Geometrie von Objektoberflächen Hauptseminar Computer Vision Geometrie von Objektoberflächen Vortragender: Hermann Mayer Betreuer: Thorsten Schmitt

Themenübersicht: Funktionale Darstellung von Objekten Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Themenübersicht: Funktionale Darstellung von Objekten Projektion und Rekonstruktion Tiefenkarten aus Gradienten Gradientenraum Folie: 1 15. Dezember 2000

Repräsentation von 3D-Objekten: Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Repräsentation von 3D-Objekten: nur begrenzter Speicherplatz schnelle Rekonstruktion des Objekts aus gespeicherten Daten möglichst gute Annäherung Bereitstellung von Werkzeugen zur Objektbearbeitung Folie: 2 15. Dezember 2000

Lösungsansatz: Zerlegung des Objekts in Facetten (Polygone) Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Lösungsansatz: Zerlegung des Objekts in Facetten (Polygone) Facetten sind Ebenen des R3 Folie: 3 15. Dezember 2000

Allgemeines Facettenmodell: Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Allgemeines Facettenmodell: Objektoberfläche wird für einen betrachteten Punkt P(X0, Y0, Z0) in der lokalen Umgebung als Ebene dargestellt ε P(X0, Y0, Z0) Folie: 4 15. Dezember 2000

Spezielles Facettenmodell - Polygone: Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Spezielles Facettenmodell - Polygone: Lokale Umgebung als Polygon Objektoberfläche aus zusammengefügten planaren Segmenten Vorteil: Keine überlappenden Bereiche Folie: 5 15. Dezember 2000

Ebenen im R3 Funktionsgleichung: z Aufpunkt r O y x Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Ebenen im R3 Funktionsgleichung: z Aufpunkt r O y x Folie: 6 15. Dezember 2000

Normalen Normalenvektor repräsentiert komplanare Ebenen Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Normalen Normalenvektor repräsentiert komplanare Ebenen Steht senkrecht auf der Ebene Einheitsnormale Folie: 7 15. Dezember 2000

Gradienten Steigung der Ebene im R2 (XY-Raum) Ausrichtung der Ebene Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Gradienten Steigung der Ebene im R2 (XY-Raum) Ausrichtung der Ebene Äquivalenz Normale  Gradient z Gradient y Normale x Folie: 8 15. Dezember 2000

3D-Anstieg Richtungsableitung in der XY-Ebene s t Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen 3D-Anstieg Richtungsableitung in der XY-Ebene s t Folie: 9 15. Dezember 2000

Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Taylorreihe f(x) x0 x Folie: 10 15. Dezember 2000

Kugel im R3 Deklination (slant)  Azimut (tilt)  bzw. Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Kugel im R3 Deklination (slant)  Azimut (tilt)  bzw. Folie: 11 15. Dezember 2000

Grosskreis und Raumwinkel Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Grosskreis und Raumwinkel A r Einheit Steradiant Folie: 12 15. Dezember 2000

Projektion t > 1 P = (X,Y,Z) t = 1 Q = (x,y,f) t = 0 Z P Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Projektion t > 1 P = (X,Y,Z) t = 1 Q = (x,y,f) t = 0 Z P O = (0,0,0) (0,0,f) Z XY - Ebene xy - Ebene Q xy - Ebene O Folie: 13 15. Dezember 2000

Verschiedene Kameratypen Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Verschiedene Kameratypen Zentralprojektion Parallelprojektion Grosser Aufnahmebereich Skalierung Einfache Technik Leichte Berechnung der Bildpunkte Folie: 14 15. Dezember 2000

Höhen- und Tiefenkarten Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Höhen- und Tiefenkarten z.B. bei Parallelprojektion d O Bildebene(xy) Objektoberfläche y Eintrag relativer bzw. absoluter Werte d x Folie: 15 15. Dezember 2000

Rückprojektion aus Tiefenkarten Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Rückprojektion aus Tiefenkarten z.B. bei Zentralprojektion P(X,Y,Z) f Q(x,y,f) d O Bildebene(xy) Problem: Auflösung vom Gradienten abhängig Objekt Folie: 16 15. Dezember 2000

Anwendungsbeispiel: Bumpmapping Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Anwendungsbeispiel: Bumpmapping + = Graubild wird als Tiefenkarte interpretiert Beleuchtung der Bildebene wird entsprechend angepasst Folie: 17 15. Dezember 2000

Anwendungsbeispiel: Voxelspacing Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Anwendungsbeispiel: Voxelspacing Die unterschiedlichen Farben (einer Palette) werden als Höheninformation interpretiert Unterschiedliche Höhen  Pixelsäulen Folie: 18 15. Dezember 2000

Gradientenfelder Projektion der Facettengradienten in die Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Gradientenfelder Projektion der Facettengradienten in die Bildebene: w(X,Y)=(p(X,Y),q(X,Y))T Folie: 19 15. Dezember 2000

Nadelkarten r y x x = cos() * sin() * s y = sin() * sin() * s Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Nadelkarten r y x x = cos() * sin() * s y = sin() * sin() * s Folie: 20 15. Dezember 2000

Rückprojektion von Ebenen Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Rückprojektion von Ebenen Gegeben: Abstand r, Gradient (p,q) P(X,Y,Z) f Q(x,y,f) O (0,0,f) (0,0,r) Folie: 21 15. Dezember 2000

Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Shape from Shading Folie: 22 15. Dezember 2000

Propagationsverfahren Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Propagationsverfahren Folie: 23 15. Dezember 2000

Frankot-Chellappa Algorithmus Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Frankot-Chellappa Algorithmus Folie: 24 15. Dezember 2000

Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Gradientenraum Darstellung der Normalenverteilung auf Objektoberflächen Abbildung im euklidschen Raum R2 fehlende Linearität repräsentiert Ebenenschar (p,q) Folie: 25 15. Dezember 2000

Gaussche Kugel Bessere Repräsentation bzgl. Winkelverteilung Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Gaussche Kugel Bessere Repräsentation bzgl. Winkelverteilung Folie: 26 15. Dezember 2000

Stereographische Zentralprojektion Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Stereographische Zentralprojektion gnomonisch stereographisch Kompromiss zwischen Gausscher Kugel und (p,q)-Ebene Folie: 27 15. Dezember 2000

Projektion eines Gradienten Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Projektion eines Gradienten Folie: 28 15. Dezember 2000

Eigenschaften: Orthogonale Ebenen Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Eigenschaften: Orthogonale Ebenen n2 =(p2,q2,-1) Normalen stehen senkrecht zueinander n1 =(p1,q1,-1) (p2,q2) (p1,q1) Folie: 29 15. Dezember 2000

Schnitt zweier Ebenen n1 n2 G Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen Schnitt zweier Ebenen n1 n2 G Folie: 30 15. Dezember 2000

konkave / konvexe Kanten Hauptseminar Computervision: Geometrie von Objektoberflächen konkave / konvexe Kanten konkav konvex A = C Folie: 31 15. Dezember 2000