II. Arithmetik

4. Die natürlichen Zahlen

1  M n  M  (n + 1)  M

(4.1) (4.2) Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt   M (4.3) 1  M n  M  (n + 1)  M

4.1 Das Prinzip der vollständigen Induktion 1 = = 1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) = + (n + 1) = = 1 + 2 + 3 + ... + (m - 1) + m =

Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 + ... + 100 100 + 99 + 98 + ... + 1 101 + 101 + 101 + ...+ 101 = 10100 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 = 5050

4.2b Man beweise die Bernoullische Ungleichung: (1 + x)n  1 + nx für x  0 und n   durch vollständige Induktion. 4.3 Man beweise die folgenden Formeln für alle n   mit vollständiger Induktion: Jakob Bernoulli 1654 -1705 = Er zeigte die Divergenz der harmonischen Reihe und fand 1684 die Bernoullische Ungleichung. = = ; q  1

Geometrische Reihe: 1 + q + q2 + q3 + ... + qn - (1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn)q = 1 - qn+1 1 + q + q2 + ... + qn = Schach: 264 - 1 = 2*1019 Reiskörner Erdoberfläche: 5*1018 cm2 1 + q + q2 + ... = für IqI < 1 unendlich viele Zahlen, endliche Summe:

Die binomische Formel: (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 4.2 Der binomische Satz Die binomische Formel: (a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2 = = n n! = 123n 0! = 1 = = = 1

4.2 Der binomische Satz = = = = = usw. = = n = = = 1

denn (a + b)n liefert genau 2n Produkte. Blaise Pascal (1623 - 1662) denn (a + b)n liefert genau 2n Produkte.

4.1 Man berechne die Binomialkoeffizienten 4.2a Man beweise die Bernoullische Ungleichung: (1 + x)n  1 + nx für x  0 und n   mit Hilfe des binomischen Satzes.

4.3 Primzahlen Eine natürliche Zahl, die sich ohne Rest nur durch 1 und durch sich selbst teilen lässt, heißt Primzahl. Ausnahme:1 Sieb des Eratosthenes Primzahlsatz des Euklid: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen. Sei P = { p1, p2, p3, ... , pn } P = p1  p2  p3    pn (P ± 1) wird durch keine dieser Primzahlen geteilt. Also ist es selbst PZ oder enthält eine PZ pn+1. 2  3  5  7  11  13 + 1 = 30031 = 59  509 2  3  5  7  11  13 - 1 = 30029 Eratosthenes (276 - 194) Euklid (325 - 275)

Wir bilden (p - q)P = pP - qP = qQ - qP = q(Q - P) < qQ. Satz (Fundamentalsatz der Zahlentheorie) Jede natürliche Zahl besitzt eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Primfaktorzerlegung. Beweis (nach Zermelo). Die kleinen zusammenge-setzten natürlichen Zahlen wie 4 = 22 und 6 = 32 besitzen eindeutige Zerlegungen. Ernst Zermelo (1871 - 1953) Sei pP = qQ mit den Primfaktoren p und q die kleinste Zahl, die mehr als eine Zerlegung besitzt. Gleiche Faktoren sind in pP und qQ nicht vorhanden, sonst könnte gekürzt und eine kleinere mehrdeutige Zerlegung erzeugt werden. OBdA sei p > q, und also Q > P. Wir bilden (p - q)P = pP - qP = qQ - qP = q(Q - P) < qQ. (p - q) enthält nicht den Faktor q, da p und q Primzahlen sind und (p - q) = nq sofort auf p = (n + 1)q führen würde. Also gibt es eine kleinere als die als kleinste angenommene mehrdeutige Zerlegung, nämlich (p - q)P = q(Q - P).

Ist n eine Primzahl, so sind alle inneren Binomial- koeffizienten Vielfache von n, denn im Zähler von kann die Primzahl n nicht weggekürzt werden, bevor sie selbst im Nenner auftritt. Daraus ergibt sich eine spezielle Version des kleinen Fermatsche Satzes: Pierre de Fermat (1601 - 1665) Satz (Fermat) Ist p eine ungerade Primzahl, so ist 2p-1 - 1 = kp ein ganzzahliges Vielfaches von p. Alle Binomialkoeffizienten einer ungeraden Zahl sind doppelt vorhanden, jeder innere ist durch p teilbar, d. h. 2p = 2kp + 2 und 2p-1 = kp + 1. 23-1 = 4 = 13 + 1 25-1 = 16 = 35 + 1 27-1 = 64 = 97 + 1

4.4 Man beweise, dass 3 keine rationale Zahl ist. 4.5 Man beweise: Wenn u/v (gekürzt) keine ganze Zahl ist, so ist auch un/v mit n   keine ganze Zahl. Ist 210 - 1 durch 11 teilbar?