Geometrisches Optimieren Bodo v. Pape 1

AKMUI „Algorithmen sind clevere Verfahren, Probleme verschiedenster Art effizient lösen.“ Es geht um numerische Algorithmen BMBF 2006 Optimierung als Anpassung

Zwei Leitern lehnen an gegenüberliegende Wände. Gegeben ist die Höhe, in der sie sich kreuzen. Wie groß ist der Abstand der Wände? Ein einfaches geometrisches Problem. „Der Charme dieser Aufgabe liegt in der scheinbaren Einfachheit der Lösung, die schnell in einen algebraischen Dschungel führt.“ Martin Gardner, Mathematischer Zirkus Die analytische Lösung führt auf eine Gleichung 4. Grades. Das Problem der gekreuzten Leitern 3

Sub minimiere1() schritt = 0.1 Min = 100 Do [stelle] = [stelle] + schritt umkehr = [wert] > Min If umkehr Then schritt = -schritt / 2 Min = [wert] Loop Until Abs(schritt) < End Sub Function schnittx(mg, bg, mh, bh) m = mg - mh b = bg - bh schnittx = -b / m End Function Das Problem der gekreuzten Leitern Hier: 1. Schaufigur - parametrisiert 2. Anpassen des Parameters an Vorgabe – „Erwandern“ 4

So geht‘s. Einführung in 5 min 5

Algorithmus „Wanderregel“ Wähle eine beliebige Schrittweite. Dann wiederhole: Gehe einen Schritt voran. Prüfe, ob du deinem Ziel näherkommst. Falls du dich vom Ziel entfernst, dann kehre um mit halbierter Schrittweite. … so lange, bis die Schrittweite klein genug ist. Sub minimiere1() schritt = 0.1 Min = 100 Do [stelle] = [stelle] + schritt umkehr = [wert] > Min If umkehr Then schritt = -schritt / 2 Min = [wert] Loop Until Abs(schritt) < genau End Sub Gesucht ist eine Stelle, für die der Betrag (die Zielabweichung) minimal wird. Grenzwertprozess Aus praktischen Gründen muss ein Abbruch erfolgen. (genau = 1E-8) Der Abbruch erfolgt, sobald die Schrittweite hinreichend klein ist. 6

Minimierung in 1 Variablen Gegeben: Ein Punkt P in einem Winkelfeld Gesucht: Die Gerade g durch P, für die die Länge der von den Schenkeln ausgeschnittenen Teilstrecke minimal wird. Philo‘s Gerade 7

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Gegeben: 3 Punkte in der Ebene. Gesucht: 3 Kreise, die sich in diesen 3 Punkten berühren. Minimierung in 1 Variablen 9

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Schnitte und Abstand von KurvenExtremale Abstände Punkt/Kurve Minimierung in 1 Variablen Funktionsmakro 11

Sub minimiere1a() schritt = 0.1 hmin = 100 Do a = [param1] For na = -1 To 1 [param1] = a + na * schritt Calculate If [fwert] <= hmin Then hmin = [fwert] nam = na End If Next na [param1] = a + nam * schritt sfertig = nam = 0 If sfertig Then schritt = schritt / 2 Loop Until Abs(schritt) < genau End Sub Wähle eine beliebige Schrittweite. Dann wiederhole: Sieh dich um: Vorne, hinten Prüfe, ob du irgendwo deinem Ziel näher bist. Ggfs. gehe auf dies Feld. Sonst halbiere deine Schrittweite. … so lange, bis die Schrittweite klein genug ist. Minimierung in 1 Variablen 12

Sub minimiere2() schritt = 1 hmin = 100 Do a = [param1] b = [param2] For na = -1 To 1 For nb = -1 To 1 [param1] = a + na * schritt [param2] = b + nb * schritt Calculate If [fwert] <= hmin Then hmin = [fwert] nam = na nbm = nb End If Next nb Next na [param1] = a + nam * schritt [param2] = b + nbm * schritt sfertig = (nam = 0 And nbm = 0) If sfertig Then schritt = schritt / 2 Loop Until Abs(schritt) < genau End Sub Wähle eine beliebige Schrittweite. Dann wiederhole: Sieh dich um: Vorne, hinten, links, rechts Prüfe, ob du irgendwo deinem Ziel näher bist. Ggfs. gehe auf dies Feld. Sonst halbiere deine Schrittweite. … so lange, bis die Schrittweite klein genug ist. Minimierung in 2 Variablen 13

Sub minimiere2() schritt = 1 hmin = 100 Do a = [param1] b = [param2] For na = -1 To 1 For nb = -1 To 1 [param1] = a + na * schritt [param2] = b + nb * schritt Calculate If [fwert] <= hmin Then hmin = [fwert] nam = na nbm = nb End If Next nb Next na [param1] = a + nam * schritt [param2] = b + nbm * schritt sfertig = (nam = 0 And nbm = 0) If sfertig Then schritt = schritt / 2 Loop Until Abs(schritt) < genau End Sub Function minimst(a, b, inc, stelle) hmin = 100 Do For na = -1 To 1 For nb = -1 To 1 hstep = minf(a + na * inc, b + nb * inc) If hstep <= hmin Then hmin = hstep nam = na nbm = nb End If Next nb Next na a = a + nam * inc b = b + nbm * inc sfertig = (nam = 0 And nbm = 0) If sfertig Then inc = inc / 2 Loop Until Abs(inc) < genau If stelle = 1 Then minimst = a Else minimst = b End Function Minimierung in 2 Variablen Als Funktion Als Prozedur 14

Minimierung in 2 Variablen Gegeben im Raum: 2 Punkte A und B 2 Geraden f(GH) und i(KL) Gesucht: Kürzester Streckenzug APQB mit P auf f und Q auf i Kürzester Streckenzug 15

Minimierung in 2 Variablen Gegeben: Ein konvexes Polygon mit wegführenden Kanten Test einer Voronoi-Zelle 16 Gesucht: Ein Punkt innerhalb derart, dass für die Spiegelpunkte die Verbindungen senkrecht stehen auf den wegführenden Kanten Szpiro: Die Keplersche Vermutung dt. Ausgabe 2011

Funktionsgraphen: Abstandsminimierung Kurven: Abstand und Schnitte Minimierung in 2 Variablen Funktionsmakro 17

Minimierung in 2 Variablen Schnitte von Spiralen Funktionsmakro 18

Maximierung in 2 Variablen Prozedurmakro 19

Gegeben ist ein spitzwinkliges Dreieck. Gesucht ist unter den Dreiecken, deren Ecken auf den Seiten dieses Dreiecks liegen, dasjenige mit minimalem Umfang. Problem von Fagnano Minimierung in 3 Variablen Tetraeder: In- und Umkugel 20

Minimierung in 3 Variablen Tetraeder: In- und Umkugel Analytisch: MP als Schnittpunkt von 3 Flächenwinkelhalbierenden „… führt im allgemeinen Fall auf umfängliche Ausdrücke, die mit Computeralgebra beherrscht werden können.“ (H. Schumann) Konstruktion: MP als Schnitt der mittelsenkrechten Ebenen von 3 Kanten (H. Schumann) 21

Gleichung von Kroll Minimierung in 3 Variablen Dreieck aus Höhenabschnitten 22

Minimierung in 3 Variablen Dreieck aus Höhenabschnitten 23

Steiner-Netze Minimierung in 4 Variablen 24

Minimierung in 5 Variablen Katenoid als Minimalfläche 25 Makro

Groningen: Zernikelaan 26

Minimierung in 5 Variablen Das Brachistochrone-Problem Makro 27

Das Brachistochrone-Problem Der Solver Minimierung in 18 Variablen

KegelumrundungKürzester Weg Minimierung in 20/50 Variablen 29

Numerische Algorithmen Computer „Allesamt liefern sie nur Näherungswerte“ „ Es geht um den ökonomischen Erwerb von praktisch zufriedenstellenden Resultaten“ Schupp „die indessen … beliebig genau sein können.“ 30

Numerische Algorithmen Geometrisches Optimieren Durch nichts lässt sich mathematische Unbildung sicherer unter Beweis stellen als durch übermäßige Genauigkeit beim Zahlrechnen im Rahmen von Optimierungsproblemen. 31 Satz: Die Bedeutung der Genauigkeit ist bei Extremstellen exakt gleich null. lokale Änderungsrate

There are then two mathematics. There is the real mathematics of the real mathematicians, and there is what I call the ‘trivial’ mathematics. … We have concluded that the trivial mathematics is, on the whole, useful, and that the real mathematics, on the whole, is not; that the trivial mathematics does, and the real mathematics does not, ‘do good’ in a certain sense. 32 Hardy A mathematicians Apology

„Mit vorhandenen Mitteln ein Maximum an Wirkung zu erzielen oder aber ein bestimmtes Ziel mit einem Minimum an Aufwand zu erreichen ist ein durchgreifendes Lebensprinzip.“ Hans Schupp: Optimieren 33

Bonusmaterial 34

Flächenmaximierung von Polygonen Maximierung in 3, 4, 5 Variablen 35

So geht‘s. Einführung in 5 min Der Rest ist Kosmetik. 36 BrachistochroneUmkugel Leiterproblem excelecke.wordpress.com

Näherung Makel: „Das ist nicht exakt.“ „3,143 ist eine gute Näherung für .“ „Die Keplersche Faßregel liefert eine guten Näherungswert für das Faßvolumen.“ „Ramanujans Näherungsformel gibt einen gute Approximation für den Umfang einer Ellipse.“ „Polynomapproximation/Regression liefert eine gute Annäherung.“ „Der Differentialquotient (f(x+h)-f(h))/h liefert für h = 1E-8 eine gute Annäherung an die Ableitung.“ „Äquidistante Unterteilung des Basisintervalls mit n = führt zu einer gutem Näherungswert für den Flächeninhalt.“ „Der Flächeninhalt eines regelmäßigen n-ecks gibt für n = 100 eine gute Näherung für .“ „Das Heronverfahren liefert einen Näherungswert für die Quadratwurzel.“ „Das Verfahren nach Archimedes liefert einen Näherungswert für .“ Einzelwerte, auch parametrisch Einzelwerte, jeder Genauigkeit anzupassen Bildungsgesetz einer Folge von Einzelwerten 37

Toolbox Geometrie 1 38

Toolbox Geometrie 2 39

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Der Reiz liegt nicht in der Anwendung der erstellten Module, sondern die Herstellung der „Werkzeuge“, die universell einsetzbar sein sollen, bereitet die eigentliche Herausforderung und Befriedigung. Strässer

Poincaré 1913 „Wissenschaft und Methode“ „Wir dürfen nie unser Ziel aus dem Auge lassen; nach meiner Meinung ist dieses Ziel ein zweifaches: Unsere Wissenschaft grenzt sowohl an die Philosophie als auch an die Physik, und für beide Nachbarn müssen wir arbeiten. In der Tat konnten wir immer beobachten, wie die Mathematiker stets in beiden entgegengesetzten Richtungen fortschritten, und dasselbe werden wir auch in Zukunft beobachten. Eines Teils muss die mathematische Wissenschaft über sich selbst nachdenken, … Das Gros unserer Armee müssen wir indessen nach der anderen Seite marschieren lassen, d.h. nach der Seite der Anwendungen in der Natur. Da werden wir den Physiker und den Ingenieur antreffen, die uns fragen: "Könnt ihr mir diese Differenzialgleichungen integrieren? Ich brauche sie in etwa acht Tagen für die und die Konstruktion, die an dem und dem Tage fertig sein muss.“ – „Diese Gleichung“, werden wir antworten, „gehört nicht zu einem der integrablen Typen. Ihr wisst doch, dass es deren nicht viele gibt." – „Das weiß ich wohl, aber wozu seid ihr denn überhaupt da?“ – – Meistens wird man sich darüber verständigen; der Ingenieur braucht das Integral nicht in geschlossenen Form; er braucht nur das allgemeine Verhalten der Integralfunktion zu kennen, oder braucht vielleicht nur eine bestimmte Zahl zu wissen, die sich aus diesem Integral leicht ableiten ließe, wenn man es kennen würde. Gewöhnlich kennt man es aber nicht; man würde indessen die verlangte Zahl auch so berechnen können, wenn man nur genau wüsste, welche Zahl der Ingenieur wissen will und mit welcher Genauigkeit sie berechnet werden soll. Früher betrachtete man eine Gleichung nur dann als gelöst, wenn man ihre Lösung durch eine endliche Zahl von bekannten Funktionen ausgedrückt hatte; aber das ist kaum einmal in 100 Fällen möglich. 42 Hardy 1913 If this be the best, then Abel, Riemann, and Poincaré wasted their lives; their contribution to human comfort was negligible, and the world would have been as happy a place without them.