Dubbers, Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik 2. Relativitätstheorie: Dynamik 30 S. 2.1 Masse und kinetische Energie S. 2 2.2 Gesamtenergie S. 6 2.3 Lorentz-Invarianz der Elektrodynamik S.11 2.4 Allgemeine RT S.13 08.11.2018 Dubbers, Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

2.1 Masse und kinetische Energie Kanonenkugel der Masse m, abgeschossen in y-Richtung mit nicht-relativist. Geschwindigkeit uy Einschusskrater in Wand: Einschlagtiefe Δy = f (py) ist eine (unbekannte) Funktion des Impulses py = muy uy Δy 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

dasselbe im bewegten System: uy → υ Dasselbe in einem Inertialsystem, das sich mit der Geschwindigkeit υ in x-Richtung bewegt: unter Zeitdilatation laufen alle Prozesse langsamer, dh. die Geschwindigkeit der Kugel verringert sich auf uy' = (1 − υx2/c2 )½ uy (vgl. Kap. 1.4). Lorentz-Transformation in x-Richtung beeinflusst nicht die Prozesse in y-Richtung (y' = y, z' = z), daher: dieselbe Einschlagtiefe Δy, dh. derselbe Impuls py. 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik Masse 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik Kinetische Energie 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik 2.2 Gesamtenergie Erhaltungsgrößen bleiben im Laufe einer Wechselwirkung erhalten, einfachste Wechselwirkung ist der Stoß zweier Massenpunkte. Die Stoßgesetze folgen aus Energie- und Impuls-Erhaltung, ohne eine genaue Kenntnis der Wechsel-Wirkung nötig wäre. A. Klassische Mechanik: 5 Erhaltungsgrößen beim elastischen Stoß: Impuls p = mu: pA + pB = pC + pD Energie E = p2/2m: EA + EB = EC + ED Masse m: mA + mB = mC + mD Die Impulserhaltung nach Galilei-Transformation u' = u − υ ist nur gewährleistet, wenn gleichzeitig Massenerhaltung: pA' + pB' − (mA+mB) υ = pC' + pD' − (mC+mD) υ A B C D υ 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Erhaltungssätze relativistisch B. Relativistische Mechanik: Erhaltung des 4er-Impulses P = γm (u, c) = (p, γmc) : PA + PB = PC + PD = 4 Gleichungen Betrachtung der einzelnen Komponenten: der 3er Impuls p = γmu bleibt erhalten: pA + pB = pC + pD die 4. Komponente liefert Erhaltung der Masse: γc(mA+ mB) = γc(mC + mD) nehme 4. Komponente × c: γmAc2 + γmBc2 = γmCc2 + γmDc2 → Erhaltung der Gesamt-Energie E = γmc2 schreibe: E = (γ − 1) mc2 + mc2 mit Ekin = (γ − 1) mc2, wie bisher, und Ruhe-Energie = mc2 (da es nur auf Energie-Differenzen ankommt, kann man o.B.d.A. Nullpunkt von Energie und Masse gleichsetzen) dh. nur 4 Erhaltungsgrößen, allein aus der Erhaltung des 4er-Impulses P = (p, E/c) ergeben sich die Erhaltungssätze für Impuls p, Energie E und Ruhemasse m. 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Teilchen im Beschleuniger klassisch relativistisch 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik Elektronen-Volt Beispiele E = γmc2 Gold ion beam-beam collisions at a momentum of 100 + 100 GeV/c per nucleon showing hadronized charged particle debris. 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Energie-Impuls Relation mpc2 Energie-Impuls Relation mc2 E pc 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

2.3 Lorentz-Invarianz der Elektrodynamik Die magnet. WW F = e υ×B ist in Wirklichkeit ein relativist. Effekt der elektr. WW. Sie kommt durch die Lorentz-Kontraktion bewegter elektrischer Ladungen zustande: e− d υ 1. Leiter ohne Strom: el. neutral Elektronen-Strahl 1. Ohne Strom: positive und negative Ladungen im Leiter werden vom vorbei fliegenden Elektronenstrahl in gleicher Weise Längen-kontrahiert gesehen: Der Leiter erscheint ungeladen, keine Kraft auf Elektron. 2. Mit Strom: positive und negative Ladungen bewegen sich verschieden schnell im Leiter und werden daher vom fliegenden Elektron in verschiedener Weise Längen-kontrahiert gesehen, dh. + und − haben verschiedene Ladungsdichte: Der Leiter erscheint geladen, dh. das bewegte Elektron sieht eine relativistisch induzierte elektrostatische Kraft. (nachrechnen) u υ e− d/γ 2. Leiter mit Strom: el. geladen (vom bewegten e− aus gesehen) Elektronen-Strahl F = eE 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Lorentz Transformation des el.-magn. Felds Elektrisches Feld einer ruhenden Punkt-Ladung Elektrisches Feld einer mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Punkt-Ladung NB: c2 = 1/ε0μ0 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik 2.4 Allgemeine RT (Kür) Spezielle RT: In allen mit konstanter Geschwindigkeit υ gegeneinander bewegten Inertial-Systemen sind die Gesetze der Physik die gleichen, inklusive die Gesetze der Elektrodynamik. In gegeneinander beschleunigten Bezugssystemen sind die Gesetze der Physik dagegen nicht gleich: Scheinkräfte, Zentrifugal- und Coriolis-Kräfte, … Allgemeine RT = Theorie der Gravitation Demo: freier Fall a = g unabh. von Masse Newton: mta Trägheit gegen Beschleunigung = ∑i Fi = Summe aller Kräft = msg = Massenladung × Gravitationsfeld + eE + elektr. Ladung × elektr. Feld + … + schwache Ladung × schwaches Feld + Farb-Ladung × starkes Feld Die Zahl der elektr. Ladungen q = Ne auf einem Körper der Masse m kann beliebige Werte annehmen, dh. an einem geg. Ort mit Feld E können die verschiedensten Beschleunigungen a = (q/m)·E auftreten. Dagegen führt die Masse mt an einem geg. Ort mit Grav.-Feld g stets zur gleichen Beschl. a = (ms/mt)·g. Daher Gleichsetzung o.B.d.A.: träge Masse mt = schwere Masse ms. Gravitation ist etwas Besonderes. 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik Äquivalenz-Prinzip: Universe At rest In einem Labor, das sich im Gravitationsfeld g im freien Fall befindet, laufen alle Phänomene so ab, als gäbe es keine Schwerkraft. Beispiel: Raumstation (fällt frei über ~ Jahre), Parabelflug (~ 1 Minute), Flugturm (~ 3 sec), Einsteins Maler (~ 1 sec) verallgemeinert auf: Ein beschleunigtes Bezugs-System hat die gleiche Wirkung wie ein Gravitationsfeld: Beispiel: 1. Raumschiff auf Erde: Gravitation wirkt mit mta = mggErde = F. 2. Raumschiff im All bei gAll = 0, beschleunigt mit mta = mtgErde = F durch Raketenantrieb. Äquivalenzprinzip: 1. und 2. sind nicht zu unterscheiden → mt = ms. 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

1. Folgerung: Gravitationswirkung auf Licht Aufzug im feldfreien Raum, Lichtstrahl geht quer durch Aufzug. 1. Aufzug unbeschleunigt a = 0: horizontaler Lichtstrahl fliegt geradeaus; 2. Aufzug nach oben konstant beschleunigt z.B. mit a = gErde: Lichtstrahl folgt Wurfparabel: Aus Äquivalenz-Prinzip folgt: Lichtstrahl im konstanten Gravitationsfeld g folgt ebenfalls Wurfparabel → 10 km 1 Å Beispiel: Sternenlicht folgt Hyperbelbahn, wenn es nahe an einer Masse vorbeifliegt: 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Beispiel 1: Gravitations-Linsen Image of a distant source star being transformed into an Einstein ring by a lensing intermediary (not to scale). z.B. Schwarze Löcher (s.u.) als Gravitations-Linsen 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik Einstein-Ringe 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Beispiel 2: fallendes Licht Beobachter h υ=gh/c ν−Δν ν Licht-quelle h 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

2. Folgerung: Metrik im Gravitationsfeld B Z R υ aZ Ruhender Beobachter B betrachtet zwei Person auf einer Drehscheibe. Die (dünne) Person Z ruht kräftefreie im Zentrum der Drehscheibe. Der Beobachter B konstatiert: keine Bewegung, dh. keine Veränderung der Zeit- und Längenmessung (=Metrik) von Z. 2) Die Person R steht am Rande der Drehscheibe, zentripetal-beschleunigt. Die mit Geschwindigkeit υ bewegte Person R ist längenkontrahiert und zeitdilatiert (von der Richtung von υ unabhängige Effekte). 3) Die Person Z im Zentrum sieht R am Rande der Drehscheibe ruhend, da Z sich mit R mitdreht. Z sieht trotzdem R ebenfalls längenkontrahiert und zeitdilatiert, da nach 1) Z dasselbe sieht wie B. Z konstatiert: Die Metrik ist abhängig vom Beschleunigungszustand der Person/des Objekts. Nach dem Äquivalenz-Prinzip (=Ein beschleunigtes Bezugs-System hat die gleiche Wirkung wie ein Gravitationsfeld) folgt: Ein Gravitationsfeld verändert die Metrik. Beispiel: Umfang U ≠ π × Durchmesser 2r: Erdbahn klassisch: U/2r = π = 3.141 592 653 Erdbahn relativistisch: U/2r = 3.141 592 485 ↑ 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Einsteins Feld-Gleichungen Forderung nach allgemeiner Kovarianz: Finde Gleichungen, die immer dieselbe Form haben (invariant sind), unabhängig, welche beschleunigten Koordinaten wir wählen. Das Extremal-Prinzip der speziellen RT war: Eine Gerade zwischen zwei Raum-Zeit Punkten hat das längste Lorentz-invariante "Intervall" Δs = cΔτ einen Extremwert (hier = max.) an (ist stationär, dh. benachbarte Verbindungen haben ≈ das gleiche Intervall cΔτ) Eine derartige Verbindung zwischen zwei Punkten heißt Geodäte. Allgemeine RT: Ein Körper bewegt sich in der Raum-Zeit immer auf einer Geodäten. (im Raum alleine jedoch nicht: schiefer Wurf) Dies ist eine kovariante Aussage. Um dies zu bewerkstelligen, muss die Metrik des Raumes gegenüber der speziellen RT weiter geändert werden: Die Metrik von Raum-Zeit ist bestimmt durch die Massen-Verteilung, Umgekehrt: Die Bewegung der Massen in der Raum-Zeit ist bestimmt durch deren Metrik. Der Zusammenhang von Metrik, Massen und der Bewegung in Raum und Zeit wird durch Einsteins Feld-Gleichungen gegeben. 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Metrik nahe einer Punktmasse Two-dimensional analogy of space-time distortion. The presence of matter changes the geometry of spacetime, this (curved) geometry being interpreted as gravity. 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Exp. Tests: 1. Gravitative Zeit-Verzögerung 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

2. Perihel-Präzession des Merkur Gravitationspotential ~ 1/r → Ellipsenbahnen Verzerrte Metrik nahe der Sonne → Kepler-Ellipsen schliessen nicht: Sources of the precession of perihelion for Mercury Amount (arcsec/century) Cause 5025.6 Coordinate (due to the precession of the equinoxes) 531.4 Gravitational tugs of the other planets 0.0254 Oblateness of the Sun (quadrupole moment) 42.98±0.04 General relativity 5600.0 Total 5599.7 Observed The perihelion of the orbit of the planet Mercury advances 2 degrees per century. 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

3. Uhren im Erdfeld und GPS Die Ganggenauigkeit von Rubidium-Atomuhren im GPS ist besser als 10−14. Durch die verzerrte Metrik nahe der Erde laufen die Uhren in Satelliten etwas anders als auf der Erde: Spezielle RT: Durch Zeitdilatation sind die Satelliten-Frequenzen um 0.84 ×10−10 kleiner. Allgemeine RT: Durch Gravitationsfeld der Erde sind die Frequenzen um 5.28 ×10−10 größer. Insgesamt sind die Satellitenfrequenzen also um 4.44 ×10−10 größer. Daher wird der GPS Oszillator auf 10,229999995453 MHz verstimmt, so dass trotz der relativistischen Effekte ein synchroner Gang mit einer irdischen Uhr mit genau 10,23 MHz gewährleistet ist. Die Ortsbestimmung mit GPS ist davon nicht betroffen. Satelliten Daten: (T−O = Classical Theory minus Observation) 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Präzision der Zeitbestimmung Fortschritt bisher: 1 Größenordnung alle 2 Jahre atomarer Übergang in Wasserstoff: ("2s→1s", Physik IV): Absolute Präzision: 2 466 061 413 187 103 ± 64 Hz Entwicklung der relativen Präzision: → 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik 4. Gravitations-Wellen Elektromagn. Wellen (Dipol-Strahlung) sind Lösungen der Maxwell-Gleichungen Gravitations-Wellen (Quadrupol-Strahlung) sind Lösungen der Einstein-Gl'gen. Gravitations-Wellen sind noch nicht direkt nachgewiesen worden, aber ihre Effekte in Doppelstern-Systemen sind beobachtet worden: Durch Abstrahlung von Gravitationswellen verlieren diese Energie: Supercomputer Simulations and Approximation Techniques Experimentally observed decreases of the orbital period of the binary pulsar PSR B1913+16 (blue dots) match the predictions of general relativity (black curve) almost exactly. 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik 5. Schwarze Löcher Wenn in der Schwarzschild-Lösung (6 Seiten vorher) r = rS, dann divergiert die Metrik → Schwarze Löcher, sind noch nicht direkt beobachtbar, aber ihre Effekte auf andere Sterne. Im Zentrum unserer Galaxie befindet sich sehr wahrscheinlich ein Schwarzes Loch: 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Expansion des Weltalls Hubble: Ausdehnung des Weltalls → Rotverschiebung ferner Galaxien 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Blick zurück im expandierenden Weltall ↑ ↑ Urknall heute 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik

Warum braucht das Licht vom Urknall so lange bis zu uns? ↑ ↑ Urknall heute 08.11.2018 Physik III WS 2007-08 2. RT: Dynamik