Lineare Strahlenoptik 31.03.2017 Lineare Strahlenoptik von Simon Schlesinger

Übersicht Motivation Bewegung geladener Teilchen im B-Feld 31.03.2017 Übersicht Motivation Bewegung geladener Teilchen im B-Feld Klassischer Ansatz Herleitung der Bewegungsgleichung Strahlführungsmagnete Wirkung der Magnete Geometrische Beschaffenheit Matrizenformalismus Mögliche Teilchenbahnen Beschreibung durch Vektoren+Matrizen Beispielkonfiguration: FODO-Element Zusammenfassung Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 2

Motivation Analogie zur klassischen Optik Warum nicht „E-Feld Optik“ ? Einfachheit des Formalismus (Matrizenmultiplikation) Anwendung: Elektronenmikroskop Teilchenbeschleuniger (Linear und Ring) Massenspektrometer … Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 3

Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (I) 31.03.2017 Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (I) Wahl des Koordinatensystems Teilchenstrahl in Richtung s: (0,0,v) Magnetfeld in Richtung x und z: (Bx,Bz,0) Kräftegleichgewicht zw. Lorentz- und Zentrifugalkraft Taylorentwicklung Dipol Quadrupol Sextupol Oktupol Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 4

Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (II) Setze Ursprung des Koordinatensystems auf Orbit und führe Zylinderkoordinaten ein: Zeitliche Ableitungen der Einheitsvektoren: Linearkombination: Mit Aufpunkt , für den gilt: Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 5

Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (III) Durch Kenntnis von lässt sich die Bewegungsgleichung der Teilchen nach Newton aufstellen: Erinnere Einheitsvektoren: Mit Hilfe von folgt: Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 6

Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (IV) Koeffizientenvergleich und Vernachlässigung der s-Beschleunigung ergibt dann: Wobei und ausgenutzt wurden. Einsetzen der lin. Näherung für B und Ausnutzen von und liefert: Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 7

Strahlführungsmagnete (I) Wie muss die Beschaffenheit eines Magneten sein, um ein entsprechendes Feld (1/R, k, m,…) zu erzeugen? Antwort: Liegt in kl. E-Dyn. begründet, denn nach Maxwell gilt: Alle Punkte auf der Oberfläche besitzen dasselbe Potential! Geben wir einen Feldverlauf G entlang der x-Achse vor, so erhält man mit Hilfe der Laplace - Gleichung einen Ausdruck für das skalare Potential: Für konventionelle Eisenmagneten können wir nun neben Geometrie auch die Feldstärkegrößen (1/R, k, m…) bestimmen! Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 8

Strahlführungsmagnete (II) Dipolmagnet Feldstärkenverlauf auf x-Achse konstant: Magnetfeld: Dipolmoment: Wirkung: Ablenkung unter Radius R Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 9

Strahlführungsmagnete (III) Quadrupolmagnet Feldstärke Feldstärkenverlauf auf x-Achse linear: Magnetfeld: Quadrupolmoment: Wirkung: Bei k<0 Fokussierung zum Orbit bzw. bei k>0 Defokussierung Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 10

Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (I) Bewegungsgleichung der linearen Strahlenopik: Nicht gekoppelte DGL, daher betrachte z.B. nur horizontale Richtung (x) und vernachlässige Impulsunschärfe: Quadrupol (1/R=0) Dipol (k=0) Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 11

Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (II) Beispiel: Quadrupol-Lösung für k>0 mit gelöstem AWP Die Differentialgleichung liefert dann z.B. die reellen Lösungen: Setzen wir und schreiben dann in Matrixform: Mit dieser vektoriellen Beschreibung kennen wir neben der Ablage in x-Richtung auch die Tendenz der Auslenkung (Steigung). Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 12

Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (III) Analog findet man Matrizen für weitere DGL Lösungen: Defokussierung (k>0): Fokussierung (k<0): Freie Driftstrecke (k=0): Ablenkung (Dipol): Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 13

Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (IV) Beschreibung des Teilchens komplett mit 4-Komponentenvektor: 2x2 Matrizen gehen über zu 4x4 Matrizen (vgl. DGL) System vieler Magnete durch Matrixmultiplikation beschrieben, z.B.: Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 14

Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (V) FODO-Prinzip (Starke Fokussierung) Ziel: Möglichst gute Fokussierung eines Teilchenstroms Problematik: Ein in x-Richtung fokussierender Quadrupol defokussiert in z-Richtung und umgekehrt! Abhilfe: FODO-Optik Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 15

Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (VI) FODO-Prinzip (Starke Fokussierung) Matrixmultiplikation einer FODO-Zelle: Länge der Driftstrecke: d , Länge eines Magneten: m Durch die Kombination von fokussierenden und defokussierenden Quadrupolen erreicht man also eine resultierende Fokussierung zum Orbit! Quadrupol 90°-Drehung Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 16

Zusammenfassung Beschreibung der Bewegung von bewegten Teilchen in linearer Näherung gegeben durch: Wirkung + geometrische Beschaffenheit der Führungsmagnete: i) Dipol: Strahlablenkung ii) Quadrupol: Strahl(de)fokussierung iii) (Sextupol: Feldfehlerkompensation…) Matrizenformalismus zur systematischen Ablagebestimmung mit Grundmatrizen zur Ablenkung, (De)Fokussierung und freien Driftstrecken bei beliebigen Anordnungen (z.B. FODO). Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 17

für Aufmerksamkeit und Interesse! Literatur Wille, Klaus – „Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen“ – Teubner http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/GK/Workshop/Beschleunigerphysik2.pdf http://de.wikipedia.org Vielen Dank für Aufmerksamkeit und Interesse! Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger  Seite 18