Spezielle Relativitätstheorie Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (“Kees”) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke Institut für Theoretische Astrophysik Universität Heidelberg

Die ersten Gedankenexperimente: Zeit-Dilatation und Lorentz-Kontraktion

Einsteins Gedanken-Experiment Zug fährt mit einer Geschwindigkeit vzug in einen Bahnhof ein. Achtung: Der Zug bremst nicht ab, sondern fährt mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Frage: Bewegt sich der Zug oder bewegt sich der Bahnhof?

Einsteins Gedanken-Experiment Zug Bahnsteig

Einsteins Gedanken-Experiment Zug Bahnsteig

Einsteins Gedanken-Experiment Zug vx=vzug Bahnsteig

Einsteins Gedanken-Experiment L vx=vzug

Einsteins Gedanken-Experiment y Raum-Koordinaten (vom Bahnhof aus gesehen) L vx=vzug x

Einsteins Gedanken-Experiment vy Geschwindigkeits- Koordinaten (vom Bahnhof aus gesehen) vy=vball,0 vx vx=vzug

Einsteins Gedanken-Experiment v‘y Geschwindigkeits- Koordinaten (vom Zug aus gesehen) v‘y=vball,0 v‘x v‘x=0

Einsteins Gedanken-Experiment L

Einsteins Gedanken-Experiment Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Zug aus gesehen) L

Einsteins Gedanken-Experiment Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Bahnhof aus gesehen) L

Einsteins Gedanken-Experiment vy Geschwindigkeits- Koordinaten (vom Bahnhof aus gesehen) vy vx vx=vzug

Einsteins Gedanken-Experiment Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Zug aus gesehen) Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, zu welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera? L

Einsteins Gedanken-Experiment Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Bahnhof aus gesehen) Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, zu welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera? L Aufgabe: Berechne wie viel länger es vom Bahnhof aus gesehen dauert.

Zeit-Dilatation Jetzt mit einem Lichtpuls (vom Bahnhof aus gesehen) Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, an welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera? Die Person im Zug ist jedoch völlig überzeugt, dass der Puls zum Zeitpunkt t‘=L/c ankommt! Also: seine Uhr läuft langsamer: L Problem: Denkt der Mensch im Zug nicht auch, dass unsere Uhr (am Bahnhof) langsamer als seine Uhr läuft?? Antwort: Ja; aber dazu später...

Zeit-Dilatation Beispiel: vzug=0.866 c, und damit vy=0.5 c (weil 0.8662+0.52=1) Zug L Bahnsteig

Zeit-Dilatation Beispiel: vzug=0.866 c, und damit vy=0.5 c (weil 0.8662+0.52=1) Zug L Bahnsteig

Zeit-Dilatation Beispiel: vzug=0.866 c, und damit vy=0.5 c (weil 0.8662+0.52=1) Zug L Bahnsteig

Lorentzkontraktion Wir ändern das Lichtpuls-Experiment leicht ab: (vom Zug aus gesehen) Die Dauer ist nun: L vom Zug aus gesehen, und vom Bahnhof aus gesehen

Lorentzkontraktion Nun drehen wir dieses Experiment, so dass der Lichtpuls in Fahrtrichtung des Zuges geht: (vom Zug aus gesehen) Die Dauer ist nun: L vom Zug aus gesehen, und vom Bahnhof aus gesehen

Lorentzkontraktion Aber es gibt ein Problem: Stimmt es wirklich, dass der Zeitpunkt, zu dem der Lichtpuls zurückkommt tatsächlich ist? Wenn wir dies ausarbeiten finden wir eine Inkonsistenz... Aufgabe: Berechne den Zeitpunkt an dem der Lichtpuls den bewegten Spiegel erreicht. Berechne den Zeitpunkt an dem der Lichtpuls wieder zurück bei der (bewegte) Kamera ist. Zeige, dass dies um den Faktor zu lange dauert, im Vergleich zur o.g. Formel.

Lorentzkontraktion Aber es gibt ein Problem: Stimmt es wirklich, dass der Zeitpunkt, zu dem der Lichtpuls zurückkommt tatsächlich ist? Lass uns dies aus Sicht des Bahnhofs berechnen. Zuerst: zu welchem Zeitpunkt t1 erreicht der Puls den Spiegel? Und zu welchem Zeitpunkt t2 fällt der Puls in die Kamera?

Lorentzkontraktion Wir haben also ein Problem: Wir haben gerade ausgerechnet, dass die Dauer des Experiments ist, aber wir wissen, dass es eigentlich sein muss... Was ist los? Henrik Lorentz kam zu dem Schluss, dass sich Längen in Fahrtrichtung verkürzen!

Lorentzkontraktion Statt L müssen wir Lvbhag (L vom Bahnhof aus gesehen) benutzen (aber nur für das Experiment in Fahrtrichtung!): Und mit der Lorentzkontraktion erhält man dann wieder die richtige Antwort:

Lorentzkontraktion

Leiter-Paradoxon der Lorentzkontraktion Leiter bewegt sich, Garage steht still: Garage bewegt sich, Leiter steht still: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ladder_Paradox_GarageScenario.svg

Relativitätsprinzip Galilei und Newton wussten schon, dass absolute Geschwindigkeiten keine physikalische Bedeutung haben, sondern nur relative Geschwindigkeiten: dies heißt Galilei-Invarianz. Wir kennen das: Im ICE bei 200 km/h kann man problemlos laufen, spielen, tanzen, als ob der Zug stillsteht. Problem: Die Lichtgeschwindigkeit scheint jedoch absolut zu sein. Wenn wir trotzdem fordern, dass eine bewegte Person dieselbe Lichtgeschwindigkeit misst, so erhält man Zeitdilatation und Lorentzkontraktion. Diese sehen aber asymmetrisch aus!

Raum-Zeit Diagramme

Raum-Zeit-Diagramme Um einen besseren Blick zu bekommen, machen wir Bewegung durch Raum-Zeit Diagramme ersichtlich. Traditionell: Raum horizontal und Zeit vertikal. Beispiel: rennende Person

Raum-Zeit-Diagramme

Raum-Zeit-Diagramme

Raum-Zeit-Diagramme

Raum-Zeit-Diagramme Supermarkt Wohnung Büro Lunchroom „Weltlinie“

Raum-Zeit-Diagramme „Ereignisse“ Die Geburt deines Kindes Die Hochzeit eines Freundes Deine Hochzeit Deine Geburt

Raum-Zeit-Diagramme: 2+1D Etwas schwieriger um damit zu arbeiten... y x

Raum-Zeit-Diagramme: 3+1D (=„4D“) Sorry, Powerpoint kann leider noch keine 4-D Grafen erstellen... Versuchen Sie es in 30 Jahren wieder... Noch schwieriger um damit zu arbeiten...

Galilei Invarianz Bahnhof Zug Der Zug fährt aus dem Bahnhof raus...

Galilei Invarianz ...oder der Bahnhof fliegt vom Zug weg... Wer hat recht? ‘

Galilei Transformation Bahnhof Zug Bahnhof und Zug haben eigene Zeitachsen Das bedeutet: x=0 an t≠0 hat eine andere Bedeutung in den zwei Bezugssystemen x=0 x=1 x‘=0 x‘=1

Galilei Transformation Bahnhof Zug Wir können durch eine Koordinaten- Transformation vom (x,t) ins (x‘,t)-System wechseln. x=1 x=0 x‘=0 x‘=1 ‘

Galilei Transformation Bahnhof Zug Bahnhof und Zug haben eigene Zeitachsen Das bedeutet: x=0 an t≠0 hat eine andere Bedeutung für den zwei Bezugssystemen x=0 x=1 x‘=0 x‘=1

Galilei Transformation Bahnhof Zug Bahnhof und Zug haben eigene Zeitachsen Das bedeutet: x=0 an t≠0 hat eine andere Bedeutung für den zwei Bezugssystemen x=0 x=1 x‘=0 x‘=1

Galilei Transformation Bahnhof Zug Wir können durch eine Koordinaten- Transformation vom (x,t) ins (x‘,t)-System wechseln. x=1 x=0 x‘=0 x‘=1 ‘

Galilei Transformation Bahnhof Zug Wir können durch eine Koordinaten- Transformation vom (x,t) ins (x‘,t)-System wechseln. x=1 x=0 x‘=0 x‘=1 ‘

Inertialsystem (inertiales Bezugssystem) Ein Koordinatensystem (x,t) ist ein Inertialsystem wenn eine geradlinige gleichförmige Bewegung als geschrieben werden kann. Das heißt, dass ein neues Koordinatensystem (x‘,t) welches von (x,t) abgeleitet ist durch (mit C und u Konstanten) auch ein Inertialsystem ist, und zwar völlig gleichwertig.

Weltlinie & Raumzeit-Geschwindigkeit vx

(„Minkowski-Diagramme“) Relativistische Raum-Zeit-Diagramme („Minkowski-Diagramme“)

Hermann Minkowski "Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf experimentell-physikalischem Boden erwachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz ist eine radikale. Von Stund′ an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.“ (Hermann Minkowski, 80th Assembly of German Natural Scientists and Physicians, September 21, 1908)

Minkowski Diagramme Für die Gedankenexperimente ersetzen wir die t-Achse durch eine ct-Achse (also wir multiplizieren die Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit). Die Zeitache hat jetzt auch Dimension „meter“

Lichtkegel Jetzt bewegt sich Licht entlang diagonalen Linien mit ±45∘ Winkel

Lichtkegel

Mehrere Lichtkegel Zwei Lichtpulse, unterschiedliche Orte

Mehrere Lichtkegel Zwei Lichtpulse, unterschiedliche Ort und Zeit

Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Raumzeit-Geschwindigkeit für stillstehende Person

Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Raumzeit-Geschwindigkeit für bewegende Person t‘ ist die Zeit so wie die bewegte Person sie wahrnimmt.

Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Dieser Raumzeit-Geschwindigkeitsvektor liegt immer auf der gestrichelte Linie. Grund: Zeitdilatation! t‘ ist die Zeit so wie die bewegte Person sie wahrnimmt.

Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Aufgabe: Zeige, dass dieser Raumzeit-Geschwindigkeitsvektor folgendermaßen aussieht: t‘ ist die Zeit so wie der bewegender Mensch sie wahrnimmt.

Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Aufgabe: Zeige, dass dies eine Hyperbel ist, d.h. dass die Zeit- und Raum-Komponente Vct bzw Vx folgende Gleichung befolgen: t‘ ist die Zeit so wie der bewegender Mensch sie wahrnimmt.

Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel Die gestrichelte Hyperbel ist also die ct‘=1 Linie. Sie ist nicht horizontal (wie klassisch) sondern eine Hyperbel wegen der Zeit-Dilatation.

Was ist „gleichzeitig“? Das Prinzip der Uhren-Synchronisation und die Vermischung von Raum und Zeit

Aus dem Urpsrunglichen Paper von Albert Einstein (1905)

Wie synchronisiert man Uhren? Stellt euch vor, wir haben eine Mars-Kolonie mit der wir über Radio-Funk kommunizieren können. Wir wollen checken, ob die Uhr dort synchron mit unserer Uhr auf der Erde läuft. Aber: Licht (das Radio-Signal) braucht ca. 20 Minuten von Erde bis zum Mars, und ca. 20 Minuten wieder zurück (wie lange genau müssen wir noch vermessen). Wenn wir über Funk fragen: wie viel Uhr ist es bei euch, dann kommt die Antwort viele Minuten später, und damit ist die Information schon „veraltet“. Aufgabe: Überlegt euch eine Methode („protocoll“) womit man trotz Zeit-Verzögerung feststellen kann ob die Uhren synchron laufen.

Wie synchronisiert man die Uhren? Erde Mars

Von vorbeifliegendem Raumschiff aus gesehen Erde Mars Für den Raumschiffpiloten bewegen sich Erde und Mars Man sieht: Die „Linie der synchronen Ereignisse“ ist nun gekippt!

Sowohl Zeit- als Raum-Achse kippen!

Sowohl Zeit- als Raum-Achse kippen!

Sowohl Zeit- als Raum-Achse kippen!

Zug-Bahnhof-Symmetrie wiederhergestellt? Aufgabe: Beweise, dass das Längenverhältnis A/a dasselbe ist wie B/b, also dass A/a=B/b. B A b a

Autobahnpolizei Jeweils nur Auto „A“ messen: A Die Uhr „A“ geht langsamer (Zeit-Dilatation) B Jeweils nur bei Blitzer „B“ messen: A Die Uhr gemessen von Station „B“ geht schneller! B

Zurück zum Zug+Bahnhof-Beispiel Das Kippen der Raum-Achse bedeutet, dass die Uhren im Zug vom Bahnhof aus gesehen nicht überall dieselbe Uhrzeit anzeigen. Dieses Beispiel: am t=0 standen sich D und d gegenüber und hatten beide dieselbe Uhrzeit. Wenige Zeit später sieht die Lage so aus: Zug a b c d e f g Bahnsteig A B C D E F G Aufgabe: Erkläre diese Lage mit dem x-ct Diagramm. (1) Warum ist Uhr „d“ hinterher im Vergleich zu „D“? (2) Warum ist Uhr „b“ weiter als „D“? (3) Warum ist Uhr „a“ weiter als Uhr „g“?

Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung Wenn eine Ente im Wasser mit den Füssen wackelt, produziert sie Wellen. Solange die Ente nicht vom Platz bewegt, breiten die Wellen sich in allen Richtungen gleich aus: Wenn die Ente aber vorwärts bewegt, so sieht sie sich plötzlich nicht mehr genau in der Mitte der Wellen:

Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung Die Ente kann also „messen“ dass sie bewegt, indem sie sieht dass sie nicht mehr in der Mitte der Welle ist. Da aber die Lichtgeschwindigkeit auch für eine sich bewegende Person immer c ist, ist eine sich bewegende Person immer im Zentrum seiner Lichtwellen. Wie kann dies sein?

Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung a≠b a b

Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung a=b b a

Mit fast-Lichtgeschwindigkeit durch Tübingen fahren...

Koordinatentransformationen, Intermezzo: Koordinatentransformationen, Matrizen, Vektoren

Die Lorentz-Transformation

Zwei Inertialsysteme

Das eine Inertial Koordinatensystem (blau)

Das andere Inertial Koordinatensystem (grün)

Beide Systeme (gesehen vom blauen)

Beide Systeme (gesehen vom grünen)

Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren ct x Zeit-Vektoren Licht-Vektoren Raum-Vektoren

Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren ct x Lorentz-Koordinaten-Transformation zum Bezugssystem mit v>0. Wichtig: Zeit-Vektoren bleiben Zeit-Vektoren, Raum-Vektoren bleiben Raum-Vektoren und Licht-Vektoren bleiben Licht-Vektoren.

Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren ct x Lorentz-Vektor-Transformation (Beschleunigung) in positive Richtung.

Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation Eine allgemeine Raumzeit-Transformation kann man folgendermaßen schreiben: Aufgabe: Beweise, dass wenn man fordert, dass Licht-Vektoren Licht-Vektoren bleiben (sie dürfen andere Länge erhalten, müssen aber Licht-Vektoren bleiben), dann folgt C=B und D=A. Man erhält also:

Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation Wir wissen aus den vorherigen Transparenten, dass die Raumzeit-Geschwindigkeits Vektoren von einer sich bewegenden und einer stillstehenden Person folgendermaßen aussehen: Aufgabe: Wenn man Vb aus Vs erhalten möchte indem man eine Lorentz-Transformation anwendet: leite damit her, was A und B sind in Abhängigkeit von (v/c).

Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation Die Lorentz-Transformation hat also die folgende Form: wo der Lorentzfaktor γ und die dimensionslose Geschwindigkeit β folgendermaßen definiert sind: Aufgabe: Wenn man einen Vektor V mit β Lorentztransformiert, und danach mit –β Lorentztransformiert (was ja die Rücktransformation ist), dass man tatsächlich wieder den ursprunglichen Vektor V erhält, wie es sein muss.

Lorentz-Kontraktion im x-ct-Diagramm Zug-Ende Zug-Anfang

Lorentz-Kontraktion im x-ct-Diagramm Zug-Ende Zug-Anfang Zwar wird die x-Komponente des Raumvektors größer, der Zug wird kürzer.

Zukunft und Vergangenheit

Was geschieht zuerst? ct x ct x B D C A Aufgabe: Kann man eindeutig feststellen ob Ereignis A oder ereignis B zuerst passiert? Und was mit Ereignis C oder D?

Raum versus Zeit; Zukunft und Vergangenheit Meine Zukunft Ereignisse die „räumlich getrennt“ von mir sind Ereignisse die „räumlich getrennt“ von mir sind Meine Vergangenheit

Wenn man schneller als Licht reisen könnte... Jetzt machen wir eine Lorentz- Transformation

Wenn man schneller als Licht reisen könnte... Jetzt machen wir eine Lorentz- Transformation

Wenn man schneller als Licht reisen könnte... Und reisen wieder mit über-Licht- Geschwindigkeit (diesmal sogar noch etwas schneller) zurück. Also reisen mit überlicht-Geschwindigkeit führt zu Absurditäten... Jetzt treffen wir uns selbst... Hallo, wie geht es mir?

Lorentz-Transformationen an anderen Stellen zentriert auf dem unteren (roten) Ereignis:

Lorentz-Transformationen an anderen Stellen zentriert auf dem oberen (grünen) Ereignis:

Weltlinie und Eigenzeit ct ct‘=6 ct‘=5 ct‘=4 ct‘=3 ct‘=2 ct‘=1 x

Zwillingsparadoxon ct Aufgabe: Löse dieses Paradoxon. x

Und jetzt... E=mc2

Energie-Impuls-Vektor

Energie-Impuls-Vektor Doppel so große Masse

Energie-Impuls-Vektor Für ganz kleine Geschwindigkeiten (v<<c und γ≈1) müsste etwas rauskommen was wir aus der Newtonschen Dynamik kennen, sonst wäre relativistische Dynamik nicht vereinbar mit dem, was wir aus dem täglichen Leben kennen. Aus der Newtonschen Dynamik kennen wir Impuls und Energie: Die Raumkomponente von P (P1) wird für v<<c tatsächlich der Newtonsche Impuls.

Energie-Impuls-Vektor Die Zeitkomponente von P (P0) ist etwas kniffliger. Zunächst würde man sagen, dass im Limes v<<c: Dies bringt uns aber nicht viel. Lasst uns etwas genauer nach der Lorentzfaktor γ schauen:

Energie-Impuls-Vektor Man kann dies für v<<c annäheren mit: Aufgabe: Probiere es mit dem Taschenrechner aus, zum Beispiel, verifiziere, dass folgendes ungefähr gilt:

Energie-Impuls-Vektor Also kann man P0 folgendermaßen annäheren (für v<<c): Offenbar gilt also: Aufgabe: Argumentiere jetzt warum es nahe liegt, dass Masse offenbar Energie entspricht, und zwar Emasse=mc2.

Energie-Impuls-Vektor

Energie-Impuls-Vektor von Licht Energie des Photons Impuls des Photons

Umwandlung von Ruhemasse in Licht (Zerfall eines Elementarteilchens in zwei Photonen)

Umwandlung von Ruhemasse in Licht (Zerfall eines Energiezustandes eines Teilchen in zwei Photonen)

Beschleunigung einer Rakete... ...und die erste Hinweise wie Gravitation funktionieren könnte!

Wenn sich eine Rakete beschleunigt...

Wenn sich eine Rakete beschleunigt...

Je weiter unten: desto mehr „Schwerkraft“ 1 kg 1 kg

Kommt bekannt vor... 1 kg 1 kg

Je weiter unten: desto langsamer die Uhren

Je weiter unten: desto langsamer die Uhren

Rindler Modell eines „schwarzen Lochs“ Um nicht in das „schwarze Loch“ zu fallen, muss man ständig beschleunigen. Ereignis-Horizont Ereignis-Horizont

Rindler Modell eines „schwarzen Lochs“ Um nicht in das „schwarze Loch“ zu fallen, muss man ständig beschleunigen. Ereignis-Horizont Wenn man nicht beschleunigt, geht man irgendwann durch den Horizont, und kann niemals wieder zurück in den „normalen“ Raum. Achtung: richtige schwarze Löcher sind komplizierter. Aber das Konzept „Ereignis-Horizont“ wird mit dem Rindler-Modell gut beschrieben! Ereignis-Horizont