Optimierung des Volumen eines Zylinders in einem Kegel Von Veysi Demir und Ann-Kathrin Beck
Einem Kegel vom Radius RK=3 cm und der Höhe HK=6 cm wird ein Zylinder eingeschrieben. Wie muss rz und hz gewählt werden, damit ein maximales Volumen erreicht wird?
Skizze RK=3 cm; HK=6 cm HK hz rz RK
Mathematische Herleitung Zielfunktion: VZylinder= π*rz²*hz Da die beiden Dreiecke gleichgroß sind, erhält man folgende Nebenbedingung: HK/RK = hz/(RK-rz) => hz=HK/RK*(RK-rz) Wir setzen h in die Zielfunktion ein: VZylinder= π*rz²*HK*(RK-rz)/RK Wir setzen für RK=3 und für HK=6 ein: VZylinder: π*rz²*6*(3-rz)/3
Mathematische Lösung I VZylinder = π*rz²*6*(3-rz)/3 = (18*π*rz²-6*π*rz³)/3 = -2*π*rz³+6*π*rz² V‘Zylinder = -6*π*rz²+12*π*rz 0 = -6*π*rz²+12*π*rz | / (-6*π) 0 = rz²-2*rz | / rz 0 = rz-2 rz = 2
Mathematische Lösung II V‘‘Zylinder = -12*π*rz+12*π | rz einsetzen = -12*π*2+12*π = -36,69911184 Damit liegt in rz=2 ein Hochpunkt vor!
Ergebnis: Bei rz=2 ist das Volumen am größten Funktionsgraph Ergebnis: Bei rz=2 ist das Volumen am größten
Solver I Das Volumen V muss mit einer Formel berechnet werden: V=π*rz²*HK*(RK-rz)/RK Menü: „Extras“ „Solver“
Volumen soll maximal sein Solver II Veränderbare Zelle Volumen soll maximal sein nächste Folie
Solver III Markieren sie den Optionsbutton, um die Lösung zu verwenden Wählen sie die Schaltfläche „OK“, um die Lösung zu verwenden Wählen sie die Schaltfläche „Abbrechen“, um zurück in die Mappe zu gelangen
Solver IV Markieren sie den Optionsbutton „Ausgangswerte“, um die Ausgangswerte wiederherzustellen Wählen sie die Schaltfläche „Szenario speichern“, um das Szenario zu speichern
Lösung Der Zylinder hat das maximale Volumen, wenn rz=2 beträgt.
Quellen http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/extrem.htm