1 (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Rationale Funktionen Lernziele: Rationale Funktionen und ihre Bedeutung kennen. Ganzzahlige Nullstellen von Polynomen berechnen können. Aufgaben mit Funktionen lösen können

2 (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Die ganz rationale Funktion (Polynomfunktion)

3 (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Nullstellen von Polynomen Definition: Nullstellen einer Funktion f sind jene Stellen (x-Werte), für die der Funktionswert Null ergibt. Also: x 0 ist Nullstelle von f(x), wenn f(x 0 ) = 0 gilt.

4 (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Sätze Ist x 0 eine Nullstelle des Polynoms f(x) mit dem Grad n, so kann man f(x) in das Produkt von einem Linearfaktor (x - x 0 ) und ein Restpolynom g(x) vom Grad n-1 zerlegen. Ein Poynom n-ten Grades kann höchstens in n reellwertige Linearfaktoren der Form (x - x i ) zerlegt werden. Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n reelle Nullstellen.

5 (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Mehrfachnullstellen Definition: Eine Zahl x 0 ist m-fache Nullstelle eines Polynoms n-ten Grades, wenn sich das Polynom f(x) in (x - x 0 ) m g(x) zerlegen lässt.

6 (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Berechnung von Nullstellen Zur Berechnung von Nullstellen von Polynomen kann der folgende Satz hilfreich sein: Hat ein Polynom n-ten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten eine ganzzahlige Nullstelle, so ist diese Nullstelle Teiler des konstanten Gliedes.

7 (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Aufgabe 1 Zeitversetzter freier Fall zweier Kugeln: Zwei Kugeln fallen im luftleeren Raum im zeitlichen Abstand von 2 s aus gleicher Höhe und jeweils aus der Ruhe heraus. Wie verändert sich der Abstand d der beiden Kugeln im Laufe der Zeit t? Skizzieren Sie den Verlauf dieser Weg-Zeit- Funktion.

8 (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Aufgabe 1 Was wissen Sie aus der Physik über den freien Fall? Skizzieren Sie die Positionen der Kugeln nach 0, 1, 2, 3, 4 Sekunden. Versuchen Sie einen Ansatz für den Abstand d zwischen den beiden Kugeln.

9 (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Aufgabe 2 Zugspannung in einem rotierenden Stab: Ein zylindrischer Stab der Länge l rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine durch das Ende des Stabes gehende, zu ihm senkrecht verlaufende Achse. a)Bestimmen Sie die durch die Zentrifugal- kräfte hervorgerufene Zugspannung s an einer beliebigen Schnittstelle x und skizzieren Sie den Spannungsverlauf längs des Stabes.

10 (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Aufgabe 2 b)An welcher Schnittstelle erreicht die Zugspannung ihren Maximalwert? c)Welchen Wert darf die Winkelgeschwindig- keit nicht überschreiten, wenn die aus materialtechnischen Gründen höchstzulässige Zugspannung s 0 beträgt? AQuerschnittsfläche des Stabes, konstante Dichte des Stabmaterials)

11 (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz Aufgabe 2 Skizzieren Sie den rotierenden Stab mit Rotationsachse. Zeichnen Sie eine beliebige Schnittstelle x ein. Was versteht man unter Zugspannung? Überlegen Sie: Wenn der Stab an der Stelle x durchgeschnitten wird, müsste man ihn mit Klebstoff wieder zusammenleimen. Was müsste der Klebstoff aushalten?