Lernprogramm : „Quadratische Funktionen“ von W. Liebisch Beginne mit der Präsentation und bleibe bei dieser !! Du kannst dich während der Präsentation mit den Pfeiltasten vorwärts und rückwärts bewegen.

Quadratische Funktionen Lernprogramm Quadratische Funktionen Von W. Liebisch Anleitung : Du benötigst Schreib- und Zeichengeräte sowie Papier. Außerdem benötigst du eine Kurvenschablone für qua- dratische Funktionen . „Klicke immer erst weiter, wenn du es bereits selbst versucht hast ! (Musik kannst du mit der rechten Maustaste anhalten) Dieses Programm ist nur sinnvoll, wenn du die Präsentation in der Reihenfolge bearbeitest ! Und jetzt wünsche ich dir viel Erfolg !

Die einfachste quadratische Funktion (Normalparabel) Ergänze die Wertetabelle zu y = x² x -3 -2 -1 0,5 1 2 3 y 9 4 1 0,25 1 4 9 2. Stelle diese Funktion in einem Koordinatensystem dar ! (Überlege dir gut, wie du die Koordinatenachsen einteilst !) y x Und nun trage die Punkte ein ;auf der nächsten Folie siehst du die Lösung :

Verbinde nun die Punkte mit der Kurvenschablone !

S ( 0 ; 0 ) ( 0 ; 0 ) Lies den Scheitelpunkt ab : Übrigens : Die Nullstelle ist : und der Schnittpunkt mit der y – Achse lautet : ( 0 ; 0 ) Der Scheitelpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Parabel und ihrer Symmetrieachse. Lies den Scheitelpunkt ab : S ( 0 ; 0 )

Lösung: Bei Funktionen der Form y = x² + e wird die Normalparabel einfach nach oben oder nach unten (je nach Vorzeichen von e) parallel verschoben . 3. Zeichne die Funktionen y = x² + 1, y = x² - 2 und y = x² - 5 in dasselbe Koordinatensystem !

Nun wird’s allgemeiner ! Bei Funktionen der Form y = (x + d)² wird die Normalparabel nur nach rechts (d negativ) oder nach links (d positiv) parallel verschoben ! 4. Zeichne die Funktionen y =(x + 3)² und y = (x – 3)² in ein gemeinsames Koordinatensystem ! Nun wird’s allgemeiner !

Bei Funktionen mit der Gleichung y = (x + d)² + e kann die Normalparabel logischerweise in jede Richtung ver- schoben sein. Ihr Scheitelpunkt lautet nämlich jetzt : S ( -d ; e ) 5. Gib zu folgenden Beispielen die Scheitelpunktskoordinaten und die Funktionsgleichungen an : Nr. Scheitelpunkt Gleichung 1 2 3 4 5 S ( -4 ; 0 ) y = (x+4)² S (-1 ; -3) y = (x+1)² -3 S (2 ; -2) y = (x – 2)² - 2 S ( 3 ; 1 ) y = (x – 3)² + 1 S ( 6 ; -5 ) y = (x – 6)² - 5 Fülle die Tabelle erst selbst aus ! Gut gemacht !

Lösungen : Prima ! Scheitelpunkte : : S (- 1 ; - 2 ) : S ( 2 ; 1 ) Zeichne folgende Funktionen in ein KS : y = (x + 1)² - 2 (1) und y = (x – 2)² + 1 (2) Gib die Scheitelpunkte an und lies die Nullstellen der beiden Funktionen ab ! Gib außerdem den Schnittpunkt A der Parabeln an ! Nun kannst Du es selbst versuchen ! Lösungen : Scheitelpunkte : : S (- 1 ; - 2 ) : S ( 2 ; 1 ) Nullstellen : : - 2,35 und 0,4 : keine A Schnittpunkt A der Parabeln : A( 1 ; 2 ) Prima !

Hier siehst du, wie die Parabel der Funktion y = x² + 4x – 3 entsteht : In dieser Normalform y = x² + px + q sind quadratische Funktionen leider meistens gegeben . Die nächste Folie soll zeigen, wie man mit weniger Aufwand zu so einer Parabel kommt :

Lösungen : a) b) c) S( - p/2 ; q – p²/4 ) ! Funktion Scheitelpunkt Wenn man die Funktionsgleichung y = (x + d)² + e weiter umformt, entsteht : y = x² + 2dx + d² + e. In den meisten Fällen wird eine quadratische Funktion in der Normalform gegeben : y = x² + px + q .Hieraus ergibt sich, dass p = 2d und q = d² + e ist. Also gilt auch d = p/2 und e = q – p²/4 und damit kann man für den Scheitelpunkt S( -d ; e ) auch schreiben : S( - p/2 ; q – p²/4 ) ! 8. Berechne zu folgenden Funktionen den Scheitelpunkt, stelle sie dann in einem KS zeichnerisch dar und lies folgende Eigenschaften ab : Nullstellen, Schnittpunkt mit der y – Achse und Quadranten. a) y = x² - 4x – 1 b) y = x² + 8x + 10 und c) y = x² - x – 0,25 Fertige zunächst selbst die Zeichnung und eine Tabelle mit den Eigenschaften dazu an, bevor du weiterklickst ! Lösungen : Funktion Scheitelpunkt Quadranten Nullstellen Schnittpunkt mit der y-Achse a) b) c) S ( 2 ; - 5 ) I,II,III,IV - 0,3 ; 4,2 ( 0 ; - 1 ) S ( - 4 ; 6 ) I,II - 1,5 ; - 6,5 ( 0 ; 10 ) I,II 0,5 ( 0 ; 0,25 ) S ( 0,5 ; 0 ) Auf der nächsten Folie kannst du dir die zeichnerische Lösung dazu anschauen :

weiter ! a : y = x² - 4x – 1 b : y = x² + 8x + 10 c : y = x² - x – 0,25 weiter !

(3) y = x² - 6x + 8 (1) y = x² + 4x + 5 , (2) y = x² - 2x + 1 und Wenn die Nullstellen genau bestimmt werden sollen, berechnet man sie. Es gilt dann : y = 0 ! Also ist 0 = (x + d)² + e . Also gilt auch : x + d = ± (- e). Und damit gilt : x1/2 = - d ±(- e) . Weil d = - p/2 und e = q – p²/4 gilt, lautet die Lösungsformel für die Lösungen der quadratischen Gleichung 0 = x² + px + q bzw. die Formel zur Berechnung der Nullstellen der Funktion y = x² + px + q : x1/2 = - p/2 ±  p²/4 – q . Ob die Funktion Nullstellen hat, hängt von dem Ausdruck unter der Wurzel ,der sogenannten Diskriminante D, ab. Also : D = p²/4 – q . Es gibt 2 Lösungen, wenn D > 0 ist. Es gibt 1 Lösung, wenn D = 0 ist. Es gibt keine Lösung, wenn D < 0 ist . 9. Berechne die Scheitelpunkte und Nullstellen der folgenden Funktionen, zeichne sie dann in ein KS und vergleiche die dort abzulesenden Nullstellen mit deinen berechneten Nullstellen. Berechne außerdem den Schnittpunkt der Parabeln mit der y - Achse und den Schnittpunkt zwischen der 1. und 2. Parabel : (3) y = x² - 6x + 8 (1) y = x² + 4x + 5 , (2) y = x² - 2x + 1 und Schalte erst zur nächsten Folie,wenn du fertig bist !

Lösungen zu Nr. 9: S2( 1 ; 0 ) S3( 3 ; -1 ) S1( -2 ; 1 ) (2): NS: 1 (D = 0) (3): NS`n: 2 und 4 (D > 0) (1): keine NS (D < 0) D B C

Also ist der Schnittpunkt der Parabeln gerundet : B ( -0,7 ; 2,8 ) ! (1): y = 0² + 4•0 + 5 y = 5 Für die Schnittpunkte mit der y – Achse gilt : x = 0 : (2): y = 0² - 2•0 + 1 y = 1 (3): y = 0² - 6•0 + 8 y = 8 Für den Schnittpunkt B der Parabeln 1 und 2 gilt : x² + 4x + 5 = x² - 2x + 1 |-x² also : 4x + 5 = -2x + 1 |-5 und | +2x ergibt : 6x = - 4 | :6 x = - 0,666..... Daraus folgt: y = x² + 4x + 5 : y = (-2/3)² + 4•(-2/3) + 5 y = 2,777..... Also ist der Schnittpunkt der Parabeln gerundet : B ( -0,7 ; 2,8 ) ! 10. Berechne selbst die Schnittpunkte C (Parabel 2 und 3) und D (Parabel 1 und 3)

Überzeuge dich von der Richtigkeit der Lösungen in Folie 13 ! Schnittpunkt C (Funktion (2) und (3) : Schnittpunkt D (Funktion (1) und (3) : x² + 4x + 5 = x² - 6x + 8 | - x² x² - 2x + 1 = x² - 6x + 8 | - x² - 2x + 1 = - 6x + 8 | + 6x und | - 1 + 4x + 5 = - 6x + 8 | + 6x und | - 5 4x = 7 | : 4 10x = 3 | : 10 x = 1,75 und weil y = x² - 2x + 1 ist, gilt: y = 0,5625 x = 0,3 und weil y = x² + 4x + 5 ist, gilt: y = 6,29 SC( 1,75 ; 0,56 ) SD( 0,3 ; 6,29 ) Überzeuge dich von der Richtigkeit der Lösungen in Folie 13 ! 11. Auf der folgenden Folie sind die Funktionen a bis f abgebildet. Gib folgende Sachverhalte (wenn möglich) an : Scheitelpunkte, Nullstellen, Schnittpunkte mit der y – Achse (wenn erkennbar), Quadranten, Funktionsgleichung in der Form y = (x + d)² + e und in der Form y = x² + px + q . Übernimm die Tabelle auf dein Übungsblatt ! Scheitelpunkt Nullstellen Schnittp. mit der y-Achse Quadranten y = (x + d)² + e y = x² + px + q a b c d e f

fertig ? In der nächsten Folie kannst du dir die Lösungen anschauen ! 12. Berechne dann die Null- stellen aller Funktionen a-f und vergleiche deine Er- gebnisse mit dieser Zeich- nung ! 13. Berechne außerdem die Schnittpunkte zwischen b und f sowie zwischen a und e ! fertig ?

Nullstellenberechnungen: Scheitelpunkt Nullstellen Schnittp. mit der y-Achse Quadranten y = (x + d)² + e y = x² + px + q a b c d e f y = ( x - 2 )² - 5 y = x² - 4x - 1 S ( 2 ; - 5 ) - 0,3 ; 4,3 ( 0 ; - 1 ) I,II,III,IV S ( - 4 ; - 6 ) - 1,5 ; - 6,5 ( 0 ; 10 ) ? I,II,III y = ( x + 4 )² - 6 y = x² + 8x + 10 S ( 0,5 ; 0 ) 0,5 ( 0 ; 0,3 ) I,II y = ( x – 0,5 )² y = x² - x + 0,25 S ( - 6 ; 4 ) keine nicht ablesbar I,II y = ( x + 6 )² + 4 y = x² + 12x + 40 S ( 7 ; - 8 ) 4,3 ; 9,8 nicht ablesbar I,II,IV y = ( x – 7 )² - 8 y = x² - 14x + 41 Lineare Funktion -3 ( 0 ; - 6 ) II,III,IV y = mx + n y = - 2x - 6 Nullstellenberechnungen: x1/2 = - p/2 ±  p²/4 – q ! a: x1/2 = - (-4)/2 ± (-4)²/4 – (-1) ; x1 = 4,24 und x2 = - 0,24 Der Vergleich mit der Tabelle zeigt eine ziemlich genaue Übereinstimmung ! b: x1/2 = -8/2 ±  8²/4 – 10 ; x1 = - 1,55 und x2 = - 6,45 c: x1/2 = - (-1)/2 ±  (-1)²/4 – 0,25 ; x1 = 0,5 ! d: die Wurzel ist nicht berechenbar ! e: x1/2 = - (-14)/2 ±  (-14)²/4 – 41 ; x1 = 9,83 und x2 = 4,17 f: x = 6/(-2) x = - 3 !

Schnittpunkte zwischen b und f : Schnittpunkte zwischen a und e : x² + 8x + 10 = - 2x – 6 | + 2x und | + 6 x² - 4x – 1 = x² - 14x + 41 |-x² |+ 4x |+ 1 x² + 10x + 16 = 0 ; x1/2 = - 10/2 ±  10²/4 - 16 0 = - 10x + 42 also: x = 4,2 und x1 = - 8 ; x2 = - 2 ; also ist y1 = -2•(-8) – 6 = 10 und y2 = -2•(-2) – 6 = - 2 y = 4,2² - 4•4,2 – 1 ; y = - 0,16 S1( - 8 ; 10 ) S2( - 2 ; - 2 ) S ( 4,2 : - 0,16 ) !! stimmt auch ! stimmt ! 14. Eine quadratische Gleichung kann auch so aussehen : 5x² - 5x + 2 = 2x² - 8x + 8 Um sie zu lösen, wird sie zuerst in die Normalform umgestellt : versuche es zuerst selbst ! 3x² + 3x – 6 = 0 | :3 ! Prima ! Ich danke dir für deine Ausdauer u. möchte mich verabschieden : x² + x – 2 = 0 ; x1/2 = -1/2 ±  1²/4 – (-2) x1 = 1 und x2 = - 2 ! Du dürftest jetzt in der Lage sein, fast alle quadratischen Gleichungen zu lösen !