Mathematische Modelle zur Prozessidentikation Testsignale Zur Durchführung der PI sind experimentelle Untersuchungen erforderlich, um hieraus auf das Systemverhalten zu schließen und ein mathematisches Modell erstellen zu können. Anforderungen  einfach zu erzeugen an Signale  reproduzierbar (z.B. Signalgenerator)  einfache mathematische Beschreibung  anwendbar/zugeschnitten auf Prozess  anwendbar auf vorhandene Stellglieder  Signalverarbeitung auf System April 2002 Blatt 2.1

Identifikation / Einfluss der Stellglieder Gesucht: Übertragungsverhalten P Alle Elemente und Glieder des Systems sind zu berücksichtigen ! u1 y u2 Stellglied Prozess G = GS GP U2 = GS U1 Y = GP U2  Y = GP GS U1 Wenn u2 messbar, kann GP2 direkt aus u2 und y identifiziert werden ! Wenn u2 nicht messbar, kann GP2 direkt aus u1 , y und Kenntnis von GS identifiziert werden ! GP = Y/U2 GP = 1/GS Y/U1 April 2002 Blatt 2.2

Beispiel Heizungsregelung Schema: Aufgabenstellung: Das Zeitverhaltens des Wohn- Raumes für die Heizungs- Regelung ist durch Identifikation zu bestimmen. Wirkungsplan: w u y Ein/Aus Regler Brenner Kessel Rohrleitung Körper Raum Luft Messen Gas April 2002 Blatt 2.3

Beispiel Heizungsregelung Wirkungsplan w u1 y Regler Brenner Kessel Leitung Körper Raum Messen u1 u2 u3 u4 y Brenner Kessel Rohrleitung Körper Raum Pt PT1 PT1 PT1 Für Identifikation Raumverhalten  Kenntnis von u4 erforderlich April 2002 Blatt 2.4

Einfluss Verzögerungselemente Identifikation: Bei Wahl der Messorte Sind Verzögerungselemente (Systemkomponenten) zu berücksichtigen, welche die Dynamik des Zeitverhaltens beeinflussen. Fälle: Proportional / zeitverzögert Proportional / zeitverzögert mit Rückkopplung unstetig / integrierend (z.B. Stell-/Schrittmotor) April 2002 Blatt 2.5

Signalarten Kriterien für Signale: natürlich / künstlich deterministisch / stochastisch periodisch / nicht periodisch kontinuierlich / diskret Signale: Physikalisch in Form von Spannung, Strom, Temperatur, Druck Beschreibung in Form von Amplitudenwert (Funktionswert) für definierte Zeitpunkte Definitionen: Deterministisch: in jedem Zeitpunkt ist ein eindeutig vorher- sehbarer Wert definiert. Stochastisch: Signalverlauf ist nicht eindeutig vorhersehbar Beschreibung durch Mittelwert, Streuung, etc. April 2002 Blatt 2.6

Unterscheidungsmerkmale Signalformen Kontinuierlich Diskret Nicht periodisch Sprungfunktion Rampe Dreiecksfunktion Periodisch Sinus-/Cosinusfunktion Rechteckfolge Dreiecksfolge stochastisch Zufallsignal (kontinuierlich) Binäres Rauschen (beliebige O/1-Folge) April 2002 Blatt 2.7

Beispiele für Signalverläufe Nicht periodisch Periodisch stochastisch (Binäres Rauschen) (konti. Rauschen) April 2002 Blatt 2.8

LTI-Systeme – Voraussetzung für unsere Betrachtungen Ausgangspunkt für die Entwicklung von Identifikationsverfahren ist die Verwendung math. Modelle für Systeme, Prozesse und Signale. Es werden LTI-Systeme betrachtet. linear: Superposition zeitinvariant: Systemreaktion unabhängig vom Zeitpunkt der Betrachtung Signalbeschreibungen für nichtparametrische Modelle Kurven / Wertetabellen System als black box g(t), h(t), Frequenzgang System April 2002 Blatt 2.9

Beschreibungen für nicht para. Modelle Beschreibung im Zeitbereich/Frequenzbereich: Gewichtsfunktion g(t) = g(t) * δ(t) G(s) = G(s) 1 Sprungantwort h(t) = g(t) * ε(t) H(s) = G(s) 1/s Systemantwort y(t) = g(t) * u(t) Y(s) = G(s) U(s) g(t) = d/dt h(t) Frequenzgang G(s) -> G(jw) G(jw) = Y(jw)/U(jw) = |G(jw)|ejphi(w) g(t) G(s) April 2002 Blatt 2.10

Beschreibungen für param. Modelle Signalbeschreibungen für parametrische Modelle System als white/grey box Systemstruktur bekannt (DGL, G(s)) g(t) G(s) Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgröße wird durch eine Dgl. oder Übertragungsfunktion eindeutig wiedergegeben ! dmy/dtm + am-1dm-1y/dtm-1 + .... + a0y = bndnu/dt + bn-1dn-1u/dtn-1 + .... + b1du/dt + bou April 2002 Blatt 2.11

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT1) Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied) y(t) = Ku0(1-e-t/T) u0 u Ku0(1-e-t/Ts) Δ y TS Y(00) := KS *u0 y/Ku0 April 2002 Blatt 2.12

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2) Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied) T1 = Zeitkonstante T2 = Zeikonstante K = K1 K2 Fall 1: Die Zeitkonstanten sind voneinander verschieden „Wie sieht die Sprungantwort des Systems aus ?“ = PT1 K1 T1 PT1 K2 T2 PT2 K T1 T2 Y(s) = U(s) G(s) = K / s (1 + sT1) (1 + sT2) April 2002 Blatt 2.13

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2) Lösung / Rücktransformation in den Zeitbereich: Partialbruchzerlegung: Y(s) = K / s (1 + sT1) (1 + sT2) = A0/s + A1/(1 + sT1) + A2/(1 + sT2) Koeffizientenbestimmung nach (Satz nach HEAVISIDE): Ak = lim (Y(s) ( s-sk)) A0 = K A1 = lim (K/s(1+sT2)) = -KT1 /(1-T2/T1) = -KT12/(T1 – T2) A2 = lim (K/s(1+sT1)) = -KT2 /(1-T1/T2) = -KT22/(T1 – T2) s->sk s->-1/T1 s->-1/T2 April 2002 Blatt 2.14

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2) Y(s) = A0/s + A1/(1 + sT1) + A2/(1 + sT2) Y(s) = K/s - KT12/(T1 – T2) 1 /(1 + sT1) + KT22/(T1 – T2) 1/(1 + sT2) Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt: y(t) = K [ 1 - T1/(T1 – T2) e-t/T1 + T2/(T1 – T2) e-t/T2 ] Beipiel PT1-PT9 Glieder mit verschiedenen Zeitkonstanten Excel-Kurven (Anlage) Verdopplung der Zeitkonstanten T2 = 2 T1; T3 = 2 T2; T4 = 2 T3; ..... April 2002 Blatt 2.15

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PTn) Verallgemeinerung PTn-Glied mit unterschiedlichen Zeitkonstanten: Ai = 1 für i = 0 Ai = - (Ti) n / Π (Ti – Tj) für i > 0  i  j und n>1 n j=1 Beispiel : PT4-Glied, d.h. n=4 A0 = 1 A1 = -T14 / [ (T1-T2) (T1- T3) (T1-T4) ] A2 = -T24 / [ (T2-T1) (T2- T3) (T2-T4) ] A3 = -T34 / [ (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) ] A4 = -T44 / [ (T4-T1) (T4- T3) (T4-T3) ] April 2002 Blatt 2.16

Sprungantwort System 4. Ordnung Beispiel : PT4-Glied, (n=4), verschiedene Zeitkonstanten A0 = 1 A1 = -T14 / [ (T1-T2) (T1- T3) (T1-T4) ] A2 = -T24 / [ (T2-T1) (T2- T3) (T2-T4) ] A3 = -T34 / [ (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) ] A4 = -T44 / [ (T4-T1) (T4- T3) (T4-T3) ] y(t) = K [ 1 - T13/(T1 – T2) (T1- T3) (T1-T4) e-t/T1 - T23/(T2 – T1) (T2- T3) (T2-T4) e-t/T2 - T33 / (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) e-t/T3 - T43 / (T4-T1) (T4- T2) (T4-T3) e-t/T4] April 2002 Blatt 2.17

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2) Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied) T1 = T2 Zeitkonstante K = K1 K2 Fall 2: Die Zeitkonstanten sind voneinander verschieden „Wie sieht die Sprungantwort des Systems aus ?“ = PT1 K1 T PT1 K2 T PT2 K T Y(s) = U(s) G(s) = K / s (1 + sT)2 = K / T2/ [s (s + 1/T)2] April 2002 Blatt 2.18

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2) Lösung / Rücktransformation in den Zeitbereich: Partialbruchzerlegung: Y(s) =K / T2/ [s (s + 1/T)2] = A0/s + A1/(s + 1/T) + A2/(s + 1/T)2 Koeffizientenbestimmung nach Ak = 1/(n-k)! lim (d(n-k)/ds(n-k)[Y(s) ( s-sk)n]) k = 1 ...n-1 An = lim (Y(s) ( s-sk)n) A0 = K A1 = lim (K/T2 d/ds(1/s)) = lim K/T2 (-1/s2) = -K A2 = lim ( K/T2 /s) = -K/T s->sk s->sk s->-1/T s->-1/T s->-1/T April 2002 Blatt 2.19

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2) Y(s) = A0/s + A1/(s+ 1/T) + A2/(s + 1/T)2 Y(s) = K/s - K 1 /(s + 1/T) + K/T 1/(s + 1/T)2 Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt: Y(t) = K [ 1 - e-t/T - t/T e-t/T ] = K[1-(1+t/T)e-t/T] Herleitung nach Laplace-Korrespondenztabelle 1/s(s-a)2 <-> 1/a2 [1 + (at-1) eat] April 2002 Blatt 2.20

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PTn) Verallgemeinerung Sprungantwort von PTn-Gliedern mit gleicher Zeitkonstanten: n-1 Y(t) = K (1 - e-t/T [ Σ 1/k! (t/T)k] k=0 Beispiele: n=1: y(t) = K(1- e-t/T ) n=2: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T]) n=3: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T+ 1/2 t2/T2]) n=4: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T+ 1/2 t2/T2 + 1/6 t3/T3]) Beipiel PT1-PT9 Glieder mit gleicher Zeitkonstanten Excel-Kurven (Anlage) April 2002 Blatt 2.21

Kurvencharakteristik Kurvenverlauf: mit zunehmender Ordnung flacher mit zunehmender Ordnung wird die Systemreaktion „langsamer“ Kurvenverlauf mit Wendepunkt Wendepunkt bedeutet mathematisch: 1. Ableitung weist im WP Maximum/Minimum auf 2. Ableitung hat O-stelle im WP Wir finden den Wendepunkt der Sprungantwort in dem Zeitpunkt, wo sich das Maximum / Minimum der Ableitungskurve (Gewichtsfunktion) befindet. g(t) = y(t) = K / Tn · tn-1/ (n-1)! · e-t/T PTn-Glied gleiche Zeitkonst. . April 2002 Blatt 2.22

Kurvenzusammenstellung PTn-Glied mit gleicher Zeitkonstanten Sprungantwort Gewichtsfunktion April 2002 Blatt 2.23

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (2) Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2S-Glied) ω0= Kreisfrequenz D = Dämpfung K = Verstärkungsfaktor G(s) = K / (s-s1)(s-s2) mit s1,2 = ω0(-ζ± √(ζ 2-1) Fall 1: ζ >1: aperiodische Dämpfung / Reihenschaltung von 2 Verzögerungs- Gliedern 1. Ordnung (wie vor; s1 = -1/T1; s2 = -1/T2) h(t) = K(1 + 1/(T1-T2) (T2e-t/T2-T1e-t/T1) April 2002 Blatt 2.24

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (3) Fall 2: D=1 Doppelpoliger aperiodischer Grenzfall (wie vor) h(t) = K(1 – (1+ t/T )e-t/T) Fall 3: 0< ζ < 1 Periodische Dämpfung h(t) = K(1 – 1/√(1- ζ 2) e- ζ ωot(sin(ω0√(1- ζ 2)t +φ) April 2002 Blatt 2.25

Übersicht einfacher Übertragungsglieder April 2002 Blatt 2.26

Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (1) April 2002 Blatt 2.27

Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (2) April 2002 Blatt 2.28

Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder © Übetragungsglieder 1- 3: Quelle: Unbehauen: Regelungstechnik I, Vieweg Verlag April 2002 Blatt 2.29