltZertG 140 Eigenkapital und sonstige Dienstleistungen einschließlich des Geschäfts der Verwaltung von Versorgungseinrichtungen 200 Auslandsgeschäft (Niederlassungsgeschäft) Praxis der Lebensversicherungmathematik 90 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Kapitalanlage-ergebnis Überschussbeteiligung (grundsätzlich) Rohüber- schuss Risikoergebnis Kapitalanlage-ergebnis Kostenergebnis Weitere Quellen Praxis der Lebensversicherungmathematik 91 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Überschussermittlung Risikoergebnis + Risikobeiträge ./. Aufwendungen für Leistungsfälle + freiwerdendes DK -------------------------------------------- Praxis der Lebensversicherungmathematik 92 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Kapitalanlageergebnis + Erträge aus Kapitalanlagen ./. Rechnungsmäßige Zinsen ./. Aufwendungen ------------------------------------ ordentliche/außerord. Erträge Mischung & Streuung Praxis der Lebensversicherungmathematik 93 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Verwaltungskostenergebnis ./. Tatsächliche Abschlusskosten + rechnungsmäßige Abschlusskosten ./. Tatsächliche Verwaltungskosten + rechnungsmäßige Verwaltungskosten ---------------------------------------------- Praxis der Lebensversicherungmathematik 94 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Rückversicherungsergebnis Stornoergebnis Sonstiges Ergebnis Weitere Quellen Rückversicherungsergebnis Stornoergebnis Sonstiges Ergebnis Praxis der Lebensversicherungmathematik 95 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Wir erinnern uns an die Beitragszerlegung: PA = PR + PS + PK Hier nun die Kontributionsformel: Em – Am = 0 (wg Äquivalenzprinzip) aber: gx.m = E‘m – A‘m = [E‘m – Em]- [A‘m–Am] = gx,m,q + gx,m,i + gx,m,K Kontributionsformel #Hierbei ist gx,m,q das Risikoergebnis gx,m,i das Kapitaslanlageergebnis gx,m,K das Kostenergebnis Praxis der Lebensversicherungmathematik 96 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

gx,m,q = [Tx,m–Exm–m-1VxA]·{q‘x+m-1- qx+m-1} Dabei gx,m,q = [Tx,m–Exm–m-1VxA]·{q‘x+m-1- qx+m-1} gx,m,i = [m-1VxA+PBm-Kx,m] ·{i‘- i} gx,m,K = [(PBm – NPm) – Kx,m] ·{1 + i} Praxis der Lebensversicherungmathematik 97 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Ge-winn-betei-ligung Gewinnbeteiligung/Überschussbeteili gung Ge-winn-betei-ligung Lfd Über-schuss-betei-ligung Schluss-über-schuss-Betei-ligung Lei-stungs-fall- bonus Praxis der Lebensversicherungmathematik 98 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Wir haben das letzte mal gelernt Wie der Beitrag zerlegt wird Wie die Deckungsrückstellung zerlegt und fortgeschrieben wird (Kontributionsformel) Wie der Rohüberschuss ermittelt wird Welche Eigenschaften die Überschussbeteiligung haben muss Welche Rolle die RfB dabei spielt Praxis der Lebensversicherungmathematik 99 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Gewinnbeteiligung soll Zeitnah ausschütten Verursachungsgerecht Gleichbehandlung Möglichst ausgeglichen  RfB (Rückstellung für Beitragsrückerstattung Praxis der Lebensversicherungmathematik 100 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Ge-winn-betei-ligung Gewinnbeteiligung/Überschussbeteili gung Ge-winn-betei-ligung Lfd Über-schuss-betei-ligung Schluss-über-schuss-Betei-ligung Lei-stungs-fall- bonus Praxis der Lebensversicherungmathematik 101 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

RfB Freie Gebundene SÜA-Fond Interessant Beschränkungen gegen zu fette RfB - steuerlich 4% Rendite auf Stammkapital < letzte 2 Zuführungen - BaFin Praxis der Lebensversicherungmathematik 102 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Aufsichtsrechtliche Beschränkungen der RfB … 1984 RQV -> 1996 ZRQuotenV -> 2006 MindestZV (Neubestand) Mindestbet Risiko/Kosten/Kapitalanl/sonst. Ergebnis 75% 50% 90% 50% Berücksichtigung BWR Gilt für „normale“ LVU Ausnahmen §56a(3) VAG Unvorhersehbare Verluste Erhöhung der Deckungsrückstellung Praxis der Lebensversicherungmathematik 103 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Beteiligung der Versicherungsnehmer Ereignisorientierte Übbet Stichtagsorientierte Übbet Periodenorientierte Übbet Direktgutschrift…. Praxis der Lebensversicherungmathematik 104 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

DK + BonusDK + Ansammlungsguthaben Zinsüberschussanteile VN –Guthaben DK + BonusDK + Ansammlungsguthaben Zinsüberschussanteile Schlussüberschuss-Anteile Leistungsfallbonus Beitragvorwegabzug Bonusrente Gewinnrente Misch-System … wie‘s geht? -> Tafel Praxis der Lebensversicherungmathematik 105 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Koppelungen Direktgutschrift Bezugsgröße VN-Guthaben/Deckungskapital Kein Umweg über RfB Vorteil: anrechenbar auf Zinsüb/.. Annechenbar auf MindestZV Aber : Obergrenze (i+DG < ??) Koppelungen z.B. Leistungsfallbonus Beitragsvorwegabzug (Achtung DK!) Praxis der Lebensversicherungmathematik 106 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Vertragsänderungen Der Kunde hat nach VVG (§§ 165 ff) das Recht zum Ende der Versicherungsperiode seinen Versicherungsvertrag beitragsfrei zu stellen oder ganz zu beenden. Rückkaufswert/bfr. Versicherungssumme sind nach den „anerkannten Regeln der Versicherungsmathematik“ zu bestimmen Praxis der Lebensversicherungmathematik 107 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Was also erhält der Kunde als Rückkaufswert? {Theorie} Mögliche Antwort (Diskussion darüber ist noch im Gange: Handelswert ./. Stornoabschlag Für Stornoabschlag sind folgende Gründe berücksichtbar: Kleinerer Bestand => erhöhtes Schwankungsrisiko Fehlende Tilgung alpha-g-Kosten Verteilung Fixkosten Auflösung von Kaypitalanlagen zur Unzeit Gegenauslese/Antiselektion Praxis der Lebensversicherungmathematikn 108 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Max{mVx· (1 – g1) – [VS – mVx] ·g2; Max[0 ; (5 – m)/5] · t · Pa · αz} Was also erhält der Kunde als Rückkaufswert? [Praxis: vereinbart & angemessen] Max{mVx· (1 – g1) – [VS – mVx] ·g2; Max[0 ; (5 – m)/5] · t · Pa · αz} + mVxBonus + Ansammlungsguthaben Praxis der Lebensversicherungmathematik 109 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

72 Kündigung Praxis der Lebensversicherungmathematik 110 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

… Praxis der Lebensversicherungmathematik 111 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

… Praxis der Lebensversicherungmathematik 112 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

… Praxis der Lebensversicherungmathematik 113 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

… Praxis der Lebensversicherungmathematik 114 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

… Praxis der Lebensversicherungmathematik 115 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

… Praxis der Lebensversicherungmathematik 116 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

… Praxis der Lebensversicherungmathematik 117 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

… Praxis der Lebensversicherungmathematik 118 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

… Praxis der Lebensversicherungmathematik 119 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

… Praxis der Lebensversicherungmathematik 120 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

… Praxis der Lebensversicherungmathematik 121 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr