STATE PREFERENCE MODEL Michaela Marker Danijela Maksimovic Kapitel 6/Beispiel 6.1
Angabe Betrachten Sie eine Volkswirtschaft, deren Vermögen heute 972,03 GE beträgt. Von den Marktteilnehmern wird über-einstimmend angenommen, dass das Vermögen im Zeitpunkt t=1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % (45 % und 35 %) 1600 GE (729 GE und 1225 GE) erreichen wird. Das Gesamtvermögen verteilt sich im Verhältnis 35:10:55 auf drei Investoren. Welchen Preis würden die Investoren im Gleichgewicht für die reinen Wertpapiere zahlen, wenn alle die Nutzenfunktion U = 4 √C0C1s besitzen und ein sicherer Zinssatz von 5,26 % herrscht?
Lösung Für den einzelnen Investor ist der Preis eines reinen Wertpapiers durch πs = qs · · bestimmt. αi ist der Anteil des i-ten Investors am heutigen und zukünftigen Reichtum der Volkswirtschaft, es gilt U' (C i 1s ) E[U'(C 1 )] 3 C i = α ∑ i=1 3 C i = α ∑ C i 1s i 1s i=1
· · durch Einsetzen erhalten wir folgende Gleichung: U ' (α ∑ C ) E [ 3 i=1 C 1s ) E [ U' (α 1 )] · · αi kann gekürzt werden Der Quotient U‘ (·)/E [U’ (·)] ist für diese Nutzenfunktion investorunabhängig
Investorunabhängigkeit die erste Ableitung der Nutzenfunktion nach dem zustandsabhängigen Zukunftskonsum 3 U' α i ∑ C 1s = 2 i=1 ∑ 3 i=1 C i √ 1s · der erwartete Grenznutzen des Zukunftskonsums 3 α i ∑ C 1 = i=1 3 α i ∑ C 1s i=1 ∑ 3 3 3 C i E U' ∑ q U‘ = ∑ q i=1 2 s s √ ∑ 3 C i ∑ 3 C i s=1 s=1 i=1 i=1 1s
Einsetzen der Daten 972,03 √ (972,03 · 1600) = 1,559 972,03 √ (972,03 · 729) = 2,309 972,03 √ (972,03 · 1225) = 1,782 E [U’(·)] = 0,20 · 1,559 + 0,45 · 2,309 + 0,35 · 1,782 = 1,975
Preise der reinen Wertpapiere π1 = 0,20 · 1 · 1,559 = 0,15 1,0526 1,975 π2 = 0,45 · 2,309 = 0,50 π3 = 0,35 · 1,782 = 0,30
Resümee Preis, den ein Investor im Gleichgewicht für ein reines Wertpapier zu zahlen bereit ist, ist immer derselbe gleichgültig, wieviel des volkswirtschaftlichen Gesamtvermögens der Investor besitzt keine Informationen über die Verteilung des Gesamtvermögens auf einzelne Individuen nötig