Proof-Planning

Übersicht Einleitung Proof-Planning Bridge-Taktiken Repräsentation des Gegenspiels Planungsalgorithmus Suchen mit Histories

Einleitung Aspekte des FINESSE-Systems bezüglich Proof-Planning –Verwenden von Taktiken –Weitere Features : vereinfachte Repräsentation History-Mechanismus => Effizienzsteigerung

Proof-Planning entwickelt von der Mathematical Reasoning Group in Edinburgh versuchten Theoreme via Regeln in Teilprobleme zu zerlegen und so auf Axiome zurückzuführen für jedes Bridge-Spiel erhält man analogen Baum –Regeln entsprechen Bridge-Taktiken –Erreichen der Axiome analog zu alle Karten gespielt bzw. keine Taktik anwendbar

and Axiom Theorem Regeln/Formeln Teilprobleme

Blatt Spielzustand Gespielte Karten des Alleinspielers Gegenspiel

Bridge-Taktiken Grundoperation ist das Spielen einer einzelnen Karte Sehr viele Kartenkombinationen in einem Stich möglich Ziel: Reduzierung des Spielbaums durch Beschränkung auf eine Menge von allgemeinen Bridge-Taktiken Betrachte Einfarb-Probleme ohne Trumpf aus Sicht des Alleinspielers (Süd)

Kassieren Klein zu einer hohen Karte oder diese selbst ausspielen N W S O x A N W S O K D A x x N W S O D B A K

Schneiden Literatur: viele verschiedene Arten des Schneidens aber: 4 Typen des Schneidens genügen für alle Beispiele Schnittkarte: eine Karte, mit der man einen Stich machen möchte, obwohl der Gegner noch eine höhere hat Deckkarte: eine hohe Karte

Schneiden (1) Schnittkarte und mind. eine Deckkarte in einer Hand es wird klein von der anderen Hand ausgespielt N W S O A D x

Schneiden (2) Schnittkarte wird ausgespielt Deckkarte in der Hand gegenüber Schnittkarte kommt mind. aus 2er-Sequenz N W S O K 4 2 A B 10 N W S O A K 9 4 B 10 2 N W S O A K 4 2 B 6 3

Schneiden (3) keine Deckkarte erforderlich es wird klein zur Schnittkarte gespielt N W S O K D

Schneiden (4) einzelne Schnittkarte wird ausgespielt, um anschließend eine Situation vom Typ 1 oder 2 zu schaffen wichtig: nicht äquivalent zu zwei Schnitten der Typen 1-3 N W S O K 5 4 A B 9 N W S O K 9 8 A B 3

Ducken beide Hände spielen in einem Stich eine kleine Karte im ersten Beispiel : Hoffnung auf single König bei Ost (eine von 2 8 Möglichkeiten) N W S O A D x x N W S O A D

Top-Sequenzen es wird in jedem Stich eine Karte der Sequenz gelegt Sequenz in einer Hand oder auf beide Hände verteilt N W S O K D B N W S O D 8 3 K B 5 N W S O B D 9 4 2

Repräsentation des Gegenspiels Beispiel: n = Anzahl der Karten in Gegnerhand fehlende Karten (n = 7): A K B mögliche Spielkombinationen s : n(n-1) + 2n = n(n+1) hier : s = 56 N W S O D

Sequenzen Karten einer Sequenz werden als äquivalent angesehen n 1 = Anzahl Sequenzen der Länge 1 n 2 = Anzahl Sequenzen mit größerer Länge mögliche Spielkombinationen s : n 2 (n 1 +n 2 ) + n 1 (n 1 +n 2 -1) + 2(n 1 +n 2 ) = (n 1 +n 2 +2)(n 1 +n 2 ) - n 1 hier : s = 22

Kritische Karten höhere, entscheidende Karten der Gegner, die eventuell einen Stich machen restliche Karten werden als klein betrachtet Im vorigen Beispiel –Sequenz der Länge 2 : A K –Sequenz der Länge 1 : B –Sequenz der Länge 4 : damit : s = 14

Planungsalgorithmus sucht in jedem Spielzustand nach passenden Taktiken konstruiert einen Baum von Taktiken mehrere Taktiken zur Auswahl => Ordnen nach Heuristiken Im FINESSE-System sind Taktiken repräsentiert durch –finesse (Type, Player, Card, Suit) –cash (Card, Suit) –duck (Suit) –sequence (Card, Suit)

Taktiken anwendbar, wenn Vorbedingungen erfüllt sind Beispiel : Typ-1-Schneiden mind. ein Verlierer A und B in gleicher Hand kleine Karte gegenüber von A B nicht bekannt, dass West chicane N W S O A B 7 4 2

Suchen mit Histories Zustände im Spielbaum, die mehrfach auftreten, brauchen nicht mehrfach untersucht werden gleiche Zustände befinden sich immer auf derselben Ebene Einführung einer History-Liste auf jeder Ebene : –Suchergebnis bzw. Plan eines Zustands wird in entsprechender Liste abgelegt Implementation mittels Hash-Tabellen

Bis zu welcher Ebene sind Histories sinnvoll ? Branching-Faktor b, Ebene i kein doppelter Zustand bis zur Ebene i führt zu (b i -1) = ½(b i -1)b i ~ b 2i /2 Vergleichen Tiefe des Baums d durchschnittliche Kosten für einem Zustand m (bei FINESSE 15 mal so groß wie ein Vergleich) Anteil der doppelt vorkommenden Zustände auf i-ten Ebene α i (bei FINESSE ungefähr 1/30)

Einsparung für einen in History-Liste gefundenen Zustand ist m b d-i Einsparung bis zur i-ten Ebene : α i b i m b d-i = α i m b d α i m b d > b 2i /2 2 α i m b d > b 2i ln(2 α i m) + d ln(b) > 2i ln(b) d ln(b) > 2i ln(b) d/2 > i Also : Histories lohnen in der oberen Hälfte des Spielbaums