Primzahlen zum Zweiten Mehr über Primzahlen und Zahlentheorie Primzahlen zum Zweiten

Referenzen: Meine Hochschule Primzahlen zum Zweiten

Referenzen: Meine Gemeinde Fritz-Herrmann Lutz, bewundernswerter Kommunikator, aber: Er hat noch nie eine Matheveranstaltung in Eppelborn besucht. Mathephobie? Zur Zeit Wahlk(r)ampf Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Der Plan Was sind Primzahlen und warum sie interessant sind Es gibt unendlich viele Primzahlen Praxis, Primfaktorzerlegung Pause für notwendige körperliche Aktivitäten Primzahlenzwillinge Rekorde Wie Sie berühmt werden können Wie geht es weiter? Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Anmerkungen Was kann man einem intelligenten Laien-publikum zumuten? Nicht alle Ankündigungen werden erfüllt Das Problem der Ergebnissicherung Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Die endgültige Definition: Eine natürliche Zahl, von 1 verschieden, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. 1 ist keine Primzahl. (Eine Konvention der Mathematiker) Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Einige Primzahlen Der Anfang: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …. Einige größere Primzahlen: 131, 313, 641, 1 111 111 111 111 111 111, 220996011-1, eine Zahl mit 6 320 430 Dezimalstellen. Die größte bekannte Primzahl (10.12.2003!) Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Anmerkung 273 – 1 ist keine Primzahl, denn: 273 – 1 = 9 444 732 965 739 290 427 391 = 439 * (9 361 973 132 609) * (2 298 041) Primzahlen zum Zweiten

Anmerkung zur Anmerkung Können Sie diese Rechnung überprüfen? Wie kann man 273 berechnen? (2*2*2*…*2, 73 Faktoren)? Wie berechnet man dieses Riesenprodukt bei der Zerlegung? Haben Sie Vertrauen zu Programmen? Primzahlen zum Zweiten

Warum Primzahlen wichtig sind (aus der Sicht der Mathematiker) Der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen Beispiele: 42 = 2∙3∙7 700 = 2∙2∙5∙5∙7 = 22∙52∙7 Sie finden dies bei Euklid Primzahlen zum Zweiten

Warum Primzahlen wichtig sind (Praxis) Große Primzahlen für asymmetrische Verfahren der Kryptologie Es ist schwierig, die Primfaktorzerlegung großer Zahlen herzustellen. Primzahlen zum Zweiten

Wie viele Primzahlen gibt es? Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen Primzahlen zum Zweiten

Schönheit in der Mathematik Paul Erdös Idee: Proofs from the Book Eine Sammlung schöner Beweise Primzahlen zum Zweiten

Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet Die Idee: Aus endlich vielen Primzahlen kann man eine neue konstruieren. Beispiele: p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5 E = 2∙3∙5 + 1 = 31: Eine neue Primzahl! Primzahlen zum Zweiten

Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet Beispiele: p1 = 3, p2 = 5, p3 = 7 E = 3∙5∙7 + 1 = 106: Keine neue Primzahl! Aber: E enthält nur neue Primzahlen als Faktoren, hier die Zahlen 2 und 53. Keine der Zahlen 3,5,7 teilt 106 Primzahlen zum Zweiten

Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet Allgemein: p1, p2, p3, …, pn seien Primzahlen. E = p1∙ p2 ∙ p3 ∙ … ∙ pn + 1 : Keine der Zahlen p1, p2, p3, …, pn teilt E. Die Primfaktoren von E sind neue Primzahlen. Primzahlen zum Zweiten

Beweise für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen Sechs Beweise in THE BOOK 12 Beweise in Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory 27 Beweise auf www.beweise.mathematic.de Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Der Fakultätenbeweis Idee: Keine der Zahlen 1, 2, 3, 4, …, n ist Teiler von f(n) = n! + 1. Also sind alle Primfaktoren von f(n) größer als n. Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Exkurs: Fakultäten 4! = 1∙2∙3∙4 = 24 n! = 1∙2∙3∙ ∙∙∙∙∙ ∙(n-1) ∙n 0! = 1 5! = 120 10! = 3 628 800 Primzahlen zum Zweiten

Warum Rainer Roos Mathematiker wurde Warum ist 0! = 1? Ist x! eine „richtige“ Funktion? Wie kommt ein Auto zum Stehen? Später: Wie sicher sind mathematische Aussagen? Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten 100! 9332621544 3944152681 6992388562 6670049071 5968264381 6214685929 6389521759 9993229915 6089414639 7615651828 6253697920 8272237582 5118521091 6864000000 0000000000 00000000 Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten 1000! 4023872600770937735437024339230039857193748642107146325437999104\ 2993851239862902059204420848696940480047998861019719605863\ 1666872994808558901323829669944590997424504087073759918823\ 6277271887325197795059509952761208749754624970436014182780\ 9464649629105639388743788648733711918104582578364784997701\ 2476632889835955735432513185323958463075557409114262417474\ 3493475534286465766116677973966688202912073791438537195882\ 4980812686783837455973174613608537953452422158659320192809\ 0878297308431392844403281231558611036976801357304216168747\ 6096758713483120254785893207671691324484262361314125087802\ 0800026168315102734182797770478463586817016436502415369139\ 8281264810213092761244896359928705114964975419909342221566\ 8325720808213331861168115536158365469840467089756029009505\ 3761647584772842188967964624494516076535340819890138544248\ 7984959953319101723355556602139450399736280750137837615307\ 1277619268490343526252000158885351473316117021039681759215\ 1090778801939317811419454525722386554146106289218796022383\ 8971476088506276862967146674697562911234082439208160153780\ 8898939645182632436716167621791689097799119037540312746222\ 8998800519544441428201218736174599264295658174662830295557\ 0299024324153181617210465832036786906117260158783520751516\ 2842255402651704833042261439742869330616908979684825901254\ 5832716822645806652676995865268227280707578139185817888965\ 2208164348344825993266043367660176999612831860788386150279\ 4659551311565520360939881806121385586003014356945272242063\ 4463179746059468257310379008402443243846565724501440282188\ 5252470935190620929023136493273497565513958720559654228749\ 7740114133469627154228458623773875382304838656889764619273\ 8381490014076731044664025989949022222176590433990188601856\ 6526485061799702356193897017860040811889729918311021171229\ 8459016419210688843871218556461249607987229085192968193723\ 8864261483965738229112312502418664935314397013742853192664\ 9875337218940694281434118520158014123344828015051399694290\ 1534830776445690990731524332782882698646027898643211390835\ 0621709500259738986355427719674282224875758676575234422020\ 7573630569498825087968928162753848863396909959826280956121\ 4509948717012445164612603790293091208890869420285106401821\ 5439945715680594187274899809425474217358240106367740459574\ 1785160829230135358081840096996372524230560855903700624271\ 2434169090041536901059339838357779394109700277534720000000\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\ 0000000000 Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Stirlingsche Formel James Stirling, 1692 – 1770, Mitstreiter Newtons Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Der Fakultätenbeweis n Zerlegung von n! + 1 2 3 7 4 5∙5 5 11 ∙11 6 7 ∙103 71 ∙71 8 61∙661 9 19 ∙71∙269 Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Der Satz von Wilson p ist genau dann eine Primzahl, wenn p ein Teiler von (p-1)! + 1 ist. Beispiel: p = 7: 7 teilt 6! + 1; 7 ist Primzahl p = 6; 6 teilt 5! + 1 nicht; 6 keine Primzahl Primzahlen zum Zweiten

Ein Beweis mit Fermat-Zahlen aus dem Buch Pierre de Fermat Geb.: 1601 in Beaumont de Lomagne Gest.: 1665 in Castres Genialer Zahlentheoretiker Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Fermat-Zahlen Fermats Vermutung: Alle Zahlen dieser Form sind Primzahlen. Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Fermat-Zahlen F(0) = 21 + 1 = 3, Primzahl F(1) = 22 + 1 = 5, Primzahl F(2) = 24 + 1 = 17, Primzahl F(3) = 28 + 1 = 257, Primzahl F(4) = 216 + 1 = 65 537, Primzahl F(5) = 232 + 1 = 4 294 967 297 = 641 ∙ 6700417 Primzahlen zum Zweiten

Eine wunderschöne Idee: Man zeigt: Die Fermat-Zahlen sind paarweise teilerfremd. Daher enthalten verschiedene Fermatzahlen verschiedene Primfaktoren. Es gibt aber unendlich viele Fermatzahlen, fertig! Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Teilerfremde Zahlen Beispiele: 25, 42 sind teilerfremd 40, 63 sind teilerfremd 24, 42 sind nicht teilerfremd: 2, 3, 6 sind gemeinsame Teiler Primzahlen zum Zweiten

Die Teilerfremdheit der F(n) Man beweist: Für jede natürliche Zahl n gilt: F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2 Primzahlen zum Zweiten

F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2 3 ∙ 5 ∙ 17 = 257 – 2 Primzahlen zum Zweiten

F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2 Primzahlen zum Zweiten

F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2 Jeder gemeinsame Teiler von F(i), i <n, und F(n) teilt 2. Alle F(i) sind ungerade. Es bleibt nur eins übrig als Teiler von 2. Primzahlen zum Zweiten

Bestimmung von Primzahlen Verschiedene Vorgehensweisen: Siebe (Eratosthenes, quadratische Siebe) Formeln (traurig und schön) Monte-Carlo-Methoden für große Primzahlen Primzahlen zum Zweiten

Eine Formel für alle Primzahlen Hardy und Littlewoods Formel n Zweien bei f(n) ω = 1.9287800… Zur Berechnung von ω benötigt man alle Primzahlen Nicht sehr praktisch! Es gibt weitere solcher Formeln Primzahlen zum Zweiten

Noch einmal: Drei wichtige Probleme Wie findet man große Primzahlen? Wie prüft man große Zahlen auf Primzahl-eigenschaft? Wie hoch ist der Aufwand, beliebige große Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen? Primzahlen zum Zweiten

Große Primzahlen für die Praxis Erzeuge eine Zufallszahl mit vorgegebener Stellenzahl. Teste, ob die Zahl durch kleine Primzahlen teilbar ist. Teste mit einem probabilistischen Test auf Primalität, mehrfach. Primzahlen zum Zweiten

Probabilistische Tests (z.B. Miller-Rabin) Sagt der Test nein, dann keine Primzahl. Sagt der Test ja, dann mit hoher Wahrscheinlichkeit Primzahl. Irrtumswahrscheinlichkeit: etwa 0,001 Bei n-maliger erfolgreicher Durchführung ist die Fehlerwahrscheinlichkeit (0,001)n. Primzahlen zum Zweiten

Deterministische Tests für beliebige Zahlen n Bis vor wenigen Monaten nur Tests mit nicht polynomialer Laufzeit in n. Seit dem 6.8.2002 sieht die dieser Teil der Primzahlenwelt freundlicher aus. Primzahlen zum Zweiten

Test von Nitin, Neeraj, Manindra (August 2002) A(n) = Aufwand, n auf Primalität zu testen A (n) = O((ln n)12) Primzahlen zum Zweiten

Aufwand bei Primfaktorzerlegung: Quadratisches Sieb Primzahlen zum Zweiten

Aufwand beim quadratischen Sieb Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Primzahlenzwillinge Primzahlen im Abstand 2: 3, 5 11, 13 29, 31 101, 103 …….. Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Die Top 10 Primzahlen zum Zweiten

Wie viele Zwillinge gibt es? Man weiß es nicht. Wahrscheinlich unendlich viele (Hardy) Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Bruns Witz Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Viggo Brun Norwegischer Mathematiker, 1885 – 1978 Bedeutender Zahlen-theoretiker Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Rekorde 2. Dezember 2003: Größte Primzahl entdeckt, Typ Mersenne: M(20 996 011) = 220996011 – 1 Diese Zahl hat 6 320 430 Dezimalstellen! Projekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Wie groß ist diese Zahl? In Winword bei 12-Punkt-Arial 3825 Einsen pro Seite Also 6 320430 : 3825 Seiten, dies sind mehr als 1650 Seiten Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Einige Anmerkungen M40 oder M41 oder M42? Preise: 100 000 $ für die erste Primzahl mit 10 000 000 Stellen 150 000 $ für die erste Primzahl mit 100 000 000 Stellen 250 000 $ für die erste Primzahl mit 1 000 000 000 Stellen (Electronic Frontier Foundation) Primzahlen zum Zweiten

Wege zum Ruhm: Offene Probleme der Zahlentheorie Die Goldbachsche Vermutung Die Riemannsche Vermutung Vermutung, dass es nur endlich viele Fermatprimzahlen gibt Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlenzwillinge gibt Ein schnelle Algorithmus zur Primfaktorzerlegung Primzahlen zum Zweiten

Konkurrenten beim Berühmtwerden Primzahlen zum Zweiten

Die Goldbachschen Vermutungen Christian Goldbach Geb. 1690 in Königsberg Gest.: 1764 in Moskau Bedeutender preussischer Mathematiker, Zusammenarbeit mit Euler und den Bernoullis Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Brief an Euler 1742 Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Die Vermutungen Goldbach I: Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe zweier Primzahlen. Beispiel: 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 13 + 87 = …. Goldbach II: Jede ungerade Zahl > 7 ist die Summe von drei ungeraden Primzahlen Beispiel: 51 = 3 + 17 + 31 = 5 + 17 + 29 = 5 + 23 + 23 = …. Primzahlen zum Zweiten

Goldbach I: State of the Art Bestätigt bis 2x1016 Jede gerade Zahl ist Summe von höchstens 6 Primzahlen Vinogradov: Jede genügend große Zahl ist Summe von höchstens 4 Primzahlen Vinogradov: Fast alle geraden Zahlen sind Summe von 2 Primzahlen Cheng Jing-run (1966): Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe aus einer Primzahl und einer Zahl mit höchstens zwei Primfaktoren Primzahlen zum Zweiten

Goldbach I: State of the Art Im Jahr 2000 wurde ein Preis von 1 000 000 $ für den Beweis der Goldbachschen Vermutung ausgesetzt. Nach Ansicht der meisten Mathematiker stimmt die Goldbachsche Vermutung; statistische Argumente sprechen dafür. Primzahlen zum Zweiten

Goldbach II: State of the Art Cheng und Wang 1989: Jede Zahl n > 1043000 erfüllt Goldbach II Mit der Riemannschen Vermutung: Jede Zahl > 1,615∙1012 erfüllt Goldbach II; Überprüfung mit Computern war erfolgreich! Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Bernhard Riemann (1826 – 1866) Nachfolger von Gauß in Göttingen Mathematisches Genie Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts- theorie Primzahlen zum Zweiten

Die Riemannsche Vermutung Primzahlen zum Zweiten

Ein weiterer Weg zum Ruhm Es gibt nur endlich viele Fermat- Primzahlen Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Primzahlenzwillinge Zeigen Sie, dass es unendlich viele gibt, entschärfen Sie den Witz von Viggo Brun. Sie werden länger berühmt sein als Daniel Kübelböck. Sie werden die Fields-Medaille oder den Abelpreis erhalten. Primzahlen zum Zweiten

Ein schneller Algorithmus zur PFZ Überleben schwierig! Falls doch, Sie sind berühmt, für immer! Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Literaturtipps Harald Scheid: Zahlentheorie Spektrum Verlag 2003, 49,95 € Paolo Ribenboim: My Numbers, my Friends Springer Verlag 2000, 39,95 $ Paolo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records Springer Verlag 1996, 40,41€ Primzahlen zum Zweiten

Primzahlen zum Zweiten Links www.primzahlen.de www.beweise.mathematic.de http://www-gap.dcs.st-and.ac-uk/~history/ (The Mac-Tutor of History of Mathematics Archive) Primzahlen zum Zweiten

Weitere Veranstaltungen Mathe für Alle in Eppelborn: Induktion und voll-ständige Induktion Im April 2004 Schrecken der Unendlichkeit II: Am 22. 1.2004 um 19.30 in Tholey. Ort: Sitzungsaal im Rathaus Primzahlen zum Zweiten