Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copulas (1) András Bárdossy IWS Universität Stuttgart

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Motivation Data collection Data analysis –What do data tell us ? –Are the data related to each other ? –Can these relations be Verified ? Quantified ? –Can the results be applied ? Future Partly unobserved cases

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Dependence 1.Pair wise description Linear dependence Monotonic dependence Tail dependence (extremes) 2.Measures of dependence

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Correlation and Covariance Measure of linear dependence

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Dependence – marginal distributions Dependence is a bivariate relationship For the previous example for any two indices k,l there is a pair of continuous monotonic functions f,g such that: Problem: changing the marginals the dependence seems to change

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copula Multivariate distribution with univariate margins being U(0,1)

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copula density

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Bi-variate Copula Bi variate distribution with univariate margins being U(0,1)

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copula corresponding to a multivariate distribution Sklar (1959) F can be represented with a copula If marginals are continuous then C is unique C – pure expression of dependence

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Transformation to uniform marginals

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Why copulas ? Interest in financial mathematics because of modelling the dependence structure International regulations require banks to provide estimates of their Value at Risk or VaR The standard method –estimating the correlation matrix between for the portfolio –Calculation of the 95% and 99% confidence intervals for possible losses based on an assumption of multivariate normality

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie In practice the tails of the distributions are –heavier than the normal – correlation structure tends to be different in the tails. The correlation between variables seems to increase in the upper and/or lower tails. When things go wrong, they go very wrong. marginal distributions with heavier tails alternative ways of modelling the dependence between variables Copulas are particularly useful for this because they dissociate the correlation structure between variables from their marginal distributions.

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copula: Rain – Moisture flux

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Weak dependence

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Bounds of a Copula Fréchet bounds: Lemma: Let A i be events such that P(A i )=a i i=1,…,m Proof: Right side trivial because of inclusion Left side

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Fréchet bounds

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Frechet upper bound

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Frechet lower bound

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Fréchet bounds For m>2 further conditions are required

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Independence copula:

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copulas and monotonic transformations Monotonic transformations of the marginals do not influence the copula Frequent modelling – transform the marginal until linear relationship can be used use of the normal copula

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie How to make theoretical copulas

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Properties (continuous case)

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Creating copulas from multivariate distributions Take the copula of a known distribution: Example – strong upper dependence

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Creating a copula using its density – Rüschendorf

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Measures of dependence Correlation – Copula = Rank correlation Spearman

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie R=0.88

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie R=0.88

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie R=0.88

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Tail dependence Upper tail dependence: Lower tail dependence

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Types of dependence (1) Positive quadrant dependence: Negative quadrant dependence:

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Types of dependence (2) X 2 stochastically increasing in X 1 if : X 2 stochastically decreasing in X 1

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Symmetry of the dependence Main axis Minor axis

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Normal copula Correlation = 0.85

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Frank Copula

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Frank Copula (d=3)

Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copulas