Fachschaft Mathematik und Informatik Mengen & Logik Mathe-Vorkurs August 2007 Startseite Fachschaft Mathematik und Informatik www.fim.uni-mannheim.de

Themen: Logik Mengen 21.08.2007 Mengen & Logik

I. Logik Grundlagen (a) Aussagendefinition (b) Wahrheitswerte Logische Operatoren 21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Aussagendefinition-Was ist eine Aussage? In der Logik betrachtet man Aussagen Der Inhalt einer Aussage ist unwichtig, es geht nur um deren Wahrheitsgehalt Es gibt nur ‚wahr‘ und ‚falsch‘ Es gilt: wahr (true) = 1 falsch (false) = 0 Def.: Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. 21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Was ist eine Aussage? Beispiele: Beispiele für eine wahre Aussage: „Luft enthält Sauerstoff.“ „1 + 1 = 2“ „Es gibt keine natürliche Zahl x, für die gilt: x² = 7.“ Beispiele für eine falsche Aussage: „Der Blauwal ist ein Fisch“. „1+1=3“ „Es gibt reelle Zahlen deren Quadrat –1 ist.“ 21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Was ist eine Aussage? Weitere Beispiele: „Wie spät ist es?“  Frage „Bitte denken Sie nach!“  Aufforderung „Es gibt ein x, so dass 2 * x = 1.“  sog. Aussageform, hängt davon ab wie x belegt wird ob es zur wahren oder falschen Aussage wird 21.08.2007 Mengen & Logik

(b) Wahrheitswerte & Gleichheit Es kommt nur auf den Wahrheitsgehalt einer Aussage an, nicht auf deren Inhalt. Bezeichner für Aussagen: A, B, C, ... Wahrheitswert einer Aussage: z(A) = 0 oder 1  Aussage wahr: z(A) = 1  Aussage falsch: z(A) = 0 Def.: Die Aussagen A und B heißen gleich, wenn sie denselben Wahrheitswert haben. Also gilt A = B, wenn z(A) = z(B) erfüllt ist. 21.08.2007 Mengen & Logik

I. Logik Grundlagen Verknüpfungen (a) Logische Operatoren (b) Implikation (c) Äquivalenz (d) Was bedeutet dies für Beweise? 21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Logische Operatoren Was ist ein logischer Operator? Jeder Operator symbolisiert eine bestimmte Funktion Verknüpft zwei (oder mehr) Ausdrücke Dazu benutzt man sog. logische Operatoren und Wahrheitstabellen Wahrheitstabellen: Jede mögliche Kombination aufnehmen 21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Logische Operatoren Negation: ‚nicht‘ = ‚NOT‘ Symbol: ‚‘ Wahrheitstabelle: A A 1 1 21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Logische Operatoren Konjunktion: ‚und‘ = ‚AND‘ Symbol: ‚‘ Wahrheitstabelle: A B A  B 1 1 21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Logische Operatoren Disjunktion: ‚oder‘ = ‚OR‘ Symbol: ‚‘ Wahrheitstabelle: A B A  B 1 1 1 1 21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Logische Operatoren Ausschließende Disjunktion: ‚Exklusives oder‘ = ‚XOR‘ Symbol: ‚XOR‘, manchmal auch ‚‘ Wahrheitstabelle: A B A  B 1 1 1 21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Logische Operatoren Aussagen lassen sich miteinander verknüpfen Beispiel: 1 A B A  B 1 ( A  B) 1 und: A B A 1 1 1 B 1 A  B  ( AB) = A  B (Gesetz von De Morgan) 21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Logische Operatoren Es gibt „Rechenregeln“ für logische Operatoren Dienen zur Umformung von logischen Gleichungen Alle Regeln können mittels Wahrheitstabellen bewiesen werden Vereinfachen den mathematischen Alltag (kein erneuter Beweis notwendig bei Anwendung) 21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Logische Operatoren Ein paar Rechengesetze... Assoziativität: ( A  B )  C = A  ( B  C ) ( A  B )  C = A  ( B  C ) Kommutativität: A  B = B  A A  B = B  A Doppelnegation:  ( A ) = A = Noch ein paar Regeln  21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Logische Operatoren Distributivität: ( A  B )  C = ( A  C )  ( B  C ) ( A  B )  C = ( A  C )  ( B  C ) Komplementarität: A  ( A ) = 0 B  ( B ) = 1 Neutralität: A  1 = A A  0 = 0 A  1 = 1 A  0 = A Idempotenz: A  A = A A  A = A De Morgan: ( A  B ) = A  B ( A  B ) = A  B 21.08.2007 Mengen & Logik

(b) Implikation Weiterer logischer Operator Symbol: ‚‘ Wahrheitstabelle: A B A  B 1 1 1 1 21.08.2007 Mengen & Logik

(b) Implikation Beispiel: „Wenn es regnet, ist die Strasse nass“ Aussage A: „Wenn es regnet.“ Aussage B: „ist die Strasse nass.“ A B A  B 1 Die Behauptung wird erfüllt: Es regnet und die Strasse ist nass. Die Behauptung ist also wahr. 1 1 1 21.08.2007 Mengen & Logik

(b) Implikation Beispiel: „Wenn es regnet, ist die Strasse nass“ Aussage A: „Wenn es regnet.“ Aussage B: „ist die Strasse nass.“ A B A  B 1 Es regnet, aber die Strasse ist nicht nass. Obwohl dies vorher behauptet wurde. Somit ist die Implikation ist falsch. 1 21.08.2007 Mengen & Logik

(b) Implikation Beispiel: „Wenn es regnet, ist die Strasse nass“ Aussage A: „Wenn es regnet.“ Aussage B: „ist die Strasse nass.“ A B A  B 1 Es regnet nicht, ist die Strasse nun nass? Für die Implikation ist irrelevant, ob die Strasse nass ist oder nicht. Da nichts über den Fall ausgesagt wird, ist die Aussage A  B also korrekt. 1 1 1 21.08.2007 Mengen & Logik

(c) Äquivalenz Noch ein logischer Operator Symbol: ‚‘ Logischer Zusammenhang: AB = (AB)  (BA) Wahrheitstabelle: A B A  B 1 Die Äquivalenz ist eine „doppelte Implikation“. 21.08.2007 Mengen & Logik

(c) Äquivalenz 1. Beispiel: Es sei f eine Funktion. Ist f(x) konstant, so folgt () f(x) = f(-x).  korrekte Implikation Die andere Richtung funktioniert nicht: Wenn f(x) = f(-x) gilt, dann ist () f(x) konstant.  Stimmt nicht! Gegenbeispiel: f(x) = x²  f(x) = f(-x) ist wahr  f(x) = x² ist jedoch nicht konstant Die Implikation gilt nur in eine Richtung! 21.08.2007 Mengen & Logik

(c) Äquivalenz 2. Beispiel: Es gilt f(x) = f(-x) genau dann, wenn () f symmetrisch ist. ‚‘ Wenn f(x) = f(-x) gilt, dann verläuft der Graph auf beiden Seiten der y-Achse gleich (also: Spiegelung an x=0)  f ist symmetrisch. ‚‘ Wenn f symmetrisch ist, dann lässt sich der Graph von f an x=0 („y-Achse“) spiegeln.  Es gilt: f(x) = f(-x) Die Äquivalenz gilt in beiden Richtungen! 21.08.2007 Mengen & Logik

(d) Was bedeutet dies für Beweise? Allgemein: Unbedingt Formalismus einhalten! Häufig sind Implikationen nötig um Beweise zu führen Äquivalenzbeweise: Äquivalenz wird immer im direkten Beweis gezeigt Beide Richtungen zeigen oder: Nur Äquivalenzumformungen benutzen 21.08.2007 Mengen & Logik

(d) Was bedeutet dies für Beweise? Zeigen Sie folgende Äquivalenz: (A  (B  A))  (C  (D  C))  (D  C) Beh.: (A  (B  A))  (C  (D  C))  (D  C) Bew.: (A  (B  A))  (C  (D  C))  (A  (B  A))  ((C  C)  D) KG; AG  (A  (B  A))  (C  D) Idempotenz  (A  (B  A))  (C  D) De Morgan  (A  A  B)  (D  C) AG ; KG  (1  B)  (D  C) Komplementaritätsgesetz  1  (D  C) Neutralitätsgesetz  (D  C) Die Behauptung stimmt.  21.08.2007 Mengen & Logik

II. Mengen Grundlagen (a) Mengendefinition (b) Leere Menge (c) Gleichheit von Mengen (d) Teilmengen (e) Komplement einer Menge (f) Mächtigkeit und Potenzmenge (g) Produktmenge / kartesisches Produkt Mengenverknüpfungen Rechengesetze 21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Mengendefinition Georg Cantor (1845 – 1918): „Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen.“ 21.08.2007 Mengen & Logik

 (die reellen Zahlen sind überabzählbar!) (a) Mengendefinition Mengen werden mit Großbuchstaben, Elemente mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Das Element a ist in der Menge M enthalten: a  M Das Element b ist nicht in der Menge M enthalten: b  M Bekannte Mengen: N, Z, R Manche Mengen können abgezählt werden Beispiele: {1, 2, ..., 10}  {1, 2, ..., 1000000000000000000000}   (die reellen Zahlen sind überabzählbar!) N Z R   21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Mengendefinition Wichtige Schreibweisen:  x  M : A für alle x  M gilt die Aussage A  x  M : A es existiert (mindestens) ein x  M, so dass A gilt ! x  M : A es existiert genau ein x  M, so dass A gilt ... Auslassungspunkte, z.B. in {1, 2, 3, ..., 100}, {2, 4, 6, 8, ...} 21.08.2007 Mengen & Logik

(b) Leere Menge Enthält kein Element Symbole: {},  Frage: Sind die Mengen  und {  } gleich oder verschieden?  Verschieden – die zweite Menge enthält ein Element, wenn auch nur das Element der leeren Menge. 21.08.2007 Mengen & Logik

(c) Gleichheit von Mengen Wenn Elemente das gleiche Element bezeichnen: a = b Enthalten zwei Mengen A und B genau die gleichen Elemente, dann sagt man, die Mengen sind gleich, also: A = B. Mathematisch: - A = B   x : x  A  x  B Wenn Elemente ungleiche Elemente bezeichnen: a  b Enthalten zwei Mengen A und B ungleiche Elemente - A  B  (  x  A : x  B )  (  y  B : y  A ) 21.08.2007 Mengen & Logik

(d) Teilmengen Teilmengen enthalten einen Teil der Elemente aus einer anderen Menge (Obermenge), sind jedoch immer vollständig in dieser enthalten (keine Elemente außerhalb Obermenge). mathematisch: A  O   x  A : x  O Echte Teilmenge: Keine Mengen-Gleichheit mathematisch: A  O  (  x  A : x  O )  ( A  O ) 21.08.2007 Mengen & Logik

(e) Komplement einer Menge Das Komplement enthält alle Elemente aus einer Obermenge O, die nicht in der Menge A enthalten sind. Es kommt auf die Obermenge an! Schreibweise: = { x  O : x  A } O 21.08.2007 Mengen & Logik

(f) Mächtigkeit & Potenzmenge Mächtigkeit: Anzahl der Elemente einer Menge, | A | Potenzmenge: Menge aller Teilmengen einer Menge, P(A) Beispiel: A = {1, 2, 3} Mächtigkeit und Potenzmenge?  | A | = 3  P (A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 21.08.2007 Mengen & Logik

(g) Produktmenge / kartesisches Produkt Das kart. Produkt ist die Menge aller geordneten Paare (a, b), wobei a Element aus A und b Element aus B ist. Schreibweise: A  B („A kreuz B“) Math. Definition: A  B = { (a, b) | a  A  b  B } Natürlich auch mit mehreren Mengen möglich 21.08.2007 Mengen & Logik

II. Mengen Grundlagen Mengenverknüpfungen (a) Vereinigung (b) Durchschnitt (c) Differenz Rechengesetze 21.08.2007 Mengen & Logik

(a) Vereinigung Symbol: ‚‘ A  B = { x  O : x  A  x  B } Enthält alle Elemente, die entweder in A oder in B enthalten sind (oder auch in beiden Mengen). Schreibweise bei mehreren Mengen: Beispiel: {1, 2, 3}  {3, 4} = ? {1, 2, 3, 4} 21.08.2007 Mengen & Logik

(b) Durchschnitt Symbol: ‚‘ A  B = { x  O : x  A  x  B } Enthält nur die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind. Schreibweise bei mehreren Mengen: Beispiel: {1, 2, 3}  {3, 4} = ? {3} 21.08.2007 Mengen & Logik

(c) Differenz Symbol: ‚\‘, manchmal auch: ‚‘ A \ B = A – B = { x  O : x  A  x  B } Enthält alle Elemente aus A, die nicht in B enthalten sind. Beispiel: {1, 2, 3} \ {3, 4} = ? {1, 2} 21.08.2007 Mengen & Logik

II. Mengen Grundlagen Mengenverknüpfungen Rechengesetze 21.08.2007 Mengen & Logik

3. Rechengesetze Auf den Mengen-Operatoren  und : Kommutativgesetz: A  B = B  A A  B = B  A Assoziativgesetz: ( A  B )  C = A  ( B  C ) ( A  B )  C = A  ( B  C ) Distributivgesetz: A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) De Morgansche Gesetze: 21.08.2007 Mengen & Logik

Ab 14:30 in B6 A0.01: Komplexe Zahlen Noch Fragen? Wie gehts jetzt weiter? Ab 14:30 in B6 A0.01: Komplexe Zahlen Bei späteren Fragen könnt ihr euch an die Fachschaft oder direkt an mich wenden: fim@fim.uni-mannheim.de nstadler@rumms.uni-mannheim.de 21.08.2007 Mengen & Logik

Ende 21.08.2007 Mengen & Logik