Primzahlen und ihre Verteilung

Warum beschäftigt man sich mit Primzahlen?

Warum beschäftigt man sich mit Primzahlen? Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Zahlen (Eindeutige Primfaktorzerlegung!)

Warum beschäftigt man sich mit Primzahlen? Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Zahlen (Eindeutige Primfaktorzerlegung!) Primzahlentheorie findet in der modernen Kryptographie Anwendung z.B. RSA: Prinzip: Multiplikation von Primzahlen ist „leicht“ Aufspaltung von großen Zahlen in ihre Primteiler ist „schwer“

Warum beschäftigt man sich mit Primzahlen? Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Zahlen (eindeutige Primfaktorzerlegung!) Primzahlentheorie findet in der modernen Kryptographie Anwendung (z.B. RSA) Primzahlen spielen eine wichtige Rolle in der modernen Zahlentheorie

Definition Eine natürliche Zahl n heißt Primzahl, wenn sie genau 2 Teiler hat. Merke: 1 ist nicht prim!

Definition Merke: 1 ist nicht prim! Eine natürliche Zahl n heißt Primzahl, wenn sie genau 2 Teiler hat. Merke: 1 ist nicht prim! In dieser Darstellung werden folgende Konventionen benutzt: p bezeichnet immer eine Primzahl P bezeichnet die Menge aller Primzahlen

Primzahlentheorie in der Antike Es ist nicht genau bekannt wann Menschen das erste Mal über Primzahlen nachdachten Erstes Wissen über Primzahlen nachweisbar bei den antiken Griechen, genauer bei den Pythagoräern ca. 500-300 v.Chr. Um 300 v.Chr.: Euklids Elemente Buch IX: Der Beweis für die Existenz von unendlich vielen Primzahlen. 200 v.Chr.: Das Sieb des Eratosthenes (Algorithmus zur Bestimmung von Primzahlen bis zu einer Zahl x)

Das antike China Die antiken Chinesen beschäftigten sich mit Primzahlen im Rahmen ihrer Zahlenmystik. In der chinesischen Vorstellung waren ungerade Zahlen männlich und gerade weiblich. Ungerade Zahlen mit vielen Teilern galten als „unmännlich“. Primzahlen galten daher als besonders männlich

Das antike China Die antiken Chinesen beschäftigten sich mit Primzahlen im Rahmen ihrer Zahlenmystik. Sie stellten jedoch auch einige Vermutungen auf, die erst von Fermat bewiesen werden konnten

Das antike China Das Mittelalter Die antiken Chinesen beschäftigten sich mit Primzahlen im Rahmen ihrer Zahlenmystik. Sie stellten jedoch auch einige Vermutungen auf, die erst von Fermat bewiesen werden konnten Keine Weiterentwicklung der Primzahlentheorie.

Primzahltheorie nach dem Mittelalter Die ersten neuen Erkenntnisse zur Primzahltheorie wurden durch Fermat und Mersenne erzielt: Mersennesche Primzahlen: Nicht jede Zahl dieser Form ist prim!

Die größte bekannte Primzahl Die größte bekannte Primzahl ist eine Mersennesche Primzahl und wurde am 14.12.2005 durch GIMPS* entdeckt: Eine Zahl die 9.152.052 Dezimalstellen lang ist. *(Great Internet Mersenne Prime Search)

Leonard Euler und die Primzahlen Euler fand einen weiteren Beweise für die Existenz von unendlich vielen Primzahlen. Dieser stand im engen Zusammenhang zur Eulerschen Zetafunktion:

Eulers Beweis für die Existenz von unendlich vielen Primzahlen

Leonard Euler und die Primzahlen Darüber hinaus bewies er weitere Zusammenhänge zur Primzahlverteilung: daraus folgerte er, dass Primzahlen dichter in N liegen als Quadratzahlen. Euler führte außerdem als erster analytische Methoden in die Zahlentheorie ein!

Wie sind die Primzahlen in den natürlichen Zahlen verteilt? Betrachte die Funktion Einige Werte für π(x) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … π(x) 0 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5

Wie sind die Primzahlen in den natürlichen Zahlen verteilt? Betrachten wir zunächst den Graph von π(x) im Zahlenraum bis 100:

π(x) im Bereich [0,100]

Wie sind die Primzahlen in den natürlichen Zahlen verteilt? Die Grafik verdeutlicht, dass die Funktion π(x) unregelmäßig Ihren Funktionswert ändert. Es stellt sich die Frage, ob es möglich ist, eine elementare Funktion anzugeben, welche die Anzahl der Primzahlen bis zu einer Zahl x angibt.

Wie sind die Primzahlen in den natürlichen Zahlen verteilt? Wollen wir eine elementare Funktion finden, die π(x) angibt, so stoßen wir zunächst auf ein Problem: Es gibt beliebig große Primzahllücken! Eine Primzahllücke ist ein Intervall der natürlichen Zahlen in dem keine Primzahl existiert. Beispiel: [8,10]

Existenz von beliebig großen Primzahllücken. Beweis: Betrachte k aus N. Bilde [k!+2,k!+k]. Für jede Zahl n aus [k!+2,k!+k] gilt: sie wird von mindestens einer Zahl 2,3,…,k geteilt. Damit ist n keine Primzahl! Es existieren also beliebig große Bereiche in den natürlichen Zahlen, die keine Primzahlen enthalten

Wie können wir dennoch etwas über die Verteilung von P in N erfahren? Wir müssen eine Funktion finden die π(x) approximiert! Ist dies möglich?

Wie können wir dennoch etwas über die Verteilung von P in N erfahren? Wir müssen eine Funktion finden die π(x) approximiert! Ist dies möglich? - Ja! Betrachte π(x) auf einem größeren Intervall:

π(x) im Bereich der ersten 800 Primzahlen

π(x) im Bereich der ersten 8000 Primzahlen

Wie können wir dennoch etwas über die Verteilung von P in N erfahren? Wir müssen eine Funktion finden die π(x) approximiert! Betrachte π(x) auf einem größeren Intervall: π(x) scheint sich global in Form einer stetigen Funktion annähern zu lassen. Dabei gilt jedoch, dass π(x) lokal immer unstetig bleibt, und somit auf keinem Intervall mit einer stetigen Funktion übereinstimmen kann!

Wie können wir dennoch etwas über die Verteilung von P in N erfahren? Definition: Eine Funktion f(x) heißt asymptotisch gleich zu einer Funktion g(x) wenn gilt: In Zeichen f(x)~g(x) d.h. der Funktionswert der Funktionen ist für beliebig große x annähernd gleich.

Gauß 1792 und Legendre 1798 Beim Studium von Logarithmentafeln und Primzahltabellen entdeckte C.F. Gauß einen Zusammenhang zwischen den Logarithmen und der Primzahlen in N. Er stellte folgende Vermutung auf, konnte diese jedoch nicht beweisen.

Gauß 1792 und Legendre 1798 Legendre stieß ebenfalls auf die Gauß‘sche Vermutung und veröffentlichte diese 1798. Die besondere Leistung von Gauß und Legendre liegt darin, dass Sie den Zusammenhang zwischen Logarithmen und Primzahlen erkennen konnten, ohne unsere (wesentlich erweiterten) Primzahltabellen Es zeigte sich jedoch bald, dass die Funktion π(x) für große x nur sehr schlecht approximiert.

Ziel: genauere Abschätzungen für π(x) Legendre fand daraufhin die (für kleine x) genauere Abschätzung: Heute wissen wir, dass die bessere Wahl für die Konstante 1 gewesen wäre! Diese Abschätzung konnte Legendre noch nicht treffen!

Ziel: genauere Abschätzungen für π(x) Gauß vermutete dagegen: Li ist der Integrallogarithmus Eine Abschätzung die sich auch für große x als erstaunlich genau herausstellte!

Ziel: genauere Abschätzungen für π(x) Gauß konnte jedoch auch diese Vermutung nicht beweisen! Anmerkung: Die Aussage Li(x)~ π(x) ist äquivalent zu da Li(x) ebenfalls asymptotisch gleich zu der Funktion ist.

Die Güte der Approximation von π(x) Betrachten wir im Folgenden die Graphen von 1. π(x) 2. 3. Li(x) im Bereich der Zahlen bis 1000 und im Bereich bis 100.000

Die Güte der Approximation von π(x) Die Grafik lässt erkennen, dass Li(x), π(x) für große x besser approximiert als Die Grafik verleitet zu der Annahme, dass die Beziehung Li(x)> π(x) für alle x gilt. Man kann jedoch zeigen, dass für große x genauso häufig Li(x)< π(x) oder Li(x)= π(x) gilt.

Pafnuty Tschebyscheff (1821-1894) Russischer Adeliger Um 1850: wenn existiert, dann ist der Grenzwert 1

Pafnuty Tschebyscheff (1821-1894) Russischer Adeliger Um 1850: wenn existiert, dann ist der Grenzwert 1 Bewies die Abschätzung:

Pafnuty Tschebyscheff (1821-1894) Konnte außerdem das Bertrandsche Postulat beweisen: Tschebyscheff konnte zwar die Gaußsche Vermutung nicht beweisen, lieferte jedoch wichtige Zwischenergebnisse auf dem Weg zu einem Beweis!

Bernhard Riemann Untersuchte ebenfalls die Eulersche Zetafunktion, erweiterte den Definitionsbereich jedoch auf komplexe Zahlen! Riemanns Untersuchungen führten zum Beweis der Gauß`schen Vermutung.

Der Primzahlsatz Beweis der Gaußschen Vermutung 1898 durch Hadamard und (unabhängig davon) von de La Vallee de Poisson:

Der Primzahlsatz Beweis der Gaußschen Vermutung 1898 durch Hadamard und (unabhängig davon) von de La Vallee de Pouisson: Der Beweis erfolgte durch den Nachweis, dass Kein elementarer (d.h. auf den reellen Zahlen) basierender Beweis!

Der elementare Beweis des Primzahlsatzes Konnte erst 1948 von P. Erdös und A. Selberg erbracht werden. Der elementare Beweis konnte mit Hilfe neuer, von Selberg entdeckter, Siebmethoden geführt werden. Die Entdeckung des Beweises führte zum Streit zwischen Selberg und Erdös, der erst nach einiger Zeit beigelegt werden konnte.

Die Riemannsche Vermutung Bernhard Riemann fand bei der Untersuchung der Zetafunktion im komplexen folgende Vermutung: Diese Vermutung ist bis heute unbewiesen, sie wird Riemannsche Vermutung genannt.

Die Riemannsche Vermutung Die so genannten trivialen Nullstellen: Man kann zeigen, dass die Zetafunktion auf den negativen Zahlen fortsetzbar ist Dort hat die Funktion Nullstellen, die sie an Vielfachen von s = - 2 annimmt. Diese Nullstellen werden die trivialen Nullstellen der Zetafunktion genannt. (siehe auch Prachar, Karl: Primzahlverteilung Berlin 1957)

Die Riemannsche Vermutung Warum ist die Riemansche Vermutung wichtig für die Verteilung von Primzahlen?

Die Riemannsche Vermutung Warum ist die Riemansche Vermutung wichtig für die Verteilung von Primzahlen? H. Koch konnte 1901 zeigen, dass die Riemannsche Vermutung äquivalent ist zu:

Die Riemannsche Vermutung H. Koch konnte 1901 zeigen, dass die Riemannsche Vermutung äquivalent ist zu: Die Riemannsche Vermutung ermöglicht damit eine Abschätzung der Güte der Approximation. Sie liefert also direkt Informationen über die Verteilung der Primzahlen in N.

Die Riemannsche Vermutung Ein Beweis der Riemannsche Vermutung könnte wichtige Informationen über die Verteilung der Primzahlen liefern! Sie ist eines der Jahrtausendprobleme des Clay Mathematics Instituts

Zusammenfassung Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Zahlen

Zusammenfassung Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Zahlen Einige offene Fragen in der Zahlentheorie beziehen sich direkt auf die Theorie der Primzahlen.

Zusammenfassung Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Zahlen Einige offene Fragen in der Zahlentheorie beziehen sich direkt auf die Theorie der Primzahlen. Die Riemannsche Vermutung liefert wichtige Informationen zur Verteilung der Primzahlen

Zusammenfassung Primzahlen sind die „Atome“ der natürlichen Zahlen Einige offene Fragen in der Zahlentheorie beziehen sich direkt auf die Theorie der Primzahlen. Die Riemannsche Vermutung liefert wichtige Informationen zur Verteilung der Primzahlen Primzahlen finden vielfältige Anwendung in der modernen Welt (ohne sie gibt es kein RSA, womit e-commerce in der uns heute bekannten Weise nicht möglich wäre)

Quellen und weiterführende Literatur Prachar, Karl: Primzahlverteilung Berlin 1957 du Sautoy, Marcus: Die Musik der Primzahlen, München 2003 Ischebeck, Friedrich: Einladung zur Zahlentheorie, Zürich 1992 Loo Keng, Hua: Introduction to number theory, Peking 1982 http://primes.utm.edu/howmany.shtml http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Prime_numbers.html http://www.mersenne.org/