Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem

2 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Tycho Brahe ( ) Letzter großer Astronom ohne Fernrohr Außergewöhnlich sorgfältig und systematischer Beobachter erster moderner Wissenschaftler Brahesches Weltbild: Erde im Zentrum, Planeten umkreisen die Sonne Detaillierte Vermessung der Marsbahn über 30 Jahre Er bestimmte die Parallaxe von Kometen Kometen ziehen ihre Bahnen jenseits des Mondes Er beobachtete eine Supernova [neuer Stern] im Sternbild Kassiopeia, konnte aber keine Parallaxe messen Supernova ist Teil der Himmelssphäre Letzter großer Astronom ohne Fernrohr Außergewöhnlich sorgfältig und systematischer Beobachter erster moderner Wissenschaftler Brahesches Weltbild: Erde im Zentrum, Planeten umkreisen die Sonne Detaillierte Vermessung der Marsbahn über 30 Jahre Er bestimmte die Parallaxe von Kometen Kometen ziehen ihre Bahnen jenseits des Mondes Er beobachtete eine Supernova [neuer Stern] im Sternbild Kassiopeia, konnte aber keine Parallaxe messen Supernova ist Teil der Himmelssphäre Seine Beobachtungen erschütterte die Aristotelische Idee eines ewigen und unveränderlichen Himmels Seine Beobachtungen erschütterte die Aristotelische Idee eines ewigen und unveränderlichen Himmels

3 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Johannes Kepler ( ) Tycho Brahes Nachfolger in Prag Er fand heraus, dass weder das Ptolemäische noch das Brahesche noch das helio- zentrische Modell die Beobachtungen mit hinreichender Genauigkeit reproduzieren kann. Schluss: Planeten bewegen sich auf Ellipsen, nicht auf Kreisen Tycho Brahes Nachfolger in Prag Er fand heraus, dass weder das Ptolemäische noch das Brahesche noch das helio- zentrische Modell die Beobachtungen mit hinreichender Genauigkeit reproduzieren kann. Schluss: Planeten bewegen sich auf Ellipsen, nicht auf Kreisen

4 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Keplers drei Gesetze der Planetenbewegung 1. Keplersches Gesetz: Die Planeten umlaufen die Sonne auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

5 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Ellipsen - Kegelschnitte Kegelschnitte =0: Kreis 0 < < 1: Ellipse =1: Parabel >1: Hyperbel Kegelschnitte =0: Kreis 0 < < 1: Ellipse =1: Parabel >1: Hyperbel =SC/AC = eccentricity

6 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Keplers drei Gesetze der Planetenbewegung 2. Keplersches Gesetz: Der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen

7 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Keplers drei Gesetze der Planetenbewegung 3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen

8 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 3. Keplersches Gesetz Beispiel: Abstand der Erde zur Sonne: R E = 1AU Umlaufzeit: P E = 1a Umlaufzeit des Mars: P M = 1.88a Die große Halbachse der Marsbahn um die Sonne kann berechnet werden: Beispiel: Abstand der Erde zur Sonne: R E = 1AU Umlaufzeit: P E = 1a Umlaufzeit des Mars: P M = 1.88a Die große Halbachse der Marsbahn um die Sonne kann berechnet werden: R M = /3 AU = 1.52 AU R M = /3 AU = 1.52 AU Immer noch die wichtigste Methode in der Astronomie, um die Ausdehnung astronomischer Systeme zu vermessen

9 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Weiteres Beispiel 1781: Herschel entdeckt Uranus Abstand Erde zur Sonne: R E = 1AU Umlaufzeit der Erde: P E = 1a Über Parallaxen: R U = 19.2 AU Die Umlaufzeit von Uranus um die Sonne kann berechnet werden: 1781: Herschel entdeckt Uranus Abstand Erde zur Sonne: R E = 1AU Umlaufzeit der Erde: P E = 1a Über Parallaxen: R U = 19.2 AU Die Umlaufzeit von Uranus um die Sonne kann berechnet werden: P U = /2 yr = 84 yr P U = /2 yr = 84 yr

10 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Galileo Galilei ( ) Er war nicht der Erfinder des Fernrohrs ! Aber er war der erste, der es gen Himmel richtete Er entwickelte Test für die Aristotelische Physik und verwarf daraufhin letztere Berühmt für seinen Ketzerei-Prozess 1633 vom Vatikan rehabilitiert 1980 ! Er war nicht der Erfinder des Fernrohrs ! Aber er war der erste, der es gen Himmel richtete Er entwickelte Test für die Aristotelische Physik und verwarf daraufhin letztere Berühmt für seinen Ketzerei-Prozess 1633 vom Vatikan rehabilitiert 1980 !

11 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Beispiel: Fallgesetze Fällt ein Hammer schneller als eine Feder? Aristoteles: ja, Hammer besteht mehr aus Erde, Feder mehr aus Luft Galileo: nein, beide fallen (im luftleeren Raum) gleich schnell Apollo 15: beide fallen gleich schnell Fällt ein Hammer schneller als eine Feder? Aristoteles: ja, Hammer besteht mehr aus Erde, Feder mehr aus Luft Galileo: nein, beide fallen (im luftleeren Raum) gleich schnell Apollo 15: beide fallen gleich schnell

12 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Galileis astronomische Entdeckungen Berge auf dem Mond ähnlich denen auf der Erde keine perfekt Kugelgestalt Sterne punktartig, Planeten: Sphären Entdeckung der Phasen der Venus Ptolemäischen Weltmodell Entdeckung der Monde des Jupiter Miniatur-Sonnensystem Entdeckung(?)/Interpretation der Sonnenflecken Himmel ist unveränderlich Milchstraße = Zillionen von Sternen Berge auf dem Mond ähnlich denen auf der Erde keine perfekt Kugelgestalt Sterne punktartig, Planeten: Sphären Entdeckung der Phasen der Venus Ptolemäischen Weltmodell Entdeckung der Monde des Jupiter Miniatur-Sonnensystem Entdeckung(?)/Interpretation der Sonnenflecken Himmel ist unveränderlich Milchstraße = Zillionen von Sternen

13 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Die Phasen der Venus heliozentrisch geozentrisch

14 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Der Prozess des Galileo Galilei Schwieriger Charakter, sehr arrogantes Auftreten Er hielt Vorlesungen für die Öffentlichkeit. Herausragender Redner und Lehrer Er publizierte auf italienisch berühmtes Buch Dialog über die beiden hauptsächlichen Weltsysteme. Das Ptolemäische Weltbild wurde von Simplicio verteidigt, einem offensichtlichen Dummkopf Weiteres, noch extremeres Beispiel: Giordano Bruno Schwieriger Charakter, sehr arrogantes Auftreten Er hielt Vorlesungen für die Öffentlichkeit. Herausragender Redner und Lehrer Er publizierte auf italienisch berühmtes Buch Dialog über die beiden hauptsächlichen Weltsysteme. Das Ptolemäische Weltbild wurde von Simplicio verteidigt, einem offensichtlichen Dummkopf Weiteres, noch extremeres Beispiel: Giordano Bruno

15 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Die drei Newtonschen Bewegungsgesetze 1. Newtonsches Gesetz: Ein Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden, sofern er nicht einer äußeren Kraft unterworfen wird.

16 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Die drei Newtonschen Bewegungsgesetze 2. Newtonsches Gesetz Die zeitliche Änderung des Impulses eines Körpers ist proportional der Größe der äußeren Kraft, die auf ihn wirkt. F = m a

17 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Die drei Newtonschen Bewegungsgesetze 3. Newtonsches Gesetz Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind ihrer Größe nach gleich und entgegengesetzt gerichtet.

18 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Keplers Gesetze und Newtons Gesetze Worin besteht der Unterschied ? Kepler: empirische Gesetze, beschreiben Zusammenhänge in der Natur Newton: Axiome, auf denen das physikalische Gesamtmodell beruht Worin besteht der Unterschied ? Kepler: empirische Gesetze, beschreiben Zusammenhänge in der Natur Newton: Axiome, auf denen das physikalische Gesamtmodell beruht

19 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Gravitationskonstante G = dyne cm 2 g -2 schwere und träge Masse Trägheit: Resistenz der Masse m T ihren Bewegungszustand zu ändern ist proportional zu m T Schwerkraft: die Masse m S übt eine Anziehung aus, die proportional zu m S ist beide Massen sind proportional zueinander Im Experiment: Unterschied kleiner als Zur Bequemlichkeit: m T =m S Gravitationskonstante G = dyne cm 2 g -2 schwere und träge Masse Trägheit: Resistenz der Masse m T ihren Bewegungszustand zu ändern ist proportional zu m T Schwerkraft: die Masse m S übt eine Anziehung aus, die proportional zu m S ist beide Massen sind proportional zueinander Im Experiment: Unterschied kleiner als Zur Bequemlichkeit: m T =m S Das Newtonsche Gravitationsgesetz

20 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Das Newtonsche Gravitationsgesetz Warum ein r -2 Gesetz? Kepler III: k: eine Konstante Aus Geometrie Kreisbahn Warum ein r -2 Gesetz? Kepler III: k: eine Konstante Aus Geometrie Kreisbahn Zentripetalkraft F c Da F c =F G gilt, muss, um Kepler III zu erhalten,

21 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Das Newtonsche Gravitationsgesetz Kraft einer Punktmasse i der Masse m i bei Position r i auf Testteilchen m bei r Kraft eines Systems von N Teilchen Kontinuumslimit Kraft einer Punktmasse i der Masse m i bei Position r i auf Testteilchen m bei r Kraft eines Systems von N Teilchen Kontinuumslimit

22 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Das Newtonsche Gravitationsgesetz Mathematisch identisch zum Coulomb-Gesetz, allerdings gilt für die Gravitation immer 0 Gravitation sättigt nicht (Elektrostatik: Ladungsneutralität für hinreichend große Volumina) zum Teil schwierig korrigierbare Singularitäten Deutliche Vereinfachungen für sphärische Symmetrie Mathematisch identisch zum Coulomb-Gesetz, allerdings gilt für die Gravitation immer 0 Gravitation sättigt nicht (Elektrostatik: Ladungsneutralität für hinreichend große Volumina) zum Teil schwierig korrigierbare Singularitäten Deutliche Vereinfachungen für sphärische Symmetrie

23 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Theorem Eine homogene Kugelschale vom Radius r, von der Dicke r und der Masse M übt keinerlei Kraft auf einen beliebigen Punkt im Innern der Schale aus. Außerhalb der Schale ist die Kraft äquivalent zu der einer Punktmasse M am Schwerpunkt der Schale. Beweis: nicht offensichtlich Methode 1: Berechne Integral aufreibend und langweilig Carrol and Ostlie Methode 2: etwas Vektoranalysis Eine homogene Kugelschale vom Radius r, von der Dicke r und der Masse M übt keinerlei Kraft auf einen beliebigen Punkt im Innern der Schale aus. Außerhalb der Schale ist die Kraft äquivalent zu der einer Punktmasse M am Schwerpunkt der Schale. Beweis: nicht offensichtlich Methode 1: Berechne Integral aufreibend und langweilig Carrol and Ostlie Methode 2: etwas Vektoranalysis

24 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Beweis ×M×M V V

25 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Beweis ×M×M ×M×M Betrachte zwei gegenüberliegende Punkte aufV VV VV

26 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Beweis ×M×M ×M×M Integriere über Halbkugel jeweils gegenüberliegende Paare aufV VV VV

27 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Beweis Für ein Vielteilchensystem von N Teilchen: für Kontinuum: Für ein Vielteilchensystem von N Teilchen: für Kontinuum: -4 GM für M innerhalb von V 0 für M außerhalb von V unabhängig von der genauen Lage von M innerhalb/außerhalb von S

28 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Beweis Für homogene Kugelschale mit Radius R, Dicke R und Masse M =4 R 2 R : Integriere über Kugeloberfläche mit Radius r r<R Für homogene Kugelschale mit Radius R, Dicke R und Masse M =4 R 2 R : Integriere über Kugeloberfläche mit Radius r r<R R r R

29 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Beweis Für homogene Kugelschale mit Radius R, Dicke R und Masse M =4 R 2 R : Integriere über Kugeloberfläche mit Radius r r>R Für homogene Kugelschale mit Radius R, Dicke R und Masse M =4 R 2 R : Integriere über Kugeloberfläche mit Radius r r>R R r q.e.d R

30 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Zur Erinnerung: wesentliche Annahmen r -2 -Kraftgesetz unabhänging von r Gilt z.B. nicht für Kernkräfte Lineare Superposition der Massen Zentralkraft sphärische Symmetrie r -2 -Kraftgesetz unabhänging von r Gilt z.B. nicht für Kernkräfte Lineare Superposition der Massen Zentralkraft sphärische Symmetrie

31 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Bereits gezeigt: r -2 -Kraftgesetz Kepler III (für Kreisbahn) Betrachte Kreisbahn, gleichförmige Bewegung In t überstrichene Fläche: Drehimpulserhaltung: Kepler II aber gilt das auch für nicht-zirkulare Bahnen? Kepler I ??? Bereits gezeigt: r -2 -Kraftgesetz Kepler III (für Kreisbahn) Betrachte Kreisbahn, gleichförmige Bewegung In t überstrichene Fläche: Drehimpulserhaltung: Kepler II aber gilt das auch für nicht-zirkulare Bahnen? Kepler I ??? Newton Kepler I. Motivation A v r

32 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem zeige, dass allgemein gilt P 2 a 3 dA/dt = const. Kegelschnitt: zeige, dass allgemein gilt P 2 a 3 dA/dt = const. Kegelschnitt: Newton Kepler I. Motivation p

33 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Zweikörperproblem Einkörperproblem Aufstellen der Bewegungsgleichung Lösung der Bewegungsgleichung Ableitung der Keplerschen Gesetze Einkörperproblem Zweikörperproblem Zweikörperproblem Einkörperproblem Aufstellen der Bewegungsgleichung Lösung der Bewegungsgleichung Ableitung der Keplerschen Gesetze Einkörperproblem Zweikörperproblem Newton Kepler II. Überblick

34 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Zweikörperproblem Einkörperproblem × Schwerpunkt r r2r2 r1r1 2 1 Schwerpunkt: M : Gesamtmasse

35 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Zweikörperproblem Einkörperproblem × Schwerpunkt r r2r2 r1r1 2 1 Beschleunigungen: = -1 : reduzierte Masse

36 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Zweikörperproblem Einkörperproblem Beschleunigung: Ergebnis Das gekoppelte Zweikörperproblem reduziert sich zu der Bewegung einer Testmasse im Zentralfeld der gemeinsamen Masse M im Schwerpunkt. Beschleunigung: Ergebnis Das gekoppelte Zweikörperproblem reduziert sich zu der Bewegung einer Testmasse im Zentralfeld der gemeinsamen Masse M im Schwerpunkt.

37 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Bewegungsgleichung In mitbewegten Zylinderkoordinaten ( r,, z ) In Zylinderkoordinaten hängen und von der Zeit ab ! Beschleunigung In mitbewegten Zylinderkoordinaten ( r,, z ) In Zylinderkoordinaten hängen und von der Zeit ab ! Beschleunigung

38 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Bewegungsgleichung

39 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Lösung der Bewegungsgleichung Gleichung (3) Wähle Anfangsbedingungen so, dass Bewegung bleibt in der durch und zu t=0 aufgespannten Ebene Gleichung (2) × r Spezifischer Drehimpuls l ist erhalten Gleichung (3) Wähle Anfangsbedingungen so, dass Bewegung bleibt in der durch und zu t=0 aufgespannten Ebene Gleichung (2) × r Spezifischer Drehimpuls l ist erhalten

40 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Lösung der Bewegungsgleichung Gleichung (1) mit Gleichung (1) mit Gravitations- kraft zieht an Zentrifugal- kraft stößt ab Ziel: Umschreiben als totales Differential in r

41 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Lösung der Bewegungsgleichung Gravitations- potential Zentrifugal- potential effektives Potential Energie ist erhalten

42 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Lösung der Bewegungsgleichung Anmerkungen r 0 Zentrifugalpotential wächst schneller als Gravitationspotential Objekte fallen nicht zum Zentrum Minimum des effektiven Potentials Kreisbahn Anmerkungen r 0 Zentrifugalpotential wächst schneller als Gravitationspotential Objekte fallen nicht zum Zentrum Minimum des effektiven Potentials Kreisbahn

43 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Lösung der Bewegungsgleichung

44 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Lösung der Bewegungsgleichung

45 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Lösung der Bewegungsgleichung Wähle Integrationskonstante so, dass r = r min bei = 0

46 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Ableitung der Keplerschen Gesetze Vergleiche mit Gleichung für Kegelschnitt Kepler I !!! mit

47 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Ableitung der Keplerschen Gesetze Überstrichene Fläche Kepler II !!! Gesamtfläche: Kepler III !!! Überstrichene Fläche Kepler II !!! Gesamtfläche: Kepler III !!!

48 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Ableitung der Keplerschen Gesetze Bahnenergie im Perizentrum alle Bahnen der großen Halbachse a haben dieselbe Energie, unabhängig von Bahnenergie im Perizentrum alle Bahnen der großen Halbachse a haben dieselbe Energie, unabhängig von

49 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Ableitung der Keplerschen Gesetze Bahnenergie im Perizentrum alle Bahnen der großen Halbachse a haben dieselbe Energie, unabhängig von Bahnenergie im Perizentrum alle Bahnen der großen Halbachse a haben dieselbe Energie, unabhängig von

50 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Ableitung der Keplerschen Gesetze Bahngeschwindigkeit: Über Energieerhaltung Bahnform E<0, <1: Ellipse E=0, =1: Parabel E>0, >1: Hyperbel Bahngeschwindigkeit: Über Energieerhaltung Bahnform E<0, <1: Ellipse E=0, =1: Parabel E>0, >1: Hyperbel Coulomb, Gravitation anziehend Coulomb, Gravitation anziehend nur Coulomb, abstoßend

51 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Einkörperproblem Zweikörperproblem zwei Ellipsen mit gleicher Exzentrizität Beispiel Erde-Mond-System: a= km a 1 =4700km a 2 =379700km zwei Ellipsen mit gleicher Exzentrizität Beispiel Erde-Mond-System: a= km a 1 =4700km a 2 =379700km

52 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem N-Körperproblem allgemein für N>2 nicht streng mathematisch lösbar Interessante Spezialfälle Librationspunkte (3 Körper) Störungsrechnung Virialtheorem allgemein für N>2 nicht streng mathematisch lösbar Interessante Spezialfälle Librationspunkte (3 Körper) Störungsrechnung Virialtheorem

53 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Störungsrechnung, ein Beispiel Zweikörperproblem Führe nun eine Störterm der Form ein Zweikörperproblem Führe nun eine Störterm der Form ein Rosettenbahnen, präzessierende Ellipsen

54 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Störungsrechnung, ein Beispiel

55 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Das Virialtheorem Für das Zweikörperproblem war für eine Kreisbahn ist somit für elliptische Bahnen kinetische und potentielle Energie variieren Mittelwerte ? Für das Zweikörperproblem war für eine Kreisbahn ist somit für elliptische Bahnen kinetische und potentielle Energie variieren Mittelwerte ?

56 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Das Virialtheorem Mittelwert der potentiellen Energie Gilt im Zeitmittel auch für elliptische Bahnen

57 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Das Virialtheorem Allgemein für N Teilchen, definiere Trägheitsmoment (Achtung, etwas andere Definition als beim Kreisel) Trägheitsmoment (Achtung, etwas andere Definition als beim Kreisel)

58 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Das Virialtheorem Allgemein für N Teilchen, definiere

59 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Das Virialtheorem Allgemein für N Teilchen, definiere

60 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Das Virialtheorem Allgemein für N Teilchen, definiere

61 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Das Virialtheorem Allgemein gilt für ein System aus N Teilchen Im stationären Zustand verschwinden die Zeitableitungen zeitgemittelter globaler Größen, folglich

62 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Das Virialtheorem Für große Teilchenzahlen N ist die Mittelung über die Zeit äquivalent zu einer über verschiedene Ensembles (Teilbereiche können als unabhängig voneinander angesehen werden), d.h. es gilt auch instantan für stationäre Systeme