Prof.Dr. Regina Bruder TU Darmstadt Mathematik verstehen, behalten und anwenden – Konsequenzen für Lerninhalte und Lernmethoden Prof.Dr. Regina Bruder TU Darmstadt MNU Frankfurt 16.4.2003

Was soll im Mathematikunterricht wie gelernt werden? Aktuelle Diskussion Was soll im Mathematikunterricht wie gelernt werden? Und: Warum? Orientierung an Entwicklungen in der Mathematik und ihren Anwendungen soziologischen Einsichten Folgerungen zu Lernzielen für Mathematik (H. Winter u.a.) Ergebnissen der Lehr- und Lernforschung (Weinert u.a.) Erfahrungswissen

Was sich Lernende wünschen und vorstellen: Aktuelle Diskussion - verschiedene Perspektiven Was sich Lernende wünschen und vorstellen: vorurteilsfreie Lehrer/innen, die gut erklären können ernst genommen werden und etwas „Sinnvolles“ lernen (müssen) Lernchancen erhalten – toleranter Umgang mit Fehlern und klare Orientierungen ein harmonisches Lernumfeld und gerechte Beurteilungen

Themenfelder für vernetztes Lernen Gliederung Was ist das Wesentliche, das im MU verstanden, behalten und angewendet werden sollte? Themenfelder für vernetztes Lernen Wie kann man Mathematik so lernen, dass die Inhalte verstanden, behalten und angewendet werden können? Handlungskompetenzen spezifizieren Moderne Methoden basierend auf erprobten Lehr- und Lernkonzepten

Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Lernziele – drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, behalten und angewendet werden können? Mathematische Gegenstände ... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art ... begreifen. Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) Erscheinungen der Welt um uns ... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

Verstehen, Behalten und Anwenden können – aber was? Lernziele – ein Beispiel Verstehen, Behalten und Anwenden können – aber was? Einstieg: Gedankenexperiment: Wer ist schneller? Ein Ruderboot auf einem See rudert eine bestimmte Strecke gleichmäßig hin und wieder zurück. Zur gleichen Zeit startet ein gleich starkes Ruderboot auf einem Fluss und fährt die gleiche Streckenlänge genauso wie das andere – jedoch einmal flussaufwärts und einmal flussabwärts.

Lernziele – ein Beispiel 1. Für einen 800m-Lauf wird eine bestimmte Zeit anvisiert. Daraus wird die durchschnittliche Rundenzeit t ermittelt. Um sich vom Feld abzusetzen, soll die erste Runde jedoch 10sec schneller sein als bei gleichmäßigem Tempo notwendig wäre. Wie viel Zeit steht dann für die 2.Runde zur Verfügung? 800m-Zeit insgesamt: 2 t 1.Runde: t – 10 sec 2.Runde: t + 10 sec Mathematische Beschreibung: Arithmetisches Mittel

Lernziele – ein Beispiel 2. Ein Geldverleiher möchte einen durchschnittlichen Zinssatz von 8% pro Jahr erreichen. Er bietet einem Kunden an, im ersten Jahr nur 2% Zinsen zu zahlen, dafür im 2.Jahr dann 14%. Die Zinsen sollen zusammen mit der Rückzahlung des Kapitals am Ende des 2.Jahres fällig werden. Problem: Mathematische Beschreibung: Geometrisches Mittel

> a,b pos. reell Lernziele – ein Beispiel Beobachtung: Das arithmetische Mittel ist etwas größer als das geometrische Mittel. Fragen: Ist das immer so? Warum denn? Beschreibungsebene der Mathematik: Vermutung: > a,b pos. reell Begründung durch eine geometrische Interpretation: a b

X = ( ( )² Lernziele – ein Beispiel a b Erweiterung: Gibt es einen algebraischen Zusammenhang zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel ? Der Kathetensatz ermöglicht eine Verknüpfung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel X = ( ( )²

Arithmetisches Mittel Lernziele – ein Beispiel Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel 3. Für einen Besuch bei Freunden wurde für die Autofahrt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100km/h eingeplant. Leider gab es einen Stau, so dass die erste Hälfte der Strecke nur mit einem „Schnitt“ von 50km/h absolviert wurde. Wie schnell hätte auf der zweiten Hälfte gefahren werden müssen, um trotzdem wie vorgesehen am Ziel einzutreffen?

Lernziele – ein Beispiel Für die Zeit gilt bei konstanter Geschwindigkeit : Fahrzeit 1. Hälfte + Fahrzeit 2.Hälfte = Gesamtzeit Interpretation: Die für den Gesamtweg geplante Zeit ist bereits nach der 1.Weghälfte abgelaufen!

Lernziele – ein Beispiel Was ist das für ein „Mittelwert“? Für die Geschwindigkeit gilt: Dann gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit über die beiden Weghälften: Und mit Vereinfacht ergibt sich: Harmonisches Mittel

Lernziele – ein Beispiel: Mittelwerte im Mathematikunterricht Fragen: Wo liegt das harmonische Mittel im Vergleich zu den beiden anderen Mittelwerten? Beschreibungsebene der Mathematik: zu Termumformung von a b

- Mittelwerte im Mathematikunterricht Weitere Mittelwerte: Quadratisches Mittel und Kubisches Mittel mit Anwendungen: Standardabweichung - Wann ist ein Weinbecher halb voll? *Weiterung: Konstruierbarkeit der Winkeldreiteilung

Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Lernziele – Folgerungen für den Lehrplan? Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, behalten und angewendet werden können? Funktion von Mathematik zur Aufklärung struktureller Unterschiede in realitätsbezogenen Situationen erkennen Der Begriff Mittelwert besitzt verschiedene Ausprägungen Beispielkontexte und Visualisierungen als Merkhilfen Mittelwerte als mathematische Modelle begreifen und in verschiedenen Kontexten wiedererkennen und nutzen

Folgerungen für Lehrplan, Standards und Schulcurriculum? Lernziele – Folgerungen? Folgerungen für Lehrplan, Standards und Schulcurriculum? Einige Defizite von Stoffplänen können überwunden werden durch schulspezifische Akzentuierungen, insbesondere: Ausweisen von Themenfeldern mit einem Realitätsbezug, um Vernetzungen zu ermöglichen, Strategien zur Wissensentwicklung kennen zu lernen und die Kraft von Mathematisierungen zu erfahren Beispiele: Mittelwerte, Fibonaccizahlen - Fünfeck, Kryptographie, Verpackungsoptimierung, Bezierkurven...

Lehrpläne – verschiedene Perspektiven Vorwürfe an Mathematiklehrpläne von KÜHNEL: „1. Sie sind in ihrer Stoffülle undurchführbar, oder sie verführen...zu oberflächlicher Behandlung und veranlassen damit auch die Schüler zu Oberflächlichkeit. 2. Sie befördern die Methode des Stopfens, sie machen den Schüler satt und verleiden ihm Lernen und Schule. 3. Sie können viel zu wenig Rücksicht nehmen auf das jugendliche Verständnis und die jugendliche Entwicklung... 4. Sie bringen eine durch nichts zu rechtfertigende, aber in den meisten Fällen recht schädliche Verfrühung mit sich. 5. Ihr Durcharbeiten gibt in keiner Weise die Gewähr dafür, daß der betreffende Schüler nachher wirklich etwas leisten wird.“ Kühnel, J.: Neubau des Rechenunterrichts. Leipzig 1916

Themenfelder für vernetztes Lernen Gliederung Was ist das Wesentliche, das im MU verstanden, behalten und angewendet werden sollte? Themenfelder für vernetztes Lernen Wie kann man Mathematik so lernen, dass die Inhalte verstanden, behalten und angewendet werden können? Handlungskompetenzen spezifizieren Moderne Methoden basierend auf erprobten Lehr- und Lernkonzepten

Lernziel und Lernchance im MU: Methodische Umsetzung – am Beispiel Problemlösen Lernziel und Lernchance im MU: Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) Weg zur Umsetzung: Zielkonkretisierung über Teilhandlungen des Problemlösens Theoretisches Konzept zum Problemlösenlernen entwickeln und erproben (DFG-Projekt) Unterrichtskonzept zum Problemlösenlernen in die Aus- und Fortbildung und in Lernmedien integrieren: Begründeter Methodeneinsatz

Stadtrundgang mit der Mathematikbrille... Teilhandlungen des Problemlösens Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen auch in Alltagssituationen und können solche Fragestellungen formulieren Stadtrundgang mit der Mathematikbrille... Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- wo wird dabei Mathematik benötigt? Wo und wie benötigt man im Alltag Strukturieren, Kombinieren, Optimieren, Entscheidungen begründen, Verallgemeinern, Interpretieren...

Teilhandlungen des Problemlösens Die Lernenden - können mathematische Fragen finden und formulieren - kennen mathematische Modelle bzw. geeignete Vorgehensweisen zur (kreativen) Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situationsgerecht anwenden Funktionen, Gleichungen, Visualisierungen ( geometrische Figuren und Beziehungen ), zentrale mathematische Ideen (Approximieren- Optimieren, Algorithmieren...) und heuristische Strategien...

Teilhandlungen des Problemlösens Die Lernenden können mathematische Fragen finden und formulieren kennen mathematische Modelle und können Vorgehensweisen anwenden - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln - Strategien für selbstreguliertes Lernen (insbesondere Willensstrategien) vermitteln Erfolgserlebnisse ermöglichen Binnendifferenzierung Anlässe für eigenverantwortliches Lernen

Lernziel Problemlösen Probleme leistungsstarker Schüler/innen im MU – Probleme von Begabtenerkennung und -förderung besondere Leistungen in Mathematik finden weniger Anerkennung als in anderen Bereichen, begünstigen u.U. eine Außenseiterrolle geringe Akzeptanz alternativer Lösungsideen im MU führt zur Resignation – Talente können verkümmern, Verhaltensauffälligkeiten sind eine mögliche Folge Unterforderung im Mathematikunterricht hemmt die Leistungsbereitschaft

Mathematik verstehen, behalten und anwenden lernen – aber wie? Lernziel Problemlösen – Lehr- und Lernkonzepte Mathematik verstehen, behalten und anwenden lernen – aber wie? Wesentliche Bedingungen für das Entstehen von Lernhandlungen: Lernaufgaben Handlungsaufforderungen: WAS? WARUM das? Orientierungsgrundlagen für die erforderlichen Handlungen WIE kann ich vorgehen?

Verstehen – behalten – anwenden können erfordert: Lernziele – Lernaufgaben Verstehen – behalten – anwenden können erfordert:   Zielklarheit: Vergewissern, ob die „gestellten“ Lernziele mit den individuellen Lernaufgaben übereinstimmen Ausgangsniveau: Vergewissern, ob die Lernenden eine realistische Chance haben, die Lernaufgabe zu bewältigen

Unterrichtsrealität TIMSS-Videostudie - Muster des deutschen MU 1.       Einführung: Besprechung der Hausaufgabe. 2.       Wiederholung: kurze Wiederholungsphase bei zügigem Interaktionstempo 3.       Erarbeitung: neuer mathematischer Stoff wird im fragend-entwickelnden Unterrichtsgespräch auf eine einzige Lösung hin relativ kurzschrittig erarbeitet    4. Übung in Stillarbeit ähnliche Aufgaben zur Einübung des Verfahrens 5. Hausaufgaben

Unterrichtsrealität und Folgerungen: Zu wenig kreativitätsfördernde Anforderungen Flexibles Arbeiten mit Aufgaben: Aufgaben abwandeln, erweitern, auswählen, finden, gruppieren, vergleichen, werten... Es genügt nicht, die Lernenden mit geeigneten Aufgaben nur zu konfrontieren und darauf zu hoffen, dass diese dann auch gelöst werden (können)! Heuristische Bildung und Selbstregulation Kurzschrittig geführtes unreflektiertes Lernen behindert die Anwendungsfähigkeit und Verfügbarkeit des Wissens Lernumgebungen für nachhaltiges Lernen: Themenfelder

Verschiedene Lernziele – verschiedene Lehr-Lernmethoden

modulare Arbeitsplanung – semantische Netze Handlungsorientierungen – aber wie? Verstehen, Behalten und Anwenden können – moderne und altbekannte Unterrichtsmethoden modulare Arbeitsplanung – semantische Netze Aufgabenkonzept für eine Unterrichtseinheit permanente Wiederholung (Kopfübung, Mathematikführerschein, Wissensspeicher anlegen) Methodentraining (Heuristik) und Methodenreflexion (Lernprotokolle) Teilhandlungen ausbilden

Unterrichtsrealität und Vergleichsstudien Was unterscheidet den MU in testerfolgreichen, kulturell vergleichbaren Ländern von weniger erfolgreichen? tiefgreifende Veränderungen in der Unterrichtskultur in den letzten Jahrzehnten (selbst. Lernen, Realitätsnähe) gut funktionierende Unterstützung für die Schulpraxis Autonomie, Verantwortung und Ansehen der Lehrkräfte auf relativ hohem Niveau gehalten enge Zusammenarbeit zwischen universitären Institutionen und Schulpraxis Initiativen in der Lehreraus- und Fortbildung staatliche Investitionen in fachdidaktische Forschung und Entwicklung IMST-Studie, Klagenfurt 1999

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