Freie Universität Berlin Institut für Informatik 26 August 2003 Hamilton-Pfad in Gittergraphen ist NP-vollständig Seminar über Algorithmen bei Prof. Rote Von Stephanie Wilke Am 31.10.07 1 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Überblick 26 August 2003 Definitionen Teilprobleme Das Hamilton-Pfad Problem ist NP-vollständig 2 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Definitionen 26 August 2003 Hamilton-Pfad Problem Ein Hamilton-Pfad in einem ungerichteten Graphen ist ein Pfad, der jeden Knoten genau einmal enthält 3 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Definitionen 26 August 2003 Ein Grittergraph ist ein Graph G[w,h] mit Breite w + 1 und Höhe h + 1 definiert als der Graph mit der Knotenmenge V = {0, . . . ,w} × {0, . . . , h} und der Kantenmenge E wobei E = {{(x, y), (x′, y′)} ⊆ V | |x − x′| + |y − y′| = 1} ist. h+1 (x,y) w+1 4 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Definitionen 26 August 2003 x, y sind die Koordinaten eines Knotens v Ein Knoten ist gerade, wenn x + y Ξ 0 (mod 2) ist s,t є G sind verschiedene Knoten von G 5 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Definitionen 26 August 2003 planar bipartiter Graph B = ((V0 V1 ), E) mit dem Grad ≤ 3 V0, V1є V x1 y1 x2 y2 x3 y3 V0 V1 6 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Definitionen 26 August 2003 NP-vollständig Ein Problem heißt NP-vollständig, g.d.w. es in NP liegt Mit festlegen eines Zeugen und NP-schwer ist Ein Problem L heißt NP-schwer, g.d.w. L‘ ≤p L für alle L‘ є NP 7 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Überblick 26 August 2003 Definitionen Teilprobleme Das Hamilton-Pfad Problem ist NP-vollständig 8 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Teilprobleme 26 August 2003 Umwandlung eines planaren bipartiten Graphen B in einen Gittergraphen G Mit Hilfe einer Funktion, die paritätserhaltende Einbettung erzielt diese Umwandlung wird nur abstrakt dargestellt Erstellen eines Clusters und Erstellen von Streifen und daraus Tentakel 9 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Teilprobleme 1 26 August 2003 Mit dieser Funktion, kann man in polynomieller Zeit einen planaren bipartiten Graphen B in einen Gittergraphen G umwandeln Funktion 1. alle Knoten von V0 werden auf gerade Knoten von G abgebildet 2. die Knoten von V1 werden auf ungerade Knoten von G abgebildet 3. die Kanten von B werden in Wege in G dargestellt wobei die Knoten nur zu einem Weg gehören dürfen 10 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Teilprobleme 1 26 August 2003 x1 y1 x3 x1 y1 Funktion x2 y2 x2 y2 x3 y3 y3 11 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Teilprobleme 1 26 August 2003 Lemma 1: Wenn B ein planarer bipartiter Graph mit n Knoten und Grad ≤ 3 ist, kann man in polynomieller Zeit einen Gittergraphen erstellen. 12 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Teilprobleme 2 26 August 2003 Aus jedem Knoten von B wird ein 9–Cluster erstellt Lemma 2: Jedes 9–Cluster hat einen Hamilton-Pfad, für alle 1≤i<j≤4 von pi nach pj, der die Kanten (e1, e2, e3, e4) enthält Es gibt endlich viele Möglichkeiten e4 p4 p3 t e3 e1 p2 p1 e2 s 13 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Teilprobleme 2 26 August 2003 p4 p3 e4 t p4 t e4 p4 e4 p3 p3 e3 e3 e3 e1 e1 e1 p2 s e2 p2 s p1 e2 p2 s e2 t p1 p1 t t t s e4 e4 e4 p4 p3 p4 p3 p4 p3 e3 e3 e3 e1 e1 e1 p2 p2 p2 e2 e2 e2 p1 s p1 s p1 14 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Teilprobleme 3 26 August 2003 Ein Streifen ist ein rechteckiger Graph, der über seine Länge und Breite definiert ist Ein Tentakel T beschreibt einen Weg in einem Gittergraphen, wobei die Kanten in diesem Weg aus Streifen bestehen 15 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Teilprobleme 3 26 August 2003 Die Tentakel können entweder mit einem Rückkehrpfad durchlaufen werden oder mit einem Zickzackpfad 16 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Teilprobleme 3 26 August 2003 Lemma 3: Wenn s und t zwei verschiedene Eckknoten von Tentakel T sind, dann hat T einen Hamilton-Pfad, sobald die Koordinaten von s und t unterschiedliche Paritäten haben. s=(0,1) t=(6,0) s=(0,1) t=(7,0) 17 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Teilprobleme 3 26 August 2003 (0,6) (0,6) (1,6) (0,6) 18 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Überblick 26 August 2003 Definitionen Teilprobleme Das Hamilton-Pfad Problem ist NP-vollständig 19 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Vorgehensweise 26 August 2003 Vorausgesetzt wird, dass das Hamilton-Kreis Problem für planare bipartite Graphen NP–vollständig ist. Das Hamilton-Kreis Problem ist auch für Gittergraphen NP–vollständig. Umwandlung eines planaren bipartiten Graphen in einen Gittergraphen in polynomieller Zeit Das Hamilton-Kreis Problem ist NP-vollständig, also ist auch das Hamilton-Pfad Problem NP-vollständig durch die Reduktion vom Hamilton-Kreis Problem für Gittergraphen auf das Hamilton-Pfad Problem für Gittergraphen 20 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik NP–vollständig 26 August 2003 Theorem: Das Hamilton-Kreis Problem ist für Gittergraphen NP-vollständig. 21 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Voraussetzung 26 August 2003 Wir gehen davon aus, dass das Hamilton-Kreis Problem für planare bipartite Graphen B mit dem Grad ≤ 3 NP–vollständig ist. Wir konstruieren einen Gittergraphen G, so dass G genau dann einen Hamilton-Kreis enthält, wenn B einen Hamilton-Kreis enthält s x1 y1 x2 y2 x3 y3 V0 V1 22 prechelt@inf.fu-berlin.de

Umwandlung mit Teilproblem 1 Freie Universität Berlin Institut für Informatik Umwandlung mit Teilproblem 1 26 August 2003 Um zu zeigen, dass das Hamilton-Kreis Problem für Gittergraphen NP–vollständig ist, wird in polynomieller Zeit ein planarer bipartiter Graph in einen Gittergraph umgewandelt. x1 y1 x3 x1 y1 Funktion x2 y2 x2 y2 x3 y3 y3 23 prechelt@inf.fu-berlin.de

Umwandlung mit Teilproblem 2 Freie Universität Berlin Institut für Informatik Umwandlung mit Teilproblem 2 26 August 2003 Wir erzeugen aus dem Gittergraphen G1 einen Gittergraphen G9 indem wir die Größe (die Anzahl der Knoten) von G1 mit 9 multiplizieren. Dadurch hat jeder Knoten von B ein entsprechendes 9–Cluster G9 x1 y1 x3 y2 x2 y3 24 prechelt@inf.fu-berlin.de

Umwandlung mit Teilproblem 3 Freie Universität Berlin Institut für Informatik Umwandlung mit Teilproblem 3 26 August 2003 Und die Kanten von B werden durch Tentakel simuliert x1 y1 x3 x2 y2 y3 25 prechelt@inf.fu-berlin.de

Umwandlung mit Teilproblem 3 Freie Universität Berlin Institut für Informatik Umwandlung mit Teilproblem 3 26 August 2003 Dabei muss man darauf achten, wie die Tentakel an die 9-Cluster angehängt werden Annahme es gibt eine Kante k von v nach u in G, mit v є GERADE und u є UNGERADE Wenn k den geraden Knoten v unten verlässt, dann wird der Tentakel wie in der Abbildung verbunden andere Fälle durch Drehen symmetrisch v u 26 prechelt@inf.fu-berlin.de

Umwandlung mit Teilproblem 3 Freie Universität Berlin Institut für Informatik Umwandlung mit Teilproblem 3 26 August 2003 mit dem ungeraden Knoten u wird der Tentakel wie in der Abbildung dargestellt verbunden andere Fälle durch Drehen symmetrisch v u 27 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Beweis „=>“ 26 August 2003 B hat einen Hamilton-Kreis => G hat einen Hamilton-Kreis Ein Hamilton-Kreis von G wird wie folgt konstruiert: Die Kanten, die zum Hamilton-Kreis von B gehören, werden für den Hamilton-Kreis in G durch Tentakel mit Zickzackpfaden abgedeckt Alle anderen Kanten werden in G durch Tentakel mit Rückkehrpfaden abgedeckt Die Knoten (9-Cluster) des Gittergraphen können, wie vorher im Lemma 2 gezeigt, verbunden und durchlaufen werden 28 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Beweis „=>“ 26 August 2003 s s x1 y1 x2 y2 x3 y3 29 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Beweis „<=“ 26 August 2003 B hat einen Hamilton-Kreis <= G hat einen Hamilton-Kreis Jeder Tentakel aus B wird in G entweder durch einen Zickzackpfad oder einen Rückkehrpfad abgedeckt Aus der Konstruktion der Tentakel folgt: Der Hamilton-Kreis in B besteht nur aus Kanten, deren zugehörige Tentakel in G mit Zickzackpfaden abgedeckt sind Dieser Kreis ist ein Hamilton-Kreis, weil jedes 9-Cluster nur dann zum Hamilton-Kreis gehören kann, wenn es genau zwei Zickzackpfade verbindet 30 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik Beweis 26 August 2003 Durch den Beweis in beide Richtungen ist gezeigt, dass das Hamilton-Kreis Problem für planare bipartite Graphen polynomialzeitreduzierbar auf das Hamilton-Kreis Problem für Gittergraphen ist. 31 prechelt@inf.fu-berlin.de

Hamilton-Kreis ≤ Hamilton-Pfad Freie Universität Berlin Institut für Informatik Hamilton-Kreis ≤ Hamilton-Pfad 26 August 2003 Bisher: Hamilton-Kreis für planare bipatite Graphen ist NP-vollständig Umwandlung in Gittergraph Hamilton-Kreis ≤ Hamilton-Pfad: Wenn G ein Gittergraph mit Hamilton-Kreis ist, der keine Knoten mit Grad < 2 hat, muss ein Eckknoten s existieren mit Grad = 2, und t ein Nachbar von s sein Das Hamilton-Pfad Problem für G hat genau dann eine Lösung, wenn G einen Hamilton-Kreis hat 32 prechelt@inf.fu-berlin.de

Freie Universität Berlin Institut für Informatik 26 August 2003 Danke! 33 prechelt@inf.fu-berlin.de