7.2 B-Bäume / B*-Bäume als Hilfsmittel zur Indexorganisation Literatur: N. Wirth, "Algorithmen und Datenstrukturen", Teubner-Verlag, Stuttgart Idee: mehrstufiger Index verbinde Einfügen und Löschen von Sätzen mit Restrukturierung der Index-Organisation Ó AIFB SS2001 Ziel: gleichmäßiger Füllgrad der Blöcke der Hauptdatei, keine Degeneration der verwendeten Baumstruktur.

7.2.1 Definitionen aus der Graphentheorie (1/12) Gerichteter Graph: G = (W, U) mit Knotenmenge W und Kantenmenge U  W  W Ó AIFB Ein Tupel (a,b)  U heißt gerichtete Kante oder Pfeil. a ist unmittelbarer Vorgänger von b, b ist unmittelbarer Nachfolger von a. Notation: a  b a b Ein Tupel (a,b)  U heißt gerichtete Kante oder Pfeil. a ist unmittelbarer Vorgänger von b, b ist unmittelbarer Nachfolger von a. Notation: a  b SS2001

7.2.1 Definitionen aus der Graphentheorie (2/12) Gegeben sei eine Kantenfolge (a,a1), (a1,a2),...,(aL-1,b) U. Eine solche Kantenfolge nennt man gerichteten Weg der Länge L von a nach b. a ist Vorgänger von b . b ist Nachfolger von a. Notation: a * b Ó AIFB SS2001 a b

7.2.1 Definitionen aus der Graphentheorie (3/12) Ein Baum ist ein gerichteter Graph G = (W, U) mit: Ó AIFB (i) Es existiert genau ein w0 W mit: w0 hat keinen Vorgänger. Dieses w0 heißt Wurzel von G. SS2001 (ii) Außer der Wurzel w0 hat jeder Knoten w W genau einen unmittelbaren Vorgänger. (iii) Für jeden Knoten w W existiert genau ein Weg von der Wurzel w0 nach w.

7.2.1 Definitionen aus der Graphentheorie (4/12) Zulässige Baumstruktur Keine Baumstruktur Ó AIFB SS2001 Bemerkung: (i)  (iii)  (i)  (ii)  (iii)

7.2.1 Definitionen aus der Graphentheorie (5/12) Behauptung: (i)  (iii)  (i)  (ii)  (iii) Beweis: Angenommen, w  W beliebig, w0  W Wurzel, w  w0 . Dann gilt: (iii): $ genau ein Weg w0 * w somit: entweder w0  w oder w0  .....  u  w Somit gibt es einen unmittelbaren Vorgänger u von w.´(ggf. u =w0 ) Sei nun v  W mit v  w: (mit (iii) gilt) Ó AIFB SS2001 w0 * u  w w0 * v  w u v (ii)

7.2.1 Definitionen aus der Graphentheorie (6/12) Alternative rekursive Definition von Baum: (r1) G = ({w}, Ø) ist ein Baum mit Wurzel w. (r2) Sei für i =1..n Gi = (Wi, Ui) ein Baum mit Wurzel wi, Wi  Wj = Ø für i  j, W :: Wi w0  W Ó AIFB SS2001 n = i=1 n U = Ui i=1 Dann ist auch G' = (W{w0}, U  {(w0, wi) | i = 1,..,n} ) ein Baum, und zwar mit Wurzel w0.

7.2.1 Definitionen aus der Graphentheorie (7/12) (r3) Nur die so erzeugten Graphen sind Bäume. Ó AIFB SS2001 ........ n

7.2.1 Definitionen aus der Graphentheorie (8/12) Begriffe zu Bäumen Sei G = (W, U) Baum mit Wurzel w0 und seien a, b, c W. Falls (a,b) U, dann heißt a Vater von b und b Sohn von a. Ó AIFB SS2001 a b c

7.2.1 Definitionen aus der Graphentheorie (9/12) Falls (a,b) U und (a,c) U, dann heißt b (c) Bruder von c (b). Der Ausgangsgrad s(a) eines Knotens a ist definiert als die Anzahl der unmittelbaren Nachfolger von a: s(a) ::= #{c | (a,c) U }. Ó AIFB SS2001 Ein Knoten w eines Baumes heißt Blatt genau dann, wenn s(w) = 0. Die Höhe H(w) eines Knotens w in einem Baum G = (W,U) ist die Länge des Weges von der Wurzel w0 zum Knoten w. Ist w ein Blatt, so bezeichnet man diesen Weg von w0 nach w als Ast.

7.2.1 Definitionen aus der Graphentheorie (10/12) Die Höhe eines Baumes G = (W,U) ist H(G) := max{H(a) | a W } Ó AIFB Die Ordnung eines Baumes G = (W,U) ist r(G) := max{s(a) | a W } SS2001 Ein Teilbaum zu einem Knoten a U ist ein Baum Ga= (Wa, Ua) mit Wa = {a }  {b W | b ist Nachfolger von a in G } und Ua = U  (Wa  Wa)

7.2.1 Definitionen aus der Graphentheorie (11/12) Geordneter Baum ( W, U, < ): (W, U) ist ein Baum. < ist eine Teilordnung auf W, die jeweils alle Brüder anordnet. Ó AIFB SS2001 Sei w W, und seien a, b, c, ... Söhne von w. Teilordnung: a < b < c < ...; Es kann vom ersten / zweiten / ... / nächsten / vorhergehenden / letzten Sohn von w gesprochen werden.

7.2.1 Definitionen aus der Graphentheorie (12/12) In der graphischen Darstellung werden die Brüder bzgl. < von links nach rechts aufsteigend angeordnet. Ó AIFB SS2001 w .......... a b c