LK-MA - Christopher Schlesiger Rotationskörper Volumenberechnung von Rotationskörpern, die bei Rotation um die x- bzw. y-Achse entstehen, mit den Mitteln der Integralrechnung 25.Februar.2006 LK-MA - Christopher Schlesiger

LK-MA - Christopher Schlesiger Rotationskörper Rotationssymmetrische Körper entstehen bei einer Rotation einer Kurve um eine Rotationsachse. Beispiele für rotationssymmetrische Körper: Kugel: rotierende Funktion: r²= x²+y² Zylinder: rotierende Funktion: f(x) = r , r = const. Kegel: rotierende Funktion: f(x) = mx+n 25.Februar.2006 LK-MA - Christopher Schlesiger

Rotation um die x-Achse(1) Vor.: Es liegt eine auf dem Intervall [a; x+Δx] stetige Funktion f vor, die um die x-Achse rotiert. Der Bogen vom Punkt A bis zum Punkt P rotiert um die x-Achse und erzeugt dabei einen Körper mit dem Volumen Va(x)(hellblau). Nun wird P nach rechts zu Q um Δx verschoben. Dadurch entsteht der neue Körper mit dem Volumen Va(x+Δx)(hellblau+grün). Der Volumenzuwachs ΔV entspricht dabei ΔV=Va(x+Δx)- Va(x)(grün). Dessen Volumen wird abgeschätzt über zwei Zylinder.Es gilt: inneres Zylindervolumen < ΔV < äußeres Zylindervolumen Aus der Formel für das Zylindervolumen folgt: 25.Februar.2006 LK-MA - Christopher Schlesiger

Rotation um die x-Achse(2) Um die vorher vorgenommene Volumenvergrößerung wieder rückgängig zu machen, lassen wir Δx gegen Null also Q zu P laufen. Dementsprechend wird der Grenzwert gebildet: Da und , folgt: ist die Querschnittsfläche an der Stelle x Die Volumenfkt. ist also eine Stammfkt. der Querschnittsfkt.: 25.Februar.2006 LK-MA - Christopher Schlesiger

Rotation um die x-Achse(3) Nun bilden wir die Stammfunktion zur Querschnittsfunktion: Es fehlt uns nur noch die Integrationsvariable C, die wir aber durch ein paar einfache Überlegungen erhalten. Wir haben einen Drehkörper der allgemein bei a beginnt und bei b endet. Also schauen wir uns an was die Volumenfunktion für x=a bzw. x=b ergibt: Wenn linker und rechter Rand zusammenfallen, dann ist der Wert des Integrals 0. Damit und mit ergibt sich nun: , die Formel zur Berechnung von Volumen von Rotationskörpern bei Rotation um die x-Achse. 25.Februar.2006 LK-MA - Christopher Schlesiger

LK-MA - Christopher Schlesiger Rotation um y-Achse Bei einer Rotation um die y-Achse wird die Umkehrfunktion f-1 zu f gebildet und diese lässt man dann von y1 bis y2 um die x-Achse rotieren mit der bekannten Formel. Dabei ist es am besten wenn man f gleich nach x2 und nicht nach x auflöst, da man dieses für die Volumenberechnung bei einer Rotation braucht. 25.Februar.2006 LK-MA - Christopher Schlesiger

LK-MA - Christopher Schlesiger Übungen/Aufgaben zu(1) (1)Der Graph der Funktion f(x)=xe1-x rotiert um die x-Achse. Hat das Volumen einen endlichen Wert wenn a ins Unendliche reicht? (2)Leite die Formel für das Kugelvolumen mit Hilfe der Integralrechnung her. (3)Zeige mit den Mitteln der Integralrechnung, dass für das Volumen eines Zylinders die Formel f(x)=π r²h gilt. Warum ist diese Vorgehensweise kein Beweis für diese Formel? (4)Die beiden Kurven f(x)=4-x4 und g(x)=3x2 begrenzen eine Fläche, die um die y-Achse rotieren soll. Welches Volumen ergibt sich für die Fläche zwischen y-Achse und den beiden Kurven? 25.Februar.2006 LK-MA - Christopher Schlesiger

LK-MA - Christopher Schlesiger Übungen/Aufgaben (1)Für a gegen Unendlich ergibt sich folgendes: 25.Februar.2006 LK-MA - Christopher Schlesiger

LK-MA - Christopher Schlesiger Übungen/Aufgaben (2) (3) Dies ist kein Beweis für die Volumenformel eines Zylinders, da der Herleitung der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers mit der Integralrechnung die Formel für einen Zylinder zu Grunde liegt, und man somit diesen Beweis auf der Formel aufbauen würde die er beweisen sollte. 25.Februar.2006 LK-MA - Christopher Schlesiger

LK-MA - Christopher Schlesiger Übungen/Aufgaben (4) 25.Februar.2006 LK-MA - Christopher Schlesiger