Christian Schindelhauer Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester 2005/2006 25.10.2005 1. Zentralübung Christian Schindelhauer

Aufgabe 6 Seien L1 und L2 regulär. Beweisen Sie, dass auch L1\L2 regulär sind. Strategie: Beweis folgt aus Lemma A Sei L regulär. Dann ist auch *\L regulär. Lemma B Seien L1 und L2 regulär. Dann ist auch L1L2 regulär. weil L1\L2 = L1  (*\L2 )

Aufgabe 6 Lemma A Sei L regulär. Dann ist auch *\L regulär. Beweis: Betrachte DFA M = (Q, , , q0, F) Konstruiere M’ = (Q, , , q0, Q\F) Behauptung L(M’) = *\L. Nach Abarbeiten von w ist Maschine M und M’ im selben Zustand Wegen der Invertierung der akzeptieren Zustände gilt: M akzeptiert w genau dann, wenn M’ akzeptiert nicht w. QED.

Aufgabe 6 Lemma B Seien L1 und L2 regulär. Dann ist auch L1L2 regulär. Beweis Es gilt: wobei Da das Komplement und die Vereinigung einer regulären Sprache regulär sind, folgt das Lemma.

Aufgabe 1 Gesucht: DFA für Betrachte: A = * 010 * Automat ergibt sich aus der Konkatenation der Automaten für *, 0, 1, 0, * NFA für A (-Übergänge schon ersetzt)

NFA für A = * 010 * Potenzmengenkonstruktion liefert DFA Zustand {1,2,4} , {1,4}, {1,3,4} können zusammengefasst werden zu q Invertierung der akzeptierenden und nicht akzeptierenden Zustände ergibt

Aufgabe 5 Falls L regulär ist, dann ist es auch 2 Lösungsmöglichkeiten: NFA N aus DFA M konstruieren Im DFA M für L alle Übergänge umdrehen Startzustand zum einzigen akzeptierenden Zustand machen Neuer Startzustand in N mit -Übergang zu akzeptierenden Zuständen von M Beweis über reguläre Ausdrücke Zu jedem regulären Ausdruck R einen Ausdruck Rrev gibt, der Lrev beschreibt Korrektheit durch Induktion über dem Aufbau

Aufgabe 5: 1. Lösungsansatz Gegeben sei ein DFA M = (Q, , , q0, F) mit L(M) = L Definiere NFA N = (Q  {q’}, , ’, q’, {q0}) wie folgt: Für q≠q’: ’(q, ) =  Für q≠q’ gilt für a   ’(q’, ) = F Für a  : ’(q’, a) =  Angenommen M akzeptiert w= w0w1w2 ... wn Sei q0q1q2 ... qn, so dass für alle i  {1,...,n}: (qi,wi+1)=qi+1 Dann ist qn  F Betrachte die Folge q’ qn ... q2q1q0 Dann ist qi  ’(qi+1,wi+1) Außerdem: ’(q’, ) = qn und q0 ist der akzeptierende Zustand Also akzeptiert N das Wort wn ... w2w1 Angenommen N akzeptiert das Wort wn ... w2w1 Dann gibt es eine Folge q’qn ... q2q1q0 wobei ’(q’, ) = qn und qn  F und qi  ’(qi+1,wi+1) für alle i  {1,...,n} Dann ist (qi,wi+1)=qi+1 Betrachte die Folge q0q1q2 ... qn Auf dieser folge führt M eine akzeptierende Berechnung für w durch Also akzeptiert M das Wort w= w0w1w2 ... wn

Aufgabe 5: 2. Lösungsansatz Behauptung: Für jeden regulären Ausdruck A gibt es einen regulären Ausdruck der die Sprache L(A)rev beschreibt. Beweis: Fall A =  Dann sei Arev =  Fall A= Ø Dann sei Arev = Ø Fall A = (R1  R2) Dann sei Arev = (R1rev  R2rev) Fall A = (R1  R2) Dann sei Arev = (R2rev  R1rev) Fall A = (R1)* Dann sei Arev = (R1rev)* Korrektheit folgt über Indunktion über den Aufbau des regulären Ausdrucks Für jeden Fall lässt sich die Korrektheit leicht nachvollziehen.

Aufgabe 4 M1 = ({0,1,...,6}, {0,1,...,9}, , 0, {4}) Für alle q  {0,1,...,6}, a  {0,1,...,9}: (q,a) = 10 q + a mod 7 M2= ({0,1,...,6}, {0,1}, , 0, {4}) Für alle q  {0,1,...,6}, a  {0,1}: (q,a) = 2 q + a mod 7

Vielen Dank Ende der 1. Zentralübung Nächste Zentralübung:. Mi. 02. 11 Vielen Dank Ende der 1. Zentralübung Nächste Zentralübung: Mi. 02.11.2005 Nächste Vorlesung: Mo. 07.11.2005 Nächste Miniklausur: Mi. 09.11.2005 Heinz Nixdorf Institut & Institut für Informatik Universität Paderborn Fürstenallee 11 33102 Paderborn Tel.: 0 52 51/60 66 92 Fax: 0 52 51/60 64 82 E-Mail: schindel@upb.de http://www.upb.de/cs/schindel.html