Grade der Unentscheidbarkeit semi-entscheidbar nicht einmal das
entscheidbare Mengen Eine Menge L heißt entscheidbar, wenn es eine Turingmaschine T gibt, die bei Eingabe von w L „ja“ auf das Band schreibt und dann stoppt, und bei Eingabe von w L „nein“ auf das Band schreibt und dann stoppt. Man nennt dies ein zweiseitiges Entscheidungsverfahren.
semi-entscheidbare Mengen Eine Menge L heißt semi-entscheidbar, wenn es eine Turingmaschine T gibt, die bei Eingabe von w L „ja“ auf das Band schreibt und dann stoppt. bei Eingabe von w L unbekannt reagiert (endlos schleift, stoppt, irgendwas schreibt). Man nennt dies ein einseitiges Entscheidungsverfahren.
Sätzchen: Jede entscheidbare Menge ist semi-entscheidbar.
Goldbach-Zahlen Eine gerade Zahl nN, n4 heißt Goldbach-Zahl, wenn sie die Summe zweier Primzahlen ist. Beispiele: 8=3+5, 12=5+7.
Collatz-Zahlen Collatz-Folge a0 selbst wählen ( N) ak+1 = ak/2 falls ak gerade ak+1 = 3ak+1 falls ak ungerade Eine Zahl nN heißt Collatz-Zahl, wenn die Collatz-Folge mit a0 = n bei 1 endet.
Beispiele 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
vollkommene Zahlen Eine Zahl nN heißt vollkommene Zahl, wenn sie die Summe ihrer echten Teiler ist (ohne n, mit 1). Beispiel: 6=1+2+3.
Beispiele 6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064
Die ersten 10 vollkommenen Zahlen 6 28 496 8.128 33.550.336 8.589.869.056 137.438.691.328 2.305.843.008.139.952.128 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638. 130.997.321.548.169.216
palindromerzeugende Zahlen Eine Zahl nN heißt palindromerzeugende Zahl, wenn das folgende Verfahren abbricht: 1. a(0) = n, k = 0. 2. a(k+1) = a(k) + sp(a(k)). (Spiegelbild) 3. Wenn a(k+1) ein Palindrom ist, dann stopp, 4. sonst k um 1 erhöhen und weiter bei 2.
palindromerzeugende Zahlen sp(z) ist die Zahl z rückwärts gelesen, also ihr Spiegelbild: sp(417) = 714, sp(5296) = 6925. Ein Palindrom ist eine Zahl p, die rückwärts wie vorwärts gelesen gleich ist, d.h. es gilt p=sp(p): 727, 3, 4774
Beispiele 59: 59+95=154, 154+451=605, 605+506=1111. 67: 67+76=143, 143+341=484. 89: 89+98=187, 187+781=968, 968+869=1837, 1837+7381=9218, 9218+8129=17347, ...
Beispiele 89, 187, 968, 1837, 9218, 17347, 91718, 173437, 907808, 1716517, 8872688, 17735476, 85189247, 159487405, 664272356, 1317544822, 3602001953, 7193004016, 13297007933, 47267087164, 93445163438, 176881317877, 955594506548, 1801200002107, 8813200023188.
Satz: Ist eine Menge L semi-entscheidbar und ihr Komplement { w | wL} ebenfalls semi-entscheidbar, so ist L entscheidbar.
Satz: Eine Menge L ist genau dann semi-entscheidbar, wenn L von einer Chomsky-0-Grammatik erzeugt wird.
Hausaufgabe Sei L eine semi-entscheidbare Menge, die nicht entscheidbar ist. Ist L' = { aw | w L } { bw | w L } entscheidbar, semi-entscheidbar oder nicht einmal das? Tipp: Nimm an, L' sei semi-entscheidbar. Was folgt daraus für L?