Determinanten und Cramer‘sche Regel von Jasmin Boeß

Gliederung Wozu benötigen wir Determinanten? Herleitung der Cramer‘schen Regel Was ist eine Determinante? Cramer‘sche Regel (2x2 Matrizen) Übungsbeispiele Regel von Sarrus Cramer‘sche Regel (3x3 Matrizen)

Wozu benötigen wir Determinanten? zum Lösen von Gleichungssystemen Gauss-Verfahren Bsp: 2x1 – 3x2 = 5 | *7 7x1 + 5x2 = 9 | *2 2x1 - 3x2 = 5 - 31x2 = 17 x2 = 17/-31 x1 = 52/31 -

Herleitung der Cramer‘schen Regel (2x2 Matrix) I: a11x1 + a12x2 = b1 | *a22 II: a21x1 + a22x2 = b2 | *a12 Ia: a11a22x1 + a12a22x2 = a22b1 IIa: a21a12x1 + a22a12x2 = a12b2 a11a22x1 – a21a12x1 = a22b1 – a12b2 x1(a11a22-a21a12) = a22b1 – a12b2 x1 = Ia – IIa a22b1 – a12b2 a11a22-a21a12

Herleitung der Cramer‘schen Regel (2x2 Matrix) I: a11x1 + a12x2 = b1 | *a21 II: a21x1 + a22x2 = b2 | *a11 Ia: a11a21x1 + a12a21x2 = a21b1 IIa: a21a11x1 + a22a11x2 = a11b2 a22a11x2 – a12a21x2 = a11b2 – a21b1 x2(a22a11-a12a21) = a11b2 – a21b1 x2 = IIa – Ia a11b2 – a21b1 a22a11-a12a21

Was ist eine Determinante? Definition Eine Determinante ordnet einer (n;n)-Matrix A eindeutig eine reelle oder komplexe Zahl det A zu. Schreibweise ● = a11 a12 => Determinante a11a22-a12a21 a21 a22 - +

Cramer‘sche Regel a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 a22b1 - a12b2 a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 a11a22 - a21a12 a11b2 - a21b1 a22a11 - a12a21 inhomogene Gleichungssysteme; LGS mit genau einer Lösung b1 a12 b2 a22 b1a22 - b2a12 x1 = = a11a22 - a21a12 a11 a12 a21 a22 Cramer‘sche Regel a11 b1 a21 b2 a11b2 - a21b1 x2 = = a11 a12 a21 a22 a11a22 - a12a21

Übungsbeispiel 2x1 – 3x2 = 5 7x1 + 5x2 = 9 Zähler: Ergebnis + anderer x-Wert Nenner: Koeffizienten der x-Werte 7x1 + 5x2 = 9 5 -3 9 5 52 5*5-(-3)*9 x1 = = = -3 7 5 2*5-(-3)*7 31 2 5 7 9 2*9-5*7 17 x2 = = = - -3 7 5 31 2*5-(-3)*7

Und jetzt ihr! 11x1 - 13x2 = 20 5x1 - 12x2 = 1 7x1 + 7x2 = 10 rx1 - rx2 = 1

Lösungen 11x1 - 13x2 = 20 5x1 - 12x2 = 1 x1 = = = x2 = = = -13 1 -12 1 -12 20*(-12)-(-13)*1 227 -13 5 -12 11*(-12)-(-13)*5 67 11 20 5 1 11*1-20*5 89 67 -13 5 -12 11*(-12)-(-13)*5

7x1 + 7x2 = 10 rx1 - rx2 = 1 x1 = = = = x2 = = = 10 7 1 -r 10*(-r)-7*1 10 7 1 -r 10*(-r)-7*1 -10r-7 10r+7 7 7 r -r 7*(-r)-7*r -14r 14r 7 10 r 1 7*1-10*r -10r+7 7 7 r -r 7*(-r)-7*r -14r

Regel von Sarrus a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a22 a33 a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 = - a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a21 a22 a31 a32 - - - + + +

Cramer‘sche Regel a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33 1 1 x1 = x2 = D D a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 1 D = x3 = D

Übungsbeispiel 3 5 - 7 6 4 -12 3 -3 - 6 3x1 + 5x2 - 7x3 = 4 3 5 - 7 6 4 -12 3 -3 - 6 3x1 + 5x2 - 7x3 = 4 6x1 + 4x2 - 12x3 = 9 3x1 - 3x2 - 6x3 = 2 D = 4 5 - 7 9 4 -12 2 -3 - 6 1 155 31 x1 = = = D 30 6 3 4 - 7 6 9 -12 3 2 - 6 1 15 1 x2 = = = D 30 2 3 5 4 6 4 9 3 -3 2 1 60 x1 = = = 2 D 30

Und jetzt ihr! x1 + x2 + x3 = 10 5x1 + 7x2 - 9x3 = 11 3x1 + 2x2 - 25x3 = 30

Lösungen x1 + x2 + x3 = 10 5x1 + 7x2 - 9x3 = 11 3x1 + 2x2 - 25x3 = 30 1 1 1 5 7 - 9 3 2 -25 D = 10 1 1 11 7 - 9 30 2 -25 1 -1753 1753 x1 = = = D -70 70 1 10 1 5 11 - 9 3 30 -25 1 1092 -78 x2 = = = D -70 5 1 1 10 5 7 11 3 2 30 1 -39 x1 = 39 = = D -70 70

?

Quellen Analytische Geometrie mit linearer Algebra; Lambacher Schweizer; S. 18 + 19 http://www.mathe-online.at/ materialien/klaus.berger/files/Matrizen/determinante.pdf

Danke für eure Aufmerksamkeit!