Kapitel 8 Anfragebearbeitung Logische Optimierung Physische Optimierung Kostenmodelle Tuning

2 Ablauf der Anfrageoptimierung Scanner Parser Sichtenauflösung Anfrage- Optimierer Codeerzeugung Ausführung Deklarative Anfrage Algebraischer Ausdruck Auswertungs- Plan (QEP)

3 Kanonische Übersetzung select A1,..., An from R1,..., Rk where P R1R2 R3 Rk P A1,..., An

4 Kanonische Übersetzung select Titel from Professoren, Vorlesungen where Name = ´Popper´ and PersNr = gelesenVon Professoren Vorlesungen Name = ´Popper´ and PersNr=gelesenVon Titel Titel ( Name = ´Popper´ and PersNr=gelesenVon (Professoren Vorlesungen))

5 Erste Optimierungsidee select Titel from Professoren, Vorlesungen where Name = ´Popper´ and PersNr = gelesenVon Professoren Vorlesungen PersNr=gelesenVon Titel Titel ( PersNr=gelesenVon (( Name = ´Popper´ Professoren) Vorlesungen)) Name = ´Popper´

6 Grundsätze: Sehr hohes Abstraktionsniveau der mengenorientierten Schnittstelle (SQL). Sie ist deklarativ, nicht-prozedural, d.h. es wird spezifiziert, was man finden möchte, aber nicht wie. Das wie bestimmt sich aus der Abbildung der mengenorientierten Operatoren auf Schnittstellen- Operatoren der internen Ebene (Zugriff auf Datensätze in Dateien, Einfügen/Entfernen interner Datensätze, Modifizieren interner Datensätze). Zu einem was kann es zahlreiche wies geben: effiziente Anfrageauswertung durch Anfrageoptimierung. i.Allg. wird aber nicht die optimale Auswertungsstrategie gesucht (bzw. gefunden) sondern eine einigermaßen effiziente Variante Ziel: avoiding the worst case Optimierung von Datenbank- Anfragen

7 1. Aufbrechen von Konjunktionen im Selektionsprädikat c 1 c 2... c n (R ) c 1 ( c 2 (…( c n (R )) …)) 2. ist kommutativ c 1 ( c 2 ((R )) c 2 ( c 1 ((R )) 3. -Kaskaden: Falls L 1 L 2 … L n, dann gilt L 1 ( L 2 (…( L n (R )) …)) L 1 (R ) 4. Vertauschen von und Falls die Selektion sich nur auf die Attribute A 1, …, A n der Projektionsliste bezieht, können die beiden Operationen vertauscht werden A 1, …, A n ( c (R )) c ( A 1, …, A n (R )) 5.,, und A sind kommutativ R A c S S A c R Äquivalenzerhaltende Transformationsregeln

8 6. Vertauschen von mit A Falls das Selektionsprädikat c nur auf Attribute der Relation R zugreift, kann man die beiden Operationen vertauschen: c (R A j S) c (R) A j S Falls das Selektionsprädikat c eine Konjunktion der Formc 1 c 2 ist und c 1 sich nur auf Attribute aus R und c 2 sich nur auf Attribute aus S bezieht, gilt folgende Äquivalenz: c (R A j S) c (R) A j ( c 2 (S)) Äquivalenzerhaltende Transformationsregeln

9 7. Vertauschung von mit A Die Projektionsliste L sei: L = {A 1,…,A n, B 1,…,B m }, wobei A i Attribute aus R und B i Attribute aus S seien. Falls sich das Joinprädikat c nur auf Attribute aus L bezieht, gilt folgende Umformung: L (R A c S) ( A 1, …, A n (R)) A c ( B 1, …, B n (S)) Falls das Joinprädikat sich auf weitere Attribute, sagen wir A 1 ', …, A p ', aus R und B 1 ', …, B q ' aus S bezieht, müssen diese für die Join-Operation erhalten bleiben und können erst danach herausprojiziert werden: L (R A c S) L ( A 1, …, A n, A 1, …, A n (R) A c B 1, …, B n, B 1, …, B n (R)) Für die -Operation gibt es kein Prädikat, so dass die Einschränkung entfällt. Äquivalenzerhaltende Transformationsregeln

10 8. Die Operationen A,,, sind jeweils (einzeln betrachtet) assoziativ. Wenn also eine dieser Operationen bezeichnet, so gilt: (R S ) T R (S T ) 9. Die Operation ist distributiv mit,,. Falls eine dieser Operationen bezeichnet, gilt: c (R S) ( c (R)) ( c (S)) 10. Die Operation ist distributiv mit. c (R S) ( c (R)) ( c (S)) Äquivalenzerhaltende Transformationsregeln

Die Join- und/oder Selektionsprädikate können mittels de Morgan's Regeln umgeformt werden: (c 1 c 2 ) ( c 1 ) ( c 2 ) 12. Ein kartesisches Produkt, das von einer Selektions- Operation gefolgt wird, deren Selektionsprädikat Attribute aus beiden Operanden des kartesischen Produktes enthält, kann in eine Joinoperation umgeformt werden. Sei c eine Bedingung der Form A B, mit A ein Attribut von R und B ein Attribut aus S. c (R S ) R A c S Äquivalenzerhaltende Transformationsregeln

12 1. Mittels Regel 1 werden konjunktive Selektionsprädikate in Kaskaden von -Operationen zerlegt. 2. Mittels Regeln 2, 4, 6, und 9 werden Selektionsoperationen soweit nach unten propagiert wie möglich. 3. Mittels Regel 8 werden die Blattknoten so vertauscht, dass derjenige, der das kleinste Zwischenergebnis liefert, zuerst ausgewertet wird. 4. Forme eine -Operation, die von einer -Operation gefolgt wird, wenn möglich in eine -Operation um 5. Mittels Regeln 3, 4, 7, und 10 werden Projektionen soweit wie möglich nach unten propagiert. 6. Versuche Operationsfolgen zusammenzufassen, wenn sie in einem Durchlauf ausführbar sind (z.B. Anwendung von Regel 1, Regel 3, aber auch Zusammenfassung aufeinanderfolgender Selektionen und Projektionen zu einer Filter-Operation). Heuristische Anwendung der Transformationsregeln

13 Anwendung der Transformationsregeln select distinct s.Semester from Studenten s, hören h Vorlesungen v, Professoren p where p.Name = ´Sokrates´ and v.gelesenVon = p.PersNr and v.VorlNr = h.VorlNr and h.MatrNr = s.MatrNr sh v p p.Name = ´Sokrates´ and... s.Semester

14 Aufspalten der Selektionsprädikate sh v p p.Name = ´Sokrates´ and... s.Semester sh v p p.PersNr=v.gelesenVon s.Semester p.Name = ´Sokrates´ s.MatrNr=h.MatrNr v.VorlNr=h.VorlNr

15 Verschieben der Selektionsprädikate Pushing Selections sh v p p.PersNr=v.gelesenVon s.Semester p.Name = `Sokrates` s.MatrNr=h.MatrNr v.VorlNr=h.VorlNr sh v p p.PersNr=v.gelesenVon s.Semester p.Name = ´Sokrates´ s.MatrNr=h.MatrNr v.VorlNr=h.VorlNr

16 Zusammenfassung von Selektionen und Kreuzprodukten zu Joins sh v p p.PersNr=v.gelesenVon s.Semester p.Name = ´Sokrates´ s.MatrNr=h.MatrNr v.VorlNr=h.VorlNr sh v p A s.MatrNr=h.MatrNr A p.PersNr=v.gelesenVon s.Semester p.Name = ´Sokrates´ A v.VorlNr=h.VorlNr

17 Optimierung der Joinreihenfolge Kommutativität und Assoziativität ausnutzen s h v p A s.MatrNr=h.MatrNr A p.PersNr=v.gelesenVon s.Semester p.Name = ´Sokrates´ A v.VorlNr=h.VorlNr sh v p A p.PersNr=v.gelesenVon s.Semester p.Name = ´Sokrates´ A v.VorlNr=h.VorlNr A s.MatrNr=h.MatrNr

18 Was hat´s gebracht? s h v p A s.MatrNr=h.MatrNr A p.PersNr=v.gelesenVon s.Semester p.Name = ´Sokrates´ A v.VorlNr=h.VorlNr sh v p A p.PersNr=v.gelesenVon s.Semester p.Name = ´Sokrates´ A v.VorlNr=h.VorlNr A s.MatrNr=h.MatrNr

19 Einfügen von Projektionen s h v p A s.MatrNr=h.MatrNr A p.PersNr=v.gelesenVon s.Semester p.Name = ´Sokrates´ A v.VorlNr=h.VorlNr s h v p A s.MatrNr=h.MatrNr A p.PersNr=v.gelesenVon s.Semester p.Name = ´Sokrates´ A v.VorlNr=h.VorlNr h.MatrNr

20 Eine weitere Beispieloptimierung

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28 Pull-basierte Anfrageauswertung open next Return Ergebnis

29 Pipelining vs. Pipeline-Breaker RS... T

30 Pipelining vs. Pipeline-Breaker RS... T

31 Pipeline-Breaker Unäre Operationen sort Duplikatelimination (unique,distinct) Aggregatoperationen (min,max,sum,...) Binäre Operationen Mengendifferenz Je nach Implementierung Join Union

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33 J1 nested (inner-outer) loop brute force-Algorithmus foreach r R foreach s S if s.B = r.A then Res := Res (r s) Implementierung der Verbindung: Strategien

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35 Block-Nested Loop Algorithmus Implementierung der Verbindung: Strategien m-k R k S kkkkk

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38 J4 Hash-Join R und S werden mittels der gleichen Hashfunktion h – angewendet auf R.A und S.B – auf (dieselben) Hash- Buckets abgebildet Hash-Buckets sind i.Allg. auf Hintergrundspeicher (abhängig von der Größe der Relationen) Zu verbindende Tupel befinden sich dann im selben Bucket Wird (nach praktischen Tests) nur vom Merge-Join geschlagen, wenn die Relationen schon vorsortiert sind Implementierung der Verbindung: Strategien

39 Implementierung der Verbindung: Strategien RS r1r1 5 s1s1 5 r4r4 5 s4s4 5 10s3s3 r2r2 7 s2s2 7 r3r3 8 h(A)h(A)h(B ) Bucket 3 Bucket 2Bucket 1

40 Normaler blockierender Hash- Join mit Überlauf: Partitionieren Send R Send S receive P1 P2P3 Partition h(R.A) P1 P2 P3 Partition h(S.A) receive

41 Normaler blockierender Hash-Join mit Überlauf: Build/Probe Send R Send S P1 P2P3 Partition h(R.A) P1 P2 P3 build Hashtabelle probe Lade Blöcke von P1

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46 Hybrid Hash-Join Fange so an, als wenn der Build-Input S vollständig in den Hauptspeicher passen würde Sollte sich dies als zu optimistisch herausstellen, verdränge eine Partition nach der anderen aus dem Hauptspeicher Mindestens eine Partition wird aber im Hauptspeicher verbleiben Danach beginnt die Probe-Phase mit der Relation R Jedes Tupel aus R, dessen potentielle Join-Partner im Hauptspeicher sind, wird sogleich verarbeitet Hybrid Hash-Join ist dann besonders interessant, wenn der Build-Input knapp größer als der Hauptspeicher ist Kostensprung beim normalen Hash-Join Wird oft auch Grace-Hash-Join genannt, weil er für die Datenbankmaschine Grace in Japan erfunden wurde

47 Hybrid Hash-Join RS P1 P2 P3 Hashtabelle

48 Hybrid Hash-Join RS P3 P1 P2 Hashtabelle

49 Hybrid Hash-Join RS P2 P3 P1 Hashtabelle

50 Hybrid Hash-Join R P2P3 Partition h(R.A) P2 P3 Hashtabelle probe Wenn r zur ersten Partition gehört

51 Parallele Anfragebearbeitung: Hash Join A´B´ scan split Ai Bi join merge A´´B´´ scan split Aj Bj join merge

52 Paralleler Hash Join – im Detail 1.An jeder Station werden mittels Hash-Funktion h1 die jeweiligen Partitionen von A und B in A1,...,Ak und B1,...,Bk zerlegt zh1 muss so gewählt werden, dass alle Ai´s aller Stationen in den Hauptspeicher passen 2.Für alle 1 <= i <= n: Berechne jetzt den Join von Ai mit Bi wie folgt a.Wende eine weitere Hash-Funktion h2 an, um Ai auf die l Stationen zu verteilen zSende Tupel t an Station h2(t) b.Eintreffende Ai-Tupel werden in die Hash-Tabelle an der jeweiligen Station eingefügt c.Sobald alle Tupel aus Ai verschickt sind, wird h2 auf Bi angewendet und Tupel t an Station h2(t) geschickt d.Sobald ein Bi-Tupel eintrifft, werden in der Ai-Hashtabelle seine Joinpartner ermittelt.

53 Mengendurchschnitt (~Join) mit einem Hash/Partitionierungs-Algorithmus R S R S Nested Loop: O(N 2 ) Sortieren: O(N log N) Partitionieren und Hashing

54 Mengendurchschnitt mit einem Hash/Partitionierungs-Algorithmus R S R S R Mod 3

55 Mengendurchschnitt mit einem Hash/Partitionierungs-Algorithmus R S R S R S Mod 3

56 Mengendurchschnitt mit einem Hash/Partitionierungs-Algorithmus R S R S R S Mod 3

57 Mengendurchschnitt mit einem Hash/Partitionierungs-Algorithmus R S R S Mod 5 Build- Phase Hashtabelle

58 Mengendurchschnitt mit einem Hash/Partitionierungs-Algorithmus R S = {3, } R S Mod 5 Probe- Phase

59 Mengendurchschnitt mit einem Hash/Partitionierungs-Algorithmus R S = {3, } R S Mod 5 Build-Phase 2. Partition

60 Mengendurchschnitt mit einem Hash/Partitionierungs-Algorithmus R S = {3, } R S Mod 5 Probe-Phase 2. Partition

61 Mengendurchschnitt mit einem Hash/Partitionierungs-Algorithmus R S = {3, 13 } R S Mod 5 Probe-Phase 2. Partition

62 Mengendurchschnitt mit einem Hash/Partitionierungs-Algorithmus R S R S Mod 3 R S = {3, 13, 2, 44, 17 }

63 Vergleich: Sort/Merge-Join versus Hash-Join R run S merge R partition S

64 Prallelausführung von Aggregat- Operationen Min: Min(R.A) = Min ( Min(R1.A),..., Min(Rn.A) ) Max: analog Sum: Sum(R.A) = Sum ( Sum(R1.a),..., Sum(Rn.A) ) Count: analog Avg: man muß die Summe und die Kardinalitäten der Teilrelationen kennen; aber vorsicht bei Null-Werten! Avg(R.A) = Sum(R.A) / Count(R) gilt nur wenn A keine Nullwerte enthält.

False drops 6 Bit (realistisch |R|*k Bits) Join mit Hashfilter (Bloom-Filter) R1 R2 partitionieren S1 S2 partitionieren

66.. Join mit Hashfilter (False Drop Abschätzung) Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Bit j gesetzt ist W. dass ein bestimmtes r R das Bit setzt: 1/b W. dass kein r R das Bit setzt: (1-1/b) |R| W. dass ein r R das Bit gesetzt hat: 1- (1-1/b) |R| j b-1

67 Illustration: Externes Sortieren

68 Illustration: Externes Sortieren

69 Illustration: Externes Sortieren

70 Illustration: Externes Sortieren sort

71 Illustration: Externes Sortieren sort run

72 Illustration: Externes Sortieren run

73 Illustration: Externes Sortieren sort run

74 Illustration: Externes Sortieren run

75 Illustration: Externes Sortieren sort run

76 Illustration: Externes Sortieren merge run

77 Illustration: Externes Sortieren merge run

78 Illustration: Externes Sortieren merge run

79 Illustration: Externes Sortieren merge run

80 Illustration: Externes Sortieren merge run

81 Illustration: Externes Sortieren run

82 Externes Sortieren: Merge mittels Heap/Priority Queue merge run 3 52

83 Externes Sortieren: Merge mittels Heap/Priority Queue merge run 2 53

84 Externes Sortieren: Merge mittels Heap/Priority Queue run 2 53

85 Externes Sortieren: Merge mittels Heap/Priority Queue run Ganz wichtig: aus dem grünen Run nachladen (also aus dem Run, aus dem das Objekt stammte)

86 Externes Sortieren: Merge mittels Heap/Priority Queue run 3 513

87 Externes Sortieren: Merge mittels Heap/Priority Queue run 3 513

88 Externes Sortieren: Merge mittels Heap/Priority Queue run

89 Externes Sortieren: Merge mittels Heap/Priority Queue run

90 Mehrstufiges Mischen / Merge

91 Replacement Selection während der Run-Generierung Ersetze Array durch Einen Heap

92 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap 97

93 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

94 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

95 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

96 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

97 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

98 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

99 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

100 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

101 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

102 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

103 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

104 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap Nächster Run, kleiner als 17

105 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap Nächster Run, kleiner als 17

106 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

107 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

108 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

109 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

110 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

111 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

112 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

113 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

114 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

115 Replacement Selection während der Run-Generierung Heap

116 Implementierungs-Details Natürlich darf man nicht einzelne Datensätze zwischen Hauptspeicher und Hintergrundspeicher transferieren Jeder Round-Trip kostet viel Zeit (ca 10 ms) Man transferiert größere Blöcke Mindestens 8 KB Größe Replacement Selection ist problematisch, wenn die zu sortierenden Datensätze variable Größe habe Der neue Datensatz passt dann nicht unbedingt in den frei gewordenen Platz, d.h., man benötigt eine aufwendigere Freispeicherverwaltung Replacement Selection führt im Durchschnitt zu einer Verdoppelung der Run-Länge Beweis findet man im [Knuth] Komplexität des externen Sortierens? O(N log N) ??

117 Algorithmen auf sehr großen Datenmengen R S R S Nested Loop: O(N 2 ) Sortieren: O(N log N) Partitionieren und Hashing

118 Übersetzung der logischen Algebra RS A R.A=S.B RS HashJoin R.A=S.B RS MergeJoin R.A=S.B [Sort R.A ][Sort S.B ] R S IndexJoin R.A=S.B [Hash S.B | Tree S.B ] R S NestedLoop R.A=S.B [Bucket]

119 Übersetzung der logischen Algebra P R Select P R IndexSelect P R

120 Übersetzung der logischen Algebra l R [NestedDup] Project l R [SortDup] Sort Project l R [IndexDup] [Hash | Tree] Project l R

121 Ein Auswertungsplan Ein Auswer- tungsplan

122 Wiederholung der Optimierungsphasen select distinct s.Semester from Studenten s, hören h Vorlesungen v, Professoren p where p.Name = ´Sokrates´ and v.gelesenVon = p.PersNr and v.VorlNr = h.VorlNr and h.MatrNr = s.MatrNr sh v p p.Name = ´Sokrates´ and... s.Semester

123 s h v p A s.MatrNr=h.MatrNr A p.PersNr=v.gelesenVon s.Semester p.Name = ´Sokrates´ A v.VorlNr=h.VorlNr

124 Kostenbasierte Optimierung Generiere alle denkbaren Anfrageausertungspläne Enumeration Bewerte deren Kosten Kostenmodell Statistiken Histogramme Kalibrierung gemäß verwendetem Rechner Abhängig vom verfügbaren Speicher Aufwands-Kostenmodell Durchsatz-maximierend Nicht Antwortzeit-minimierend Behalte den billigsten Plan

125 Problemgröße Suchraum (Planstruktur) 1.# Bushy-Pläne mit n Tabellen [Ganguly et al. 1992]: nenen (2(n-1))!/(n-1)! ,76* ,85 * ,3*10 27 (2(n-1))! (n-1)! 2. Plankosten unterscheiden sich um Größenordnungen 3. Optimierungsproblem ist NP-hart [Ibaraki 1984]

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127 Sind verschiedene Strategien anwendbar, so benötigt man zur Auswahl eine Kostenfunktion. Sie basiert auf dem Begriff der Selektivität. Die Selektivität eines Suchprädikats schätzt die Anzahl der qualifizierenden Tupel relativ zur Gesamtanzahl der Tupel in der Relation. Beispiele: die Selektivität einer Anfrage, die das Schlüsselattribut einer Relation R spezifiziert, ist 1/ #R, wobei #R die Kardinalität der Relation R angibt. Wenn ein Attribut A spezifiziert wird, für das i verschiedene Werte existieren, so kann die Selektivität als (#R/i) / #Roder 1/i abgeschätzt werden. Selektivität

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129 Abschätzung für einfache Fälle

130 Parametrisierte Verteilung Histogramm

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132 I/O-Kosten: Block Nested Loop Join

133 Tuning von Datenbanken Statistiken (Histogramme, etc.) müssen explizit angelegt werden Anderenfalls liefern die Kostenmodelle falsche Werte In Oracle … analyze table Professoren compute statistics for table; Man kann sich auch auf approximative Statistiken verlassen Anstatt compute verwendet man estimate In DB2 … runstats on table …

134 Analysieren von Leistungsengpässen Geschätzte Kosten von Oracle

135 Baumdarstellung

136 Beispiel Anfrage SELECT* FROMA, B, C WHERE A.a = B.a AND B.b = C.a ; Blätter Tabellen innere Knoten Operatoren Annotation Ausführungsorte ship client IdxNLJ 1 idxscan 3 fscan 2 fscan 1 A1A1 C3C3 B2B2 HashJ 1 Auswertungsplan

137 Algorithmen - Ansätze Erschöpfende Suche Dynamische Programmierung (System R) A* Suche Heuristiken (Planbewertung nötig) Minimum Selectivity, Intermediate Result,... KBZ-Algorithmus, AB-Algorithmus Randomisierte Algorithmen Iterative Improvement Simulated Annealing

138 Problemgröße Suchraum (Planstruktur) 1.# Bushy-Pläne mit n Tabellen [Ganguly et al. 1992]: nenen (2(n-1))!/(n-1)! ,76* ,85 * ,3*10 27 (2(n-1))! (n-1)! 2. Plankosten unterscheiden sich um Größenordnungen 3. Optimierungsproblem ist NP-hart [Ibaraki 1984]

139 Dynamische Programmierung II Identifikation von 3 Phasen 1.Access Root - Phase: Aufzählen der Zugriffspläne 2.Join Root - Phase: Aufzählen der Join-Kombinationen 3.Finish Root - Phase: sort, group-by, etc.

140 Optimierung durch Dynamische Programmierung Standardverfahren in heutigen relationalen Datenbanksystemen Voraussetzung ist ein Kostenmodell als Zielfunktion I/O-Kosten CPU-Kosten DP basiert auf dem Optimalitätskriterium von Bellman Literatur zu DP: D. Kossmann und K. Stocker: Iterative Dynamic Programming, TODS, 2000 to appear (online) OS-O Optimaler Subplan Optimaler Subplan

141 DP - Beispiel IndexPläne {ABC} {BC} {AC} {AB} {C} {B} {A} 1. Phase: Zugriffspläne ermitteln

142 DP - Beispiel IndexPläne {ABC} {BC} {AC} {AB} {C}scan(C) {B}scan(B), iscan(B) {A}scan(A) 1. Phase: Zugriffspläne ermitteln

143 DP - Beispiel IndexPläne {ABC} {BC}... {AC}s(A) A s(C), s(C) A s(A) {AB}s(A) A s(B), s(A) A is(B), is(B) A s(A),... {C}scan(C) {B}scan(B), iscan(B) {A}scan(A) Pruning 2. Phase: Join-Pläne ermitteln (2-fach,...,n-fach)

144 DP - Beispiel IndexPläne {ABC} (is(B) A s(A)) A s(C) {BC}... {AC} s(A) A s(C) {AB} s(A) A is(B), is(B) A s(A) {C}scan(C) {B}scan(B), iscan(B) {A}scan(A) 3. Phase: Finalisierung

145 Enumeration Effiziente Enumeration [Vance 96] anstatt zunächst alle 2-elem, 3-elem,..., n-elem Pläne sequentiell zu enumerieren: effizientes Interleaving nur Pläne aus bereits berechneten Zeilen notwendig Beispiel: 1. A 2. B 3. AB 4. C 5. AC 6. BC 7. ABC