Algebraische Zahlen: Exaktes Rechnen mit Wurzeln Theorie und Praxis geometrischer Algorithmen Sascha El-Abed

Inhalt 1. Separation Bounds: Definition, Eigenschaften, Verwendungszweck 2. Berechnung und Beispiele 3. Hauptungleichung 4. Hilfstheoreme und -lemmata 5. Beweis der Hauptungleichung 6. Abgeleitete Korollare 7. Anwendung 2

Was sind Separation Bounds... Wir betrachten arithmetische Ausdrücke mit ganzen Zahlen und den Operationen Sei E ein arithmetischer Ausdruck, der den Wert hat. Ein Separation Bound sep(E) ist eine positive reelle Zahl mit der Eigenschaft 3

...und wofür braucht man sie? Zur exakten Bestimmung des Vorzeichens von reellwertigen arithmetischen Ausdrücken, wie sie oft bei geometrischen Berechnungen(z.B. an Kreis, Ellipse, ...) auftreten, z.B. oder die Berechnung des Euklidischen Abstands von Punkten: liegt P oder Q näher an R? 4

Berechnung & Bsp: dag Man wandelt einen gegebenen Ausdruck entgegen den Rechenregeln in einen dag (directed acylic graph) um: die Operationen sind die inneren Knoten, die Zahlen sind die Senken 5

Berechnung & Bsp: dag Man wandelt einen gegebenen Ausdruck entgegen den Rechenregeln in einen dag (directed acylic graph) um: die Operationen sind die inneren Knoten, die Zahlen sind die Senken 5

Berechnung & Bsp: U(E), L(E) Man definiert nun induktiv folgende Regeln U(E), L(E) E integer n E1±E2 E1*E2 E1/E2 U(E) n U(E1)*L(E2)±L(E1)*U(E2) U(E1)*U(E2) U(E1)*L(E2) L(E) 1 L(E1)*L(E2) L(E1)*U(E2) und berechnet E als Quotient indem man die Regeln von der Wurzel ausgehend auf die Knoten anwendet und erhält somit den exakten Wert von E 6

Berechnung & Bsp: u(E), l(E) Weiterhin definiert man nun nichtnegative reelle Zahlen u(E) und l(E), die Abschätzungen zu den Werten U(E) bzw. L(E) sind. E integer n E1±E2 E1*E2 E1/E2 u(E) |n| u(E1)*l(E2)+l(E1)*u(E2) u(E1)*u(E2) u(E1)*l(E2) l(E) 1 l(E1)*l(E2) l(E1)*u(E2) 7

Eigenschaften und weitere Definitionen Für die Regeln U(E), L(E), u(E), l(E) gilt: u(U(E)) = u(E) u(L(E)) = l(E) l(E) = 1 falls E keine Division enthält 8

weitere Definitionen Die Zahl ist eine algebraische Zahl, d.h. es gibt ein Polynom mit Folglich gibt es auch ein Minimalpolynom mit Nullstelle . Zur Erinnerung (Vortrag von Simon): Das Minimalpolynom zu ist ; dieses Polynom hat aber noch weitere Nullstellen ausser Der Grad von ist definiert als der Grad des Minimalpolynoms von . 9

weitere Definitionen Kommen in einem Ausdruck E r Wurzeln k1, ..., kr, so definiert man (ki: die Grade der Wurzeln) Es gilt: 10

Hauptungleichung Für Ausdrücke E, die keine Division enthalten, und für deren Wert gilt, besteht folgender Zusammenhang: Der rechte Teil der Ungleichung ist direkt ersichtlich. Für den Beweis des linken Teils brauchen wir noch etwas “Handwerkszeug”. 11

Hilfstheorem 1 Zuerst schauen wir uns an, dass eine ganzalgebraische Zahl ist, wobei E keine Division enthält, d.h. alle . 12

Hilfstheorem 1 Zuerst schauen wir uns an, dass eine ganzalgebraische Zahl ist, wobei E keine Division enthält, d.h. alle . Seien die Polynome und mit ganzzahligen Koeffizienten ai und bj gegeben. 12

Hilfstheorem 1 gegeben: und Da ein Polynom vom Grad n bzw. m genau n bzw. m komplexe Nullstellen hat, kann man pA und pB wie folgt umschreiben: 13

Hilfstheorem 1 gegeben: und Da ein Polynom vom Grad n bzw. m genau n bzw. m komplexe Nullstellen hat, kann man pA und pB wie folgt umschreiben: Für hat dann das Polynom (=Produkt aller Konjugierten von pA und pB) ebenfalls wieder ganzzahlige Koeffizienten. 13

Hilfslemma 1 Lemma: Es gibt ein Polynom (gegeben: Ausdruck E mit Wert ξ) für alle Nullstellen so dass und des Polynoms pE(X) gilt. 14

Hilfslemma 1 Lemma: Es gibt ein Polynom (gegeben: Ausdruck E mit Wert ξ) für alle Nullstellen so dass und des Polynoms pE(X) gilt. Beispiel: Sei Das Minimalpolynom zu ist hat nicht nur die Nullstelle , sondern auch erfüllt die Bedingungen von pE(X), da: 14

Beweis von Lemma 1 durch strukturelle Induktion über den arithmetischen Ausdruck E: 1.Fall: E ist eine ganzzahlige Konstante: E = a Dann erfüllt das Polynom offensichtlich schon alle Bedingungen des Lemmas. 15

Beweis von Lemma 1 2.Fall: E hat die Form E = A op B, Nach Induktionsvoraussetzung existieren Polynome und mit (u.a.) Wurzeln (Nullstellen) val(A) bzw. val(B). 16

Beweis von Lemma 1 2.Fall: E hat die Form E = A op B, Nach Induktionsvoraussetzung existieren Polynome und mit (u.a.) Wurzeln (Nullstellen) val(A) bzw. val(B). Wir wählen ; nach Theorem 1 hat wieder ganzzahlige Koeffizienten und u.a. die Wurzel val(E) = val(A) op val(B). Nach Induktionsvoraussetzung gilt: und 16

Beweis von Lemma 1 2.Fall: (Fortsetzung) Nach Induktionsvoraussetzung gilt: und 17

Beweis von Lemma 1 2.Fall: (Fortsetzung) Nach Induktionsvoraussetzung gilt: und In Theorem 1 haben wir gesehen, dass die Wurzeln hat. Dann gilt: für : für : 17

Beweis von Lemma 1 3.Fall: E hat die Form Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein Polynom mit (u.a.)Wurzel (Nullstelle) val(A). 18

Beweis von Lemma 1 3.Fall: E hat die Form Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein Polynom mit (u.a.)Wurzel (Nullstelle) val(A). Wir wählen : wobei die k-te komplexe Einheitswurzel ist. Somit gilt für die Wurzeln(Nullstellen): 18

Beweis der Hauptungleichung Wie wir im vorigen Lemma gesehen haben, kann man ein Polynom pE(X) mit ganzzahligen Koeffizienten konstruieren, das die Wurzel hat. Da jedes Polynom mit Wurzel durch das Minimalpolynom geteilt werden kann, sind die Wurzeln des Minimalpolynoms auch Wurzeln von pE(X). D.h. hat die Form , wobei die Indizes der Wurzeln des Minimalpolynoms sind, die auch in pE(X) auftreten. 19

Beweis der Hauptungleichung(2) Da das Minimalpolynom ist, enthält es keine Wurzeln mit Wert 0 (sonst könnte man nochmal durch (X-0) teilen). Sei nun o.B.d.A. . Desweiteren wissen wir aus Lemma 1: Somit können wir nun schließen: 20

Beweis der Hauptungleichung(2) Da das Minimalpolynom ist, enthält es keine Wurzeln mit Wert 0 (sonst könnte man nochmal durch (X-0) teilen). Sei nun o.B.d.A. . Desweiteren wissen wir aus Lemma 1: Somit können wir nun schließen: 20

Abgeleitete Korollare(1) Für Ausdrücke E, die keine Division enthalten, und für deren Wert gilt, besteht folgender Zusammenhang: Zur Erinnerung: (ki: die Grade der Wurzeln) 21

Beweis Korollar 1 Es gilt: Dies setzen wir in unsere Hauptungleichung ein: 22

Abgeleitete Korollare(2) Für Ausdrücke E, für deren Wert gilt, besteht folgender Zusammenhang: 23

Beweis Korollar 2 Wir wenden Korollar 1 auf U(E) statt auf E an: 24

Beweis Korollar 2 Wir wenden Korollar 1 auf U(E) statt auf E an: Wir schätzen D(U(E)) durch D2(E) nach oben ab, da sich die Zahl der Wurzel erhöhen kann. Da außerdem u(U(E)) = u(E) gilt, erhalten wir: 24

Beweis Korollar 2 Dies tun wir auch für L(E) statt E und erhalten unter Verwendung von u(L(E)) = l(E) analog zu vorhin: Da gilt, können wir nun schließen: 25

Beweis Korollar 2(rechte Seite) 26

Beweis Korollar 2(rechte Seite) 26

Beweis Korollar 2(linke Seite) 27

Beweis Korollar 2(linke Seite) 27

Beweis Korollar 2(linke Seite) Insgesamt erhalten wir: 27

Anwendung Wie kann man nun das Vorzeichen eines Ausdrucks bestimmen? Sei E ein reellwertiger Ausdruck und sep(E) ein separation bound zu E. 28

Anwendung Wie kann man nun das Vorzeichen eines Ausdrucks bestimmen? Sei E ein reellwertiger Ausdruck und sep(E) ein separation bound zu E. Wir bestimmen nun ein Intervall , das die Länge ε hat, 0 < ε < sep(E), und in dem der Wert von E liegt. Zur Erinnerung: Nun müssen wir uns ansehen, ob die Null in liegt oder nicht. 28

Anwendung(2) Die einzige Möglichkeit, dass 0 in unserem Intervall liegen kann, ist dass E den Wert 0 hat; ansonsten enthält das Intervall nur positive oder nur negative Werte. Das Vorzeichen unseres Ausdrucks E ist somit das Vorzeichen der Werte, die in unserem Intervall liegen. 29

Anwendung(3) C D B A M Problem: Welche Punkte liegen innerhalb des Kreises? ->Vorzeichentest wichtig (z.B. bei Abstandsberechnungen von Punkten) 30

Anwendung(4) Aus Vortrag von Prof. K. Mehlhorn Problem: Liegt ein Punkt der Linie l3 innerhalb des Kreises? 31

The End