Steigung und lineare Funktionen 1. Der Begriff der Steigung In England werden Steigungen und Gefälle von Strassen als Verhältnisse angegeben.

Steigung einer Rampe, einer Strasse, einer Bahn... Bestimmen Sie die Steigung der Rampe und der beiden Seilbahnen.

Steigung; Steigungsdreiecke m = 2/10 = 1/5 m = 550 / 2200 = 1/4 - m = 500 / 1000 = 1 / 2 m = -500 / 1000 = -1 / 2

Positive und negative Steigung Bergfahrt n.r. = „nach rechts“, n.o. = „nach oben“, n.u. = „nach unten“ Talfahrt Nehmen Sie ein allfälliges Minuszeichen in den Zähler

Definition der Steigung Nehmen Sie ein allfälliges Minuszeichen in den Zähler!

Steigungsdreiecke in Anwendungen Schiefe Ebene mit Steigung (4/10) = 0.4 = 40%: gebogen als Serpentinenstrasse aufgewickelt als Schraubenlinie sich selbst durchdringend als Kehrtunnel

Die Steigung von Geradenstücken bestimmen

Die Steigung von Geradenstücken bestimmen Lösungen: 3/2 = 1.5 7/5 = 1.4 -1/7 -1/5 = -0.2 -3/1 = -3

2. Punkte im kartesischen Koordinatensystem Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte A bis F

2. Punkte im kartesischen Koordinatensystem Lösungen: A(2 | -1) B(4 | 2) C(1 | 5) D(-4 | 6) E(-3 | 3) F(-4 | -2)

3. Gesetzmässigkeiten zwischen x- und y-Koordinate Welche Gesetzmässigkeit besteht zwischen der x- und der y-Koordinate bei folgenden Punkten? (3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (1 | 3), (-1 | -1) b) Tragen Sie diese Punkte in ein Koordinatensystem ein.

(3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (1 | 3), (-1 | -1) (3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (1 | 3), (-1 | -1) Gesetz: y = 2x + 1 Das Funktions- gesetz y = 2x + 1 ist gewisser- massen der „Member-Code“ für die Mitglied- schaft eines Punktes P(x | y) bei der rosa gezeichneten Geraden g. Alle Punkte, welche die Gesetzes-Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden g. Alle Punkte, welche die Gesetzes-Gleichung nicht erfüllen, liegen nicht auf g.

(3 | 7), (-2 | -3), (0 | 1), (-4 | -7), (5 | 11), (-1 | -1) Gesetz: y = 2x + 1. Steigung 2, y-Achsenabschnitt 1.

4. Funktionen: Funktionsgleichung, Wertetabelle, Graph einer Funktion Eine Funktion f: y = f(x) ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. y = f(x) ist die Funktionsgleichung, d.h. das „Gesetz“, das zwischen x- und y-Koordinate gelten soll. Beispiel: Funktionsgleichung: Erstellen Sie eine Wertetabelle: x | -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ------------------------------------------------------------ y | Zeichnen Sie obige Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinden Sie die gezeichneten Punkte zum Graphen der Funktion f. Wie sieht dieser Graph aus?

--------------------------------------------------------------- x | -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 --------------------------------------------------------------- y | 0 2.6 3.5 3.9 4 3.9 3.5 2.6 0 Der Graph stellt einen Halbkreis dar. Bemerkung: Als x-Werte kommen hier nur Werte zwischen -4 und +4 in Frage. Man sagt, die Funktion habe den Definitions- bereich [-4; 4]. Die y-Werte bewegen sich nur zwischen 0 und 4. Man sagt, die Funktion habe den Wertebereich [0; 4].

5. Lineare Funktionen: y = m x + q oder y = a x + b Zeichnen Sie die Graphen folgender linearer Funktionen: Hinweis zu den letzten beiden Aufgaben:

Lösungen

Erkenntnisse: y = m x + q m = Steigungszahl q = y-Achsenabschnitt = y-Koordinate des Schnittpunkts des Graphen mit der y-Achse.

Wie zeichnen wir lineare Funktionen aus der gegebenen Funktionsgleichung, ohne eine Wertetabelle erstellen zu müssen? Beispiel: 3. Schritt: Steigungsdreieck zeichnen: 5 nach rechts, 2 nach unten. Gerade g fertig zeichnen. 1. Schritt: Steigungszahl als Bruch notieren: 2. Schritt: Start beim Schnittpunkt mit der y-Achse, d.h. bei Q(0 | 5):

_____ 6. Zusammenfassung Lineare Funktion: y = m x + q oder y = a x + b Dies stellt eine Gesetzes-Beziehung zwischen der x-Koordinate und der y-Koordinate der einzelnen Punkte dar. y heisst deshalb „gebundene Variable“. y ist durch das Funktionsgesetz von x abhängig. Der Graph einer linearen Funktion y = m x + q ist eine Gerade mit Steigungs- zahl m und y-Achsenabschnitt q, d.h. mit y-Achsen-Schnittpunkt Q(0 | q). Genau die Punkte P(x | y), deren Koordinaten das Funktionsgesetz erfüllen („Member-Code“), liegen auf dem Graphen der Funktion. _____ Steigung