16. Zweidimensionale quadratische Formen

Wenn zwischen U T = (u, v) und X T = (x, y) der folgende Zusammenhang besteht X = D  U wobei D eine umkehrbare 2  2-Matrix sein soll, so ergibt diese Transformation q = X T  A  X = U T  D T  A  D  U = U T  C  U Durch orthogonale Koordinatentransformation mit Hilfe der zweidimensionalen Drehmatrix D =D = geht die Matrix A der quadratischen Form in die Matrix über C = D T  A  D mit |C| = |D T |  |A|  |D| = |A| Sie verändert ihren Charakter dadurch nicht, denn es wird lediglich das Koordinatensystem gedreht.

Durch orthogonale Koordinatentransformation kann jede quadratische Form vereinfacht werden. Jede symmetrische Matrix A lässt sich mit Hilfe einer Drehmatrix D auf die Diagonalform C (mit c 12 = c 21 = 0) bringen. Jede quadratische Form lässt sich also in der reduzierten Form schreiben q = c 11 u 2 + c 22 v 2 (Wenn der Rang der Matrix A kleiner als zwei ist, so enthält die Summe weniger als zwei Summanden.)

1 = x 2 + 4xy + y 2

Übungen 16.1 Beweisen Sie anhand der folgenden Gleichung: Bei der Drehung einer symmetrischen 2  2-Matrix bleibt die Spur erhalten = 5x 2 + 3xy + 7y 2. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage = 3x 2 - 2xy + y 2. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage = x 2 + 2xy + y 2. Finden Sie die Diagonalmatrix C. Finden Sie die Drehwinkel für die Hauptachsenlage.

1 = 5x 2 + 3xy + 7y 2 A = =

= 0 = 2sin  cos  + 3cos 2  – 3/2 3/2 - 3cos 2  = 2sin  cos  9/4 - 9cos 2  + 9cos 4  = 4sin 2  cos 2  9/4 - 9cos 2  + 9cos 4  = 4(1 - cos 2  )cos 2 

= 0 = 2sin  cos  + 3cos 2  – 3/2 3/2 - 3cos 2  = 2sin  cos  9/4 - 9cos 2  + 9cos 4  = 4sin 2  cos 2  9/4 - 9cos 2  + 9cos 4  = 4(1 - cos 2  )cos 2  9/4 - 13cos 2  + 13cos 4  = 0 z 2 – z + 9/52 = 0 cos 2  = z cos 

 = arccos cos  = 0,8817 0, , ,4719  =  28,15°  61,85°  151,8°  118,15°

 = arccos cos  = 0,8817 0, , ,4719  =  28,15°  61,85°  151,8°  118,15°  = -28,15° +61,85° +151,8° -118,15° x y u v c 11 =4,197 7,803 4,197 7,803 c 22 =7,803 4,197 7,803 4,197 a = 1/  c 11 =0,488b = 1/  c 22 =0,358 a b X = D  U

x y u v a b 1 = 5x 2 + 3xy + 7y 2 A =C = Spur(A) = 12 = c 11 + c 22 = Spur(C) |A| = 35 – 9/4 = c 11  c 22 = |C| |A| = 1  |A|  1 = |D T |  |A|  |D| = |D T  A  D| = |C| c 11 + c 22 = 12 c 11  c 22 = 32,75 c ,75/c 11 = 12 c c ,75 = 0 = 7,803 oder 4,197

1 = x 2 + 2xy + y 2 A = =

0 = 1 - 2sin 2  oder sin 2  = cos 2  sin  =  1/  2  =  45° oder  =  135° Wahl: 45°  cos  =1/  2 = sin 

0 = 1 - 2sin 2  oder sin 2  = cos 2  sin  =  1/  2  =  45° oder  =  135° Wahl: 45°  cos  =1/  2 = sin  c 11 = 2c 22 = 0 1 = 2u 2 u =  1/  2 v u

1 = x 2 + 2xy + y 2 A = c 11 + c 22 = 2 c 11  c 22 = 0 c 11 = 0 oder c 22 = 0 1 = (x + y) 2 y = -x  1 u v x y u v

5 = 3x 2 - 2xy + y 2 A = =

= 0 = -2sin  cos  + sin 2  - cos 2  2sin  cos  = 1 - 2cos 2  4sin 2  cos 2  = 1 - 4cos 2  + 4cos 4  4(1 - cos 2  )cos 2  = 1 - 4cos 2  + 4cos 4  8cos 4  - 8cos 2  + 1 = 0

= 0 = -2sin  cos  + sin 2  - cos 2  2sin  cos  = 1 - 2cos 2  4sin 2  cos 2  = 1 - 4cos 2  + 4cos 4  4(1 - cos 2  )cos 2  = 1 - 4cos 2  + 4cos 4  8cos 4  - 8cos 2  + 1 = 0 z 2 – z + 1/8 = 0 cos 

 = arccos cos  = 0,923 0,382  =  22,5°  67,5°  = -22,5° +67,5°

 = arccos cos  = 0,923 0,382  =  22,5°  67,5°  = -22,5° +67,5° c 11 + c 22 = 4 c 11  c 22 = 2 c /c 11 = 4 c c = 0 = 3,41 oder 0,59 A =