Leere Menge, Teilmenge, N, Z Mengenlehre und Zahlenmengen Grundrechenarten Leere Menge, Teilmenge, N, Z V 0.1

Mengenlehre und Zahlenmengen Nenne eine beliebige Menge! {1,2,3, ..} { } {1000} {5,7} {Franz} {a,b,c} {0} {10,20} Mathematik macht Spaß! 04.05.2013

Mengenlehre und Zahlenmengen Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Elementen mit gemeinsamer Eigenschaft, z.B. die Menge der SchülerInnen einer Klasse. Beispiele: M1 = {Anna, Gerald, Lena, Alex} M2 = {Deutsch, Mathematik, Englisch} Mathematik macht Spaß! 04.05.2013

Mengenlehre und Zahlenmengen Angabe von Mengen Mengen können auf zwei verschieden Arten angegeben werden: Aufzählendes Verfahren; Beschreibendes Verfahren. Beispiele: Aufzählendes Verfahren: M = {1, 2, 3, 4} Beschreibendes Verfahren: M = {alle Zahlen x für die gilt: x ist natürliche Zahl und x ist kleiner als 5} = {x | x ϵ N und x < 5} Mathematik macht Spaß! 04.05.2013

Mengenlehre und Zahlenmengen Leere Menge Eine besondere Menge ist die leere Menge {}. Sie enthält kein Element. Als Beispiel könnte etwa die Menge aller SchülerInnen der 1A, die älter als 12 Jahre sind, leer sein, also M = {}. Beispiele: Menge aller natürlichen Zahlen, die kleiner als 0 sind = { }. Menge aller Schüler der 1A mit einer Glatze = { }. Menge aller Professoren, die Latein, Englisch und Mathematik unterrichten = { } Mathematik macht Spaß! 04.05.2013

Mengenlehre und Zahlenmengen Teilmenge Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element der Menge A auch Element der Menge B ist. Zum Beispiel ist die Menge A aller Mädchen der 1A eine Teilmenge der Menge B aller SchülerInnen der 1A, geschrieben A ⊂ B. Beispiele: M = {1, 2, 3}, B = N (Menge der natürlichen Zahlen)  M ⊂ B. M = {-1, 0, 1}, B = N (Menge der natürlichen Zahlen)  M  B. Mathematik macht Spaß! 04.05.2013

Mengenlehre und Zahlenmengen Menge der natürlichen Zahlen Die Menge der natürlichen Zahlen enthält alle Zahlen, die durch natürliches Zählen entstehen, also 1,2,3,4,... Die Zahl 0 ist nicht Bestandteil der Menge N. Die Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen um die Zahl 0 wird mit N* bezeichnet. Beispiele: N = {1, 2, 3, …} Menge der natürlichen Zahlen N* = {0, 1, 2, 3, …} Menge der natürlichen Zahlen, erweitert um {0} Mathematik macht Spaß! 04.05.2013

Mengenlehre und Zahlenmengen Menge der ganzen Zahlen Die Menge der ganzen Zahlen enthält alle natürlichen Zahlen sowie alle mit einem negativen Vorzeichen versehenen natürlichen Zahlen, also ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.... Außerdem ist die Zahl 0 Bestandteil der Menge Z. Beispiel: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Mathematik macht Spaß! 04.05.2013

Mengenlehre und Zahlenmengen Beziehung zwischen N und Z Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen, also N ⊂ Z. Beispiel: N = {1, 2, 3, …} ⊂ {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} = Z Mathematik macht Spaß! 04.05.2013

Mengenlehre und Zahlenmengen Mengendiagramm Z: Ganze Zahlen {… -2, -1, 0, 1, 2, …} N: Natürliche Zahlen {(0), 1, 2, 3, …} N ist Teilmenge von Z Mathematik macht Spaß! 04.05.2013

Mengenlehre und Zahlenmengen Zusammenfassung Menge: Zusammenfassung von Elementen mit gleicher Eigenschaft Angabe von Mengen: Aufzählendes Verfahren Beschreibendes Verfahren Leere Menge { }: enthält kein Element Teilmenge: A ⊂ B, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind Menge der natürlichen Zahlen: N = {1, 2, 3, ..} bzw. N* = 0, 1, 2, 3, …} Menge der ganzen Zahlen: Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} N ⊂ Z Mathematik macht Spaß! 04.05.2013

Mengenlehre und Zahlenmengen Aufgaben Wie lautet die Menge aller SchülerInnen, deren Vorname mit einem „A“ beginnt, im aufzählenden Verfahren? Wie lautet die Menge aller SchülerInnen, die im November Geburtstag haben, im beschreibenden Verfahren? Gib eine Teilmenge von N im aufzählenden Verfahren an, die nur gerade Zahlen enthält! Gib eine leere Menge im beschreibenden Verfahren an? Nenne eine Teilmenge der Ganzen Zahlen! Wie kommt es zum Begriff Natürliche Zahlen? Wie viele Elemente enthält die Menge {0} Zu welcher Zahlenmenge gehört die Zahl {-7}? Zu welchen Zahlenmengen gehört die Zahl {0}? Welche Zahlenmenge ist größer: Natürliche Zahlen oder Ganze Zahlen? Ist jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl? Mathematik macht Spaß! 04.05.2013

Mengenlehre und Zahlenmengen ENDE Mathematik macht Spaß! 04.05.2013