Lektion 7 1. Wahrscheinlichkeit Übung 2. Hausaufgaben (12.6 Textaufgaben) 3. Funktionen 4. Übungen zu Funktionen

Vorschau Teil 2 1. Wahrscheinlichkeit 2. Funktionen 3. Grafische Darstellungen 4. Häufigkeiten 5. Regressionsrechnung

Wahrscheinlichkeit Grundregeln der Wahrscheinlichkeit: 1. P ist immer zwischen 0 und 1 2. Eintreffensicherheit = 1 3. Unmöglich = 0 4. Entweder- oder = Addition 5. Sowohl als auch = Multiplikation

15. Funktionenlehre Linien-Diagramm

15. Funktionenlehre Säulen-Diagramm

15. Funktionenlehre Flächen-Diagramm

15. Funktionenlehre Anteile-Diagramm

Je nach Darstellungsart kann ein anderer Eindruck erzeugt werden. 15. Funktionenlehre Je nach Darstellungsart kann ein anderer Eindruck erzeugt werden.

15. Funktionenlehre Koordinatensystem x y P1 3 2 P2 -4 3 P3 -4 -4 2.Quadrant 1.Quadrant x y [mm] [kg/m] P1 3 2 P2 -4 3 P3 -4 -4 P4 4 -3 P5 -3 4

15. Funktionen: Geradengleichung Y=a+bx Y2 =2+1x Y1=1x

15. Funktionen: Geradengleichung Y=a+bx

Steigung in Winkelgrad 15. Funktionenlehre Funktionsgleichung y = a + bx b = Steigung (tan) a = Schnittpunkt mit der y-Achse Steigung in Winkelgrad

Lektion 8 1. Haus-Aufgaben 2. Prüfung 3. Funktionen 4. Übung zu Funktionen

4. Funktionen und grafische Darstellungen Ein Diagramm besteht aus: Abzisse (x-Achse) und Ordinate (y-Achse)

4. Funktionen 1. Lineare Funktionen Eine Funktion wird beschrieben durch: y = a + bx a = Schnittpunkt mit der y Achse b = Steigung

4. Funktionen Zeichnen Sie folgende Funktion auf: Ein Lager hat einen Bestand von 100 Paletten, pro Stunde kommen 10 Paletten hinzu. Stündlich werden 6 Paletten entnommen. nach welcher Zeit ist das Lager mit 200 Paletten gefüllt? Bestimmen Sie a und b und zeichnen Sie die Funktion auf!

4. Funktionen Lösung:

4. Funktionen

15. Funktionenlehre, Potenz Y=x2 Y1=1x2

15. Funktionenlehre, Potenz Y=x2

15. Funktionenlehre, Hyperbel Y=1/x

15. Funktionen 6.3 Aufgabe 1: mm Ein Kegel ist 15 cm hoch. Bestimmen Sie graphisch, in welcher Weise das Volumen V vom Durchmesser d abhängt. (siehe auch Excel-Blatt) mm

Lektion 9 1. Statistische Kennwerte 2. Übung in statistischen Zahlen

Statistik 16. Statistik die einfache Lüge die Not-Lüge Es gibt drei Arten von Lügen: die einfache Lüge die Not-Lüge und die Statistik

sinnvolle Schlüsse zu ziehen Statistisches Denken Statistik ist die Kunst und die Wissenschaft, Daten zu sammeln Daten zu analysieren und sinnvolle Schlüsse zu ziehen Die wichtigste Tätigkeit einer statistischen Arbeit ist eine sinnvolle Interpretation der Ergebnisse. Resultate und Darstellungen lassen sich von Computerprogrammen herstellen, für einen sinnvollen Schluss ist die Geistesarbeit unersetzbar!

Vier Stufen der statistischen Arbeit 1. Erhebung 2. Aufbereitung 3. Auswertung 4. Darstellung

Darstellung von Prozessdaten Strichliste Verlaufsdiagramm Fehlersammelkarte Q-Regelkarte Häufigkeitsverteilung Paretodiagramm x-y-Diagramm Ishikawa oder Ursachewirkungsdiagramm Alle Darstellungen haben zum Ziel, Daten und Informationen zu visualisieren. Zeichnen Sie zu jedem Stichwort ein Beispiel und erklären Sie den Einsatzbereich!

Darstellung von Prozessdaten Strichliste oder Urwertkarte Vorteil: Einfach auszufüllen Nachteil: keine Regelung vom Prozess 5.2 III 5.1 IIII 5.0 IIIIIII 4.9 IIIII 4.8 III

Darstellung von Prozessdaten Verlaufsdiagramm Vorteil: leicht auszufüllen Der Prozessverlauf ist über die Zeit ersichtlich Nachteil: Keine Prozessregelung

Darstellung von Prozessdaten Fehlersammelkarte Vorteil: Die grösste Fehlerhäufigkeit ist ersichtlich. ABC-Analyse möglich

Darstellung von Prozessdaten Q-Regelkarte Oberer Eingriffsbereich (rot) Oberer Warnbereich (gelb) Zufälliger Streubereich (grün) Unterer Warnbereich (gelb) Untere Eingriffgrenze (rot)

Darstellung von Prozessdaten Häufigkeitsverteilung

Darstellung von Prozessdaten Pareto-Diagramm

Darstellung von Prozessdaten X-Y-Diagramm

Darstellung von Prozessdaten Ursache-Wirkungs-Diagramm oder Ishikawa-Diagramm Einfache Darstellung kann ohne Hilfsmittel erstellt werden. Gute Übersicht Das Ursache-Wirkungs-Diagramm oder Ishikawa-Diagramm dient zum Darstellen der Einflüsse auf einen Prozess. Die Einflüsse können bereits gruppiert werden. Als Darstellung in einem Brainstorming sehr geeignet.

Statistische Kennwerte Vorschau auf das nächste Kapitel: Mittelwert Standardabweichung Häufigkeit nach Gauss 5-%-Grenzwerte

Statistische Kennwerte Mittelwert

Statistische Kennwerte Standardabweichung s

Standart-Abweichung Summe aller Abweichungs-quadrate Abweichungs-quadrat Messwert 2 Mittleres Abweichungs-quadrat Abweichungs-quadrat Messwert 1 Wurzel aus mitlerem Abweichungs-quadrat

16. Statistik Lösung Aufgabe 7:

Vorschau Häufigkeit und stat. Kennwerte Daten sammeln Spannweite berechnen Klassen bilden Bestimmung der Klassenweite Häufigkeit darstellen Häufigkeit beurteilen

Häufigkeit Daten sammeln Schaffen Sie sich Klarheit über folgende Fragen: Wozu werden die Daten gebraucht? Wo können die Daten gesammelt werden? Wann ist dazu der richtige Zeitpunkt? Wieviel Zeit steht zur Verfügung? Wer soll die Daten sammeln? Wie sollen die Daten dokumentiert werden?

Darstellung von Prozessdaten Häufigkeit darstellen An der Beschichtungsanlage für Autotüren wurden die folgenden Auftragsmengen gemessen:

Häufigkeit darstellen Anzahl der Daten bestimmen n = ? n = 36

Häufigkeit darstellen Spannweite (Streubereich) berechnen R = Maximum - Minimum Maximum = 44 Minimum = 38 R = ? R = 6

Häufigkeit darstellen Zusammenfassen mehrerer Werte in Klassen Klassenbreite Bei mehr als 90 Messwerten soll die Anzahl Klassen zwischen 6 und 10 sein! w = R / k w = 6 / 6 = 1

Häufigkeit darstellen Runden Sie die Klassenbreite grosszügig auf praktische Werte = gerundete Zahlen! Übertragen der Messwerte in die Klassen

Häufigkeit darstellen Darstellen im Häufigkeitsschaubild Gauss'sche Normalverteilung

Häufigkeit darstellen Einfluss der Klassenbreite Klassenanzahl = 4 Klassenweite = 2

Häufigkeit darstellen Nicht zu fein (Verzerrung) Nicht zu grob (keine Aussage) Ideal sind 6 bis 10 Klassen

Häufigkeit darstellen Was bedeutet eine breite Verteilung? Grosse Streung bedeutet, der Prozess ist nicht im Griff (nicht beherrscht) Es ist eine schmale Verteilung = kleine Streuung anzustreben, unter Berücksichtigung der Wirtschaftlichkeit!

Häufigkeit darstellen Beispiel: In Schraubenpackungen wurden folgende Stückzahlen gezählt:

Häufigkeit darstellen Lösung: Maximum = 386 Minimum = 245 Streubereich R = 141 Anzahl = 54 Mittelwert = 305 s = 36.8

Häufigkeit darstellen Excel 5.0 Befehle:

Lektion 10 1. Haus-Aufgaben (Aufgabe 6) 2. Rückblick, Statistik, Häufigkeit 3. Ausschuss-Anteil 4. Prozessfähigkeit 5. Korrelationsrechnung

Statistische Kennwerte µ: Häufîgkeitsanteile der Gaussverteilung Der Anteil pro Klasse ist theoretisch berechenbar Gemäss Tabelle kann aufgrund von "µ" der prozentuale Anteil berechnet werden.

Statistische Kennwerte Einseitige Integralwerte:

Statistische Kennwerte Beispiel: Es sind Platten produziert worden: Anzahl n = 987 Stück Dicke Xquer = 6.23 mm, Standardabweichung s = 0.24 Minimaldicke = 5.8 mm Frage: Wieviele Platten sind unter 5. 8 mm . Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe der Tabelle!

Statistische Kennwerte Lösung: Aus der Tabelle kann der Wert 0.96327 abgelesen werden. Das bedeutet, dass 1-0.963 = 0.03673 =3.67 % unterhalb vom Sollwert liegen.

Statistische Kennwerte Unterer 5-%-Wert Der Faktor t nach Student korrigiert die Messunsicherheit durch kleine Stichproben

Statistische Kennwerte t-Verteilung Ablesebeispiel: n = 20 t = 1.73

Statistische Kennwerte Beispiel: Es sind an Fassadenschiefern die Biegemomente bestimmt worden: Wie gross ist der untere 5-%-Wert?

Prozessfähigkeit cp Prozessfähigkeitsindex cpk

Prozessfähigkeit Prozessfähigkeit Beurteilung, ob die Streung im Verhältnis zur Toleranz genügend klein ist. Die Toleranz muss grösser als 6 mal die Standartabweichung sein.

Prozessfähigkeit Prozessfähigkeitsindex Beurteilung der Lage des Mittelwertes zum Sollwert

Prozessfähigkeit Beispiel: Plattendicke Berechne die Prozessfähigkeits-Kennzahlen

Prozessfähigkeit Lösung: Da cp und cpk kleiner als 1, ist der Prozess nicht fähig

Stichprobensysteme Stichprobenpläne nach DIN 40 080 Annehmbare Qualitätsgrenzlage AQL Einfachstichprobenanweisung n-c Auswahl eines AQL-Wertes

Stichprobensysteme Stichprobenpläne nach DIN 40 080 Verwendung in der Warenannahme Der Kunde akzeptiert einen bestimmten Fehleranteil in der Lieferung Grosse Stückzahlen Stichprobensysteme haben den Ursprung in den metallverarbeitenden Unternehmen. Vor allem in der Zulieferindustrie sind die Stichprobensysteme sehr verbreitet. Das Prinzip der akzeptierten Fehlerrate kann natürlich nicht in allen Branchen angewendet werden (Flugzeugindustrie)

Stichprobensysteme Annehmbare Qualitätsgrenzlage AQL Aus Stichprobentabellen nach DIN kann die Stichprobenanweisung n-c abgelesen werden. Es gibt einfache und doppelte Stichprobenpläne Die annehmbare Qualitätsgrenzlage AQL bedeutet die Prüfschärfe, mit der eine Produktion oder Lieferung beurteilt werden soll. AQL 2.0 bedeutet, dass Posten mit bis zu 2% fehlerhaften Stücken mit grosser Wahrscheinlichkeit angenommen werden.

Stichprobensysteme Einfachstichprobenanweisung n-c n = Stichprobengrösse: abhängig von der Chargengrösse N c = Fehlerzahl ist die gefundene Fehlerzahl i grösser als c, so wird die Lieferung zurückgewiesen. Nie eine Prüfung wiederholen ! Aus der Tabelle kann aufgrund vom Prüfniveau und der Charchengrösse die Stichprobenanweiseung n-c abgelesen werden. n-c = 10-2 heisst, es sind 10 Stücke zu messen und bei 2 und weniger Fehlern die Lieferung anzunehmen. Sind aber 3 und mehr Fehler vorhanden, so muss die Lieferung gesperrt werden. Die Prüfung darf nicht wiederholt werden, da sonst die Annahmewahrscheinlichkeit nicht gewährleistet wäre.

Stichprobensysteme Auswahl eines AQL-Wertes Vereinbarung zwischen Lieferant und Kunde je höher der AQL-Wert desto höher die Fehleranzahl in der Lieferung

5. Korrelationsrechnung Einflussgrössenrechnung am Beispiel Kaffeemaschine Beispiele aus der Praxis

5. Korrelationsrechnung Regressionsrechnung = Einflussgrössenrechnung

5. Korrelationsrechnung Es gibt verschiedene Regressionen: a) lineare Regression b) nichtlinieare Regression sie wird durch logarithmische Funktionen dargestellt.

5. Korrelationsrechnung Beispiel: Eine Kaffeemaschine füllt die Tasse in Abhängigkeit der Zeit

5. Korrelationsrechnung Die Regressionsgerade y = a +bx y = -47.94 + 5.15 * Zeit(x)

5. Korrelationsrechnung Das Mass für die Streuung einer Korrelation ist der Korrelationskoeffizient r je grösser r ist, desto besser die Korrelation 1 > r > 0

5. Korrelationsrechnung r grösser als 0.7 heisst die Korrelation ist statistisch gesichert. in der Praxis kann mit r > 0.4 gerechnet werden.

Lektion 11 1. Haus-Aufgaben 2. Rückblick 3. Weitere Test‘s (MLZK)

Ende