Johannes-Kepler-Gymnasium Funktionen Hinweis für den Lehrer: Eingangsfolie. Die Schüler nehmen Platz. Begrüßung der SchülerInnen. LehrerInnen stellen sich vor. „Das Thema der heutigen Stunde lautet Funktionen. Funktionen sind keineswegs etwas Neues für euch und sind euch seit der 7./8. Klasse immer wieder in unterschiedlichen Formen begegnet. Die Stunde heute soll noch einmal eure vorhandenen Kenntnisse auffrischen und systematisieren.“

Darstellungsformen von Funktionen Wichtige Funktionen und ihre Graphen Lernangebot Was sind Funktionen? Darstellungsformen von Funktionen Wichtige Funktionen und ihre Graphen Wie beschreiben Mathematiker Funktionsgraphen? Erläuterungen für die Schüler: „Ganz konkret bieten wir euch heute Folgendes an: … …“

Funktionen sind besondere Zuordnungen Was sind Funktionen? Funktionen sind besondere Zuordnungen Was ist überhaupt noch mal eine Zuordnung? Einige Beispiele helfen, diese Frage zu beantworten: Jedem Kind kann sein Lieblingskuscheltier, jedem Schüler seine Schuhgröße, jedem Topf sein Deckel, jedem ... zugeordnet werden. „Was sind Funktionen? Funktionen sind besondere Zuordnungen!“ Um die Frage, was Funktionen sind, beantworten zu können, müssen wir zunächst mal schauen, was eine Zuordnung ist, um dann die besonderen Eigenschaften einer Funktion herauszustellen. Um zu klären, was eine Zuordnung ist, haben wir uns überlegt, dass Beispiele zur Verdeutlichung am Besten geeignet sind. So kann z.B. jedem Kind … . Wir haben lange überlegt, wie man das allgemein formulieren kann, sind aber auf keine uns zufrieden stellende Formulierung gekommen. Habt ihr Vorschläge?“

Das Ganze nun etwas mathematischer! „Das Ganze nun etwas mathematischer. Es müsste euch bekannt vorkommen. In der Mathematik sagt man, dass Elementen der … . Was könnte das hier wohl für eine Zuordnung dargestellt sein?“ Elementen der Definitionsmenge D werden immer Elemente der Wertemenge W zugeordnet.

oder bekannter mit x und y Den Elementen x aus der Definitionsmenge D werden jeweils Elemente y aus der Wertemenge W zugeordnet. - - l - l - - l - l Oder – bekannter als Koordinatensystem: Den Elementen x aus der Definitionsmenge werde - - l l l l l l

Was für Zuordnungen sind denn jetzt Funktionen? „Jetzt habt ihr euch hoffentlich wieder daran erinnert, was eine Zuordnung ist. Es bleibt allerdings noch die Frage zu klären, was für besondere Zuordnungen denn jetzt Funktionen sind. Zur Beantwortung dieser Frage haben wir noch einmal eine andere Zuordnung für euch. Was ist hier dargestellt? Das Besondere an dieser Zuordnung ist, dass jedem Element der Def.-menge genau ein Element der … . (zeigen!) Anders ausgedrückt: linksvollständig & rechtseindeutig.“ Jedem Element der Definitionsmenge D wird genau ein Element der Wertemenge W zugeordnet.

Ist diese Zuordnung eine Funktion? „Noch einmal zurück zu der ersten Zuordnung - Personen werden ihre Haustiere zugeordnet. Ist diese Zuordnung eine Funktion?“

Wie funktioniert eine Funktion? Beispiele: Funktion „Noch einmal genauer zur Funktion und zwar zu der Frage: Wie funktioniert eine Funktion? Was kann man sich als Hilfe vorstellen?“ … Saft machen Input - Output - Maschine

Darstellungsformen von Funktionen Wertetabelle Funktionsvorschrift x y 1 2 1,5 3,25 5 Funktionsgleichung Graph „Im Unterricht der Sek 1 habt ihr verschiedene Möglichkeiten kennen gelernt, eine Funktion darzustellen. Zum Beispiel die Angabe einer Wertetabelle, die das Zeichnen des zugehörigen Graphen ermöglicht, … . Wie lautet die Funktionsvorschrift bzw. die Funktionsgleichung? Die Tabelle kann natürlich nur unvollständig bleiben, ist aber dennoch hilfreich. Eine kleine Übung zum Definitions- und Wertebereich. Wo liegen diese Bereiche? Zeigen! An die Tafel: ID = { x  IR | 1<= x <= 2 } und W = { y  IR | 2 <= y <= 5 } Das sollte euch bekannt vorkommen!“

Funktionen erkennen anhand von Tabellen und Graphen Das Spiel: Funktionen erkennen anhand von Tabellen und Graphen „Nachdem ihr jetzt „wieder“ wisst, was eine Funktion ist, möchten wir uns noch einmal versichern, dass ihr … verstanden habt. Dazu haben wir uns ein kleines Spiel ausgedacht, bei dem ihr anhand einer Tabelle oder eines Graphen erkennten sollt, ob es sich bei der Zuordnung um eine Funktion handelt oder nicht. Jetzt kommen auch die gelben und grünen Karten zum Einsatz, die auf euren Stühlen liegen. Wir zeigen euch gleich z.B. eine Wertetabelle und ihr sollt entscheiden, ob es sich um die Wertetabelle einer Funktion handelt. Wenn ihr der Meinung seid, ja, dann hebt ihr die grüne Karte, also freie Fahrt für die Funktion. Wenn ihr anderer Meinung seid, dann hebt ihr die gelbe Karte für Achtung. Ihr sollt gleich auf ein Signal hin, alle gemeinsam eine Karte heben. Auf zur ersten Quizfrage.“

Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? x y 1 -5 3 5 4 -2 6 2 -4 -3 7 Ja Nein „Nach einer Phase des Überlegens jetzt bitte alle die Karten heben.“ Begründungen von den Schülern für die evtl. unterschiedlichen Meinungen einholen. Dann noch einmal Abschlussprüfung, alle noch einmal die Karten heben. Es folgt die Auflösung.

Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? x y 1 -5 3 5 4 -2 6 2 -4 -3 7 Ja Nein „Der 3 werden zwei unterschiedliche Werte zugeordnet, dass widerspricht dem Prinzip, dass jedem x genau ein y zugeordnet wird (Rechtseindeutigkeit!)“

Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? „Auf zur nächsten Frage. Diesmal sollt ihr entscheiden, ob es sich um den Graphen einer Funktion handelt.“ Überlegen, dann alle zusammen die Karten zeigen. Begründen lassen. Ja Nein

Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? x y -6 9 6 7 3 4 2 5 1 Ja Nein „Weiter mit einer Tabelle. Müsste jetzt schon besser gehen als beim ersten Mal. Verfahren dito wie vorher.“

Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? x y -6 9 6 7 3 4 2 5 1 Ja Nein Frage an Rafael: Was ist mit dem ja und nein passiert? Genauer darüber diskutieren!!!

Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Dito. Ja Nein

Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Zeigen! Ja Nein

Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? x y 3 4 1 7 -5 2 5 -6 8 -2 9 Nein Ja Dito.

Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? x y 3 4 1 7 -5 2 5 -6 8 -2 9 Nein Ja Widerspricht wieder der Rechtseindeutigkeit.

Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Eine letzte Frage. Verfahre dito. Ja Nein

Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Auflösung. „Jetzt wissen alle, was eine Funktion ist und wie man an einer Wertetabelle oder einem Graphen erkennen kann, ob es sich um eine Funktion handelt. Im Unterricht der SI habt ihr bereits ganz viele unterschiedliche Arten von Funktionen, man spricht in der Mathematik von Funktionsklassen, kennen gelernt. Wir haben mal eine kleine Überblicks-Mindmap dazu vorbereitet.“ Ja Nein

Funktionsklassen „Ihr habt in der 8. Klasse kennen gelernt die lin. Funktionen, die wir auch hier im Plenum und im Unterricht noch einmal ausführlich wiederholt haben. Aus der 9. Klasse kennt ihr die quadratischen Funktionen, aus der 10. Klasse die … . Lin., quadr. und Potenzfkt. mit natürlichem Exponenten gehören alle zu der Klasse der ganzrationalen Funktionen. Ihr seht, dass es auch noch einen leeren Pfeil gibt. Dieser Pfeil wird in nächster Zeit besetzt, d.h. ihr lernt weitere ganzrationale Funktionen kennen. Wir wollen noch einmal genauer auf die Potenzfunktionen eingehen, da diese u.a. die Basis für die neuen ganzrationalen Funktionen bilden. Ihr sollt euch zunächst einmal ins Gedächtnis rufen, was man unter einer Potenzfkt. …. versteht.“

Was sind noch mal Potenzfunktionen? Funktionen der Form y = a·xn mit nIN und a  IR nennt man Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten. „Potenzfunktionen sind …“ Beispiele von den SuS angeben lassen und an die Tafel schreiben. Als Überleitung: „Wir schauen uns jetzt erst einmal die einfachsten Potenzfkt., nämlich die, bei denen a = 1 ist. Wie sehen die Graphen dieser Funktionen aus?“

Graphen von einfachen Potenzfunktionen „Dem Mathematiker fällt sofort wieder auf, dass er hier aufräumen kann: Es scheinen zwei Arten von Graphen zu sein (erneut zeigen). Wenn man auf den Exponenten achtet ( wieder eine neue Vokabel), dann fällt einem das Schema sofort auf. Hinweis auf die Begriffe Potenzen von x bzw. natürliche Zahlen als Exponenten.“ x2 x3 x4 x5 x6 x7

Wir schaffen Ordnung Graphen von einfachen Potenzfunktionen (a=1) mit geraden Exponenten mit ungeraden Exponenten x x3 x5 x7 x2 x4 x6 „Hier sind jetzt die Unterschiede, aber auch die Gemeinsamkeiten zu sehen. „Alle Potenzfunktionen mit geradem Exponenten auf dem linken Bild sind symmetrisch zur y-Achse, sie sind alle nach oben geöffnet. Erst fallen, dann steigen. Umgangssprachlich kommen sie von oben und gehen wieder nach oben. Alle Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten (Bild links) sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Sie steigen alle, umgangssprachlich kommen sie von unten und gehen nach oben. Es gibt auch noch jeweils gemeinsame Punkte. Welche? Dazu später eine Aufgabe! Außerdem beschäftigt sich das kommende Plenum noch genauer mit Symmetrie, zum Grenzverhalten (kommen von … und gehen nach …), …“ Überleitung: „Wir haben bisher den Vorfaktor a „außer Acht“ gelassen bzw. sehr einfach gewählt nämlich a = 1. Wie aber wirkt sich dieser Vorfaktor nun auf den Verlauf der Graphen aus? Das könnt ihr im Folgenden sehen und zwar ein Arbeitsblatt mit Schieberegler, d.h. … .“ Hinweis für den Lehrer: Hinweis auf weitere Exponenten (Brüche, negative Zahlen). Dann sehen die Graphen wieder anders aus.

Streng monoton runter und rauf Monotonie Streng monoton runter und rauf x1 x2 x1 x2 „Umgangssprachlich würde man sagen, der Graph fällt zunächst bis zum Ursprung und dann steigt er wieder. In der Fachsprache klingt das so: Für alle … .“ Hinweis für den Lehrer: Die Bereiche jeweils auf der x-Achse deutlich zeigen.

Streng monoton rauf und runter Monotonie Streng monoton rauf und runter „Umgangssprachlich würde man hier wohl wieder sagen …, in der Fachsprache sagt man ganz korrekt: Für alle …“

Was versteht ein Mathematiker unter dem Begriff „Funktion“? Die drei Fragen Was versteht ein Mathematiker unter dem Begriff „Funktion“? Wie kann man Funktionen darstellen? Welche Eigenschaften haben Potenzfunktionen? „Um zu erkennen, ob ihr die Lernziele der heutigen Stunde erreicht habt, sollt ihr alleine die folgenden drei Fragen beantworten. Nehmt euch dazu 10 Minuten Zeit und schreibt alles auf, was ihr behalten habt (natürlich ohne die Unterlagen aus dem Plenum).“

Viel Erfolg! Aufgaben Stunde 1 (Arbeitsblatt Funktionen) 2 (Arbeitsblatt Potenzfunktionen) BASIC´s Vorderseite (a, b, c, d) 2.) a 3.) 1a) 2) 3a) (I, III, V) 4) TOP´s 2.) b 3b) 5) 7) 4.) 6 „Zu den Aufgaben für die nächste Zeit: Wir haben ein Arbeitsblatt zusammengestellt, dass sich in seinen Aufgaben auf diese Vorlesung bezieht, also Aufgaben zu Potenzfunktionen in unterschiedlichen Zusammenhängen. Für eine Aufgabe benötigt ihr den Logarithmus, Infos dazu findet ihr auf der Rückseite des Arbeitsblattes. Viel Erfolg!