XI Transfinit ¥

Platon ( ) Es gibt viele schöne Dinge; sie sind vergänglich. Die Idee des Schönen ist unvergänglich. Platonisten: Mathematische Größen und Gesetze existieren; sie werden nicht erfunden, sondern gefunden. Die Zahlen sind eine freie Schöpfung des Menschen.... erschaffen wir eine neue, eine irrationale Zahl. Richard Dedekind ( )

Aristoteles ( ) lehnt das aktual Unendliche für Philosophie und Mathematik ab, schreibt es allein den Göttern zu. Robert Grosseteste ( ) Prof. in Oxford, Lehrer von Roger Bacon: Das aktual Unendliche ist eine definite Zahl. Es gibt mehr Momente in einem großen Zeitintervall als in einem kleinen, mehr Punkte in einer großen Strecke als in einer kleinen. "The number of points in a segment one ell long is its true measure." John Baconthorpe (? ) Es gibt das aktual Unendliche in Zahl, Zeit, Menge.

Summa theologica I, qu. 7, art Jede Menge muß einer ganz bestimmten Art von Menge angehören. Die Art der Menge aber richtet sich nach der Art der Zahl. Nun ist aber keine Art von Zahlen unendlich. Denn jede Zahl ist eine durch die Einheit genau bestimmbare Menge. Also kann es unmöglich, sei es aus sich heraus, sei es aus Zufall, eine fertige unendliche Menge geben. 2. Das ergibt sich auch noch aus einem anderen Grunde. Jede wirkliche, in der Natur draußen bestehende Menge von Dingen ist geschaffen. Mit dem Geschaffenen aber verfolgt der Schöpfer eine ganz bestimmte Absicht. Denn kein Wirkender wirkt ziellos. Also bestehen alle geschaffenen Dinge in einer ganz bestimmten Zahl. Daher ist auch eine auf Zufall gegründete fertige unendliche Menge von Dingen unmöglich. Thomas von Aquin ( ) Heiliger, Kirchenlehrer, Doctor angelicus De aeternitate mundi (Argument gegen einen zeitlichen Weltanfang) Ferner ist bisher nicht schlüssig dargestellt, warum Gott nicht etwas schaffen kann wie tatsächliche Unbegrenztheiten (infinita actu)

Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Drei Grade der Unendlichkeit: 1) Gößer als jede nennbare Größe (dazu gehört das mathematische  ) Dafür drei Erklärungsniveaus: pour tout le monde: Ätherpartikel, Sandkorn, Erdkugel, Firmament für den Mathematiker: Jede Zahl ist endlich und bestimmbar. Die Infiniten und Infinitesimalen sind Fiktion... sie ermöglichen eine vorteilhafte Sprechweise. Es handelt sich aber nicht um willkürliche, sondern um wohlbegründete Fiktionen. Im praktischen Gebrauch kann man sie so verwenden, als ob sie wirklich existierten. für den Philosophen: Fiktionen mit einem fundamentum in re, wie auch  -1. 2) Was in seiner Gattung das Größte ist: vom Ausgedehnten das Größte ist der ganze Raum, vom Aufeinanderfolgenden das Größte ist die Ewigkeit. 3) Gott

Leibniz "Je suis tellement pour l'infini actuel, qu'au lieu admettre que la nature l'abhorre, comme l'on dit vulgairement, je tiens qu'elle l'affecte partout, pour mieux marquer les perfections de son Auteur. Ainsi je crois qu'il n'y a aucune partie de la matière qui ne soit, je ne dis pas divisible, mais actuellement divisée, et par conséquent la moindre particelle doit être considerée comme un monde plein d'une infinité de créatures différentes." "Ich bin so für das actual Unendliche. Ich glaube, daß die Natur, anstatt es zu verabscheuen, wie man gewöhnlich sagt, es überall häufig gebraucht, um besser die Vollkommenheit ihres Autors zu zeigen. Daher glaube ich, daß es kein Stück Materie gibt, das nicht - ich sage nicht teilbar – sondern tatsächlich geteilt ist; und folglich ist auch das letzte Partikel anzusehen als eine Welt erfüllt mit einer Unendlichkeit verschiedener Geschöpfe." Leibniz, in einem Brief an Dangicourt, 1716: er glaube nicht, daß es die "grandeurs veritablement infinitesimales" gebe, sie seien nur "fictions utiles"; er sei allerdings von seinen Anhängern gebeten worden, diese seine Meinung nicht publik zu machen, um ihre Sache (d.h. aktual-unendlich-kleine Größen) nicht zu verraten.

Bernard de Fontenelle ( ) Schriftsteller, Philosoph, Mitglied der Académie française, Sekretär der Académie des sciences Führte aktual unendliche Zahlen ein: Eléments de la Géometrie de l'infini, Paris (1727) Pater Emanuel Maignan ( ) Minorit, Prof an der Universität Toulouse. Es kann ein kategorematisches (aktuales) Unendlich existieren, wenn auch eingeschlossen durch innere Schranken, sogar in der Art, daß es unendlich ist.

Dementsprechend unterscheide ich ein "Infinitum aeternum increatum sive Absolutum", das sich auf Gott und seine Attribute bezieht, und ein "Infinitum creatum sive Transfinitum", das überall dort ausgesagt wird, wo in der Natura creata ein Aktual-Unendliches konstatiert werden muß, wie beispielsweise in Beziehung auf die, meiner festen Überzeugung nach, aktual-unendliche Zahl der geschaffenen Einzelwesen sowohl im Weltall wie auch schon auf unserer Erde und, aller Wahrscheinlichkeit nach, selbst in jedem noch so kleinen, ausgedehnten Teil des Raumes, worin ich mit Leibniz ganz übereinstimme. Georg Cantor ( ) 1879 Professor für Mathematik in Halle gilt als Begründer der Mengenlehre und mit Möbius und Poincaré als Begründer der Topologie.

Der Einstellbereich Ihres Teleskops reicht von 5 m bis unendlich und darüber hinaus. Lebenslänglich - mit anschließender Sicherungsverwahrung Dominus regnabit in aeternum et u ltra. [2. Buch Moses: Exodus 15 Vers 18] Das Vollendetunendliche kann in verschiedenen von einander mit der äußersten Schärfe durch den sogenannten "endlichen menschlichen Verstand" unterscheidbaren Modificationen auftreten. [G. Cantor an Lipschitz, ] Georg Cantor ( )

Galileo Galilei ( ) Das Unendliche sollte eine andere Arithmetik befolgen als gewöhnliche Zahlen. Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Die Regeln des Endlichen behalten im Unendlichen Geltung, und umgekehrt gelten die Regeln des Unendlichen für das Endliche. Gebrauch des unendlich Kleinen (Infinitesimalrechnung) und auch des unendlich Großen (Summe der harmonischen Reihe)

Arithmetik des Unendlichenunbestimmte Ausdrücke

Salviati: Anzahl der Quadrate = Anzahl der Zahlen Jede natürliche Zahl ist die Wurzel einer Quadratzahl.

Bernard Bolzano ( ) Tschechischer Theologe, Philosoph und Mathematiker Schöpfer des Begriffs: Menge Unterschiedliche Unendlichkeiten: Gott (unendlich große Kraft, Güte, Weisheit) Zahlen, Körper, Fläche, Linie, Raum, Zeitspanne, Stellen von Ö 2. Die Paradoxien des Unendlichen (1851)

Eine bijektive Abbildung y = 2x impliziert nicht dieselben Anzahlen von Punkten in den Geraden. Bernard Bolzano ( ) Tschechischer Theologe, Philosoph und Mathematiker Schöpfer des Begriffs: Menge Die Paradoxien des Unendlichen (1851)

Das Ganze ist stets größer als sein echter Teil. Es gibt verschiedene Grade des Unendlichen. Unvergleichlich ist die Weite der Menge aller Kugeln oder aller Tetraeder. Vergleichbar sind die Weiten der Menge aller Kreislinien und Kreisdurchmesser: zu jedem Kreis gibt es unendlich viele Durchmesser. Manche Weiten bilden sogar Zahlenverhältnisse miteinander: Die Weiten der Menge aller Kreislinien und aller Kreisflächen sind gleich. Mittelpunkte und Brennpunkte aller Ellipsen verhalten sich wie 1:2. Es gibt mehr natürliche Zahlen als Quadrate, mehr Quadrate als Kuben. Eine Vielheit von der Art X heißt unendlich, wenn jede endliche Vielheit dieser Art X nur als Teil von ihr erscheint. Ein Intervall ist in Hinsicht auf die enthaltenen Punkte unendlich, in Hinsicht auf die Länge nicht.

A = { x I x 2 - 3x + 2 = 0 } B = { x I x   und 0 < x < 3 } C = { x I a, b, c, x   und a x + b x = c x } D = { 1, 2 } Im Unterschied zu einer Folge darf in einer Menge jedes Element nur einmal vorkommen.

Die unendliche Menge der endlichen Zahlen ô besitzt die kleinste transfinite Kardinalzahl À 0. À 0 ist größer als jede natürliche Zahl. M ist abzählbar unendlich: Bijektion mit ô möglich. Mächtigkeit jeder abzählbar-unendlichen Menge: À 0. Eine Menge ist unendlich, wenn sie in Bijektion mit einer ihrer Teilmengen gesetzt werden kann. Es gibt aktuale Unendlichkeiten: unendliche Zahlen von unterschiedlicher Größe. Georg Cantor ( ) Richard Dedekind ( )

Ð ist abzählbar unendlich, besitzt die Kardinalzahl À 0. abzählbar := als Folge darstellbar

Index = Ia 0 I + Ia 1 I + Ia 2 I Ia n I + n Beweis für die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen nach Dedekind (1873) p(x) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a n x n = 0

geht zurück auf Paul Du Bois-Reymond ( ) nr(n) ___________________ 10, , , , ,

nr(n) ___________________ 10, , , , ,

À 0 < 2 À 0 = C Ñ ist nicht abzählbar.  I  I >  0 nr(n) ___________________ 10, , , , ,

Potenzmenge  (M) M = {a,b}  ({a,b}) = {{ },{a},{b},{a,b}} Kardinalzahl der Menge M = IMI Kardinalzahl der Potenzmenge = 2 IMI  ({a,b,c}) = {{ },{a},{b},{a,b},{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}} I  ({ })I = 2 0 = 1 I  ({a})I = 2 1 = 2 M = {a,b,c} besitzt die Kardinalzahl I{a,b,c}I = 3 I  (M)I = 2 3 = 8 I  (  (M))I = 2 8 = 256 I  (  (  (M)))I =  I  (  )I = 2  0 >  0 I  (  )I = I  I Es gibt ein aktuales Unendlich  0, denn dies kann übertroffen werden durch 2  0.

Bijektion ô  P ( ô ) () ist unmöglich: Versuch einer bijektiven Abbildung: ô  P ( ô ) ( 1  {1} 2  {2,4,6,...} 3  {1,2} 4  {3} 5  {1,3,5,...}... M = {3,4,...} = Menge der Nichtgeneratoren in ihren Bildmengen nicht enthaltene Zahlen Welche Zahl wird auf M abgebildet? 4711   {3,4,...,4711,...}

Unendliche Folge von aktualen Unendlichkeiten Transfinite Kardinalzahlen:  0 < 2  0 < 2 2  0 <...

David Hilbert ( ) 1892 Professor in Königsberg in Göttingen bedeutender deutscher Mathematiker schuf erstmals ein vollständiges Axiomensystem für die euklidische Geometrie Nach ihm ist der Hilbert-Raum benannt, der in der Quantenmechanik von Bedeutung ist. Hilberts Hotel 1 Gast unendlich viele Reinigung

Cantor: Ich sehe es, doch kann ich es nicht glauben: Die Kardinalzahl der Punkte des Quadrates [0,1] 2 ist genau so groß wie die Kardinalzahl des Intervalls [0,1]. Vereinigung der Dezimalstellen der Koordinaten: 0,x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 x 5 y (x I y) = (0,111 I 0,222)  0,121212

Albert von Sachsen ( ) Questiones subtilissime in libros de celo et mundi Ein unendlich langer Holzbalken hat dasselbe Volumen wie der gesamte dreidimensionale Raum.

Die Menge aller Mengen kann nicht existieren, denn sie müsste ihre Potenzmenge enthalten.

Earl Bertrand Russell (l ) Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten: M = {X I X Ï X } Dozent am Trinity College in Cambridge Sozialist und Pazifist deswegen häufig in politischen Konflikten mit der Regierung bedeutender mathematischer Logiker Principia Mathematica, das Standardwerk der math. Logik (19 03)

Earl Bertrand Russell (l ) Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten: M = {X I X Ï X } (19 03) Gottlob Frege ( ) Logiker Gottlob Frege ( ) Logiker glaubte an das aktual Unendliche Versuch eines Axiomensystems für die Cantorsche Mengenlehre

Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst. ô ist keine natürliche Zahl. Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst. Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto. Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher. Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich. Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.

prädikabelimprädikabel häufigölig Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst. ô ist keine natürliche Zahl. Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst. Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto. Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher. Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich. Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.

prädikabelimprädikabel häufigölig abstraktbeliebt Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst. ô ist keine natürliche Zahl. Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst. Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto. Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher. Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich. Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.

prädikabelimprädikabel häufigölig abstraktbeliebt altneu Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst. ô ist keine natürliche Zahl. Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst. Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto. Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher. Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich. Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.

prädikabelimprädikabel häufigölig abstraktbeliebt altneu verständlichunverständlich Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst. ô ist keine natürliche Zahl. Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst. Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto. Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher. Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich. Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.

prädikabelimprädikabel häufigölig abstraktbeliebt altneu verständlichunverständlich kurzsuperkurz Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst. ô ist keine natürliche Zahl. Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst. Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto. Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher. Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich. Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.

prädikabelimprädikabel häufigölig abstraktbeliebt altneu verständlichunverständlich kurzsuperkurz superbandwurmlänglichlang Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst. ô ist keine natürliche Zahl. Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst. Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto. Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher. Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich. Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.

prädikabelimprädikabel häufigölig abstraktbeliebt altneu verständlichunverständlich kurzsuperkurz superbandwurmlänglichlang unsymmetrischsymmetrisch (OTTO, ANNA)) Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst. ô ist keine natürliche Zahl. Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst. Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto. Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher. Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich. Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.

prädikabelimprädikabel häufigölig abstraktbeliebt altneu verständlichunverständlich kurzsuperkurz superbandwurmlänglichlang unsymmetrischsymmetrisch (OTTO, ANNA)) wohlklingendduftend schwarzrot Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst. ô ist keine natürliche Zahl. Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst. Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto. Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher. Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich. Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.

imprädikabel imprädikabel prädikabelimprädikabel häufigölig abstraktbeliebt altneu verständlichunverständlich kurzsuperkurz superbandwurmlänglichlang unsymmetrischsymmetrisch (OTTO, ANNA)) wohlklingendduftend schwarzrot Gewöhnliche Mengen enthalten sich nicht selbst. ô ist keine natürliche Zahl. Außergewöhnliche Mengen enthalten sich selbst. Die Menge aller Objekte außer roten Autos ist kein rotes Auto. Die Menge aller abstrakten Begriffe ist selbst ein solcher. Die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist unmöglich. Wäre sie gewöhnlich, so enthielte sie sich selbst (weil sie die Menge aller gewöhnlichen Mengen ist), aber dann wäre sie außergewöhnlich.

Protagoras: Jurastudent. Sokrates: Ich weiß, dass ich nichts weiß. Epimenides: Alle Kreter lügen. Keine Regel ohne Ausnahme. Dieser Satz ist nicht beweisbar. Der nächste Satz ist falsch. Der vorhergehende Satz ist richtig. Philosophie ist der Mißbrauch von eigens dazu erfundenen Begriffen. Der Mond besteht aus weißem Käse. Beide Sätze in diesem Kasten sind falsch. w f w w f f

Jules Richard ( ) Die Menge aller Zahlen, die mit einer endlichen Anzahl von Zeichen definiert werden können, enthält die kleinste Zahl, die nicht mit einer endlichen Anzahl von Zeichen definiert werden kann. = 90 Zeichen Paradoxon nach Richard, Berry, König Julius König ( )

Ist die nächst größere Unendlichkeit  1 = 2  0 ? Oder gibt es ein Aleph zwischen  0 und  1 = C = 2  0 ? Kontinuumhypothese Analogie: Ausgehend von Potenzmengen der Menge M = {a,b,c} kann niemals die Kardinalzahl 100 erreicht werden I  (M)I = 2 3 = 8 I  (  (M))I = 2 8 = 256 I  (  (  (M)))I =  10 77

Kurt Gödel ( ) 1. Es gibt unentscheidbare Aussagen. 2. Die Widerspruchsfreiheit einer mathematischen Theorie kann niemals aus ihr bewiesen werden. bewies 1937: Die Kontinuumhypothese widerspricht nicht den ZF Axiomen. Paul J. Cohen ( ) bewies 1963: Die Kontinuumhypothese ist unentscheidbar, denn ihr Gegenteil widerspricht den ZF Axiomen auch nicht. Gödel und Cohen bezweifeln die Kontinuumhypothese. Sie halten die Kardinalzahl des Kontinuums für wesentlich größer. Ist die nächst größere Unendlichkeit  1 = 2  0 ? Oder gibt es ein Aleph zwischen  0 und  1 = C = 2  0 ? Kontinuumhypothese

Ernst Zermelo ( ) In der Geschichte der Wissenschaften ist es gewiss ein seltener Fall, wenn eine ganze wissenschaftliche Disziplin von grundlegender Bedeutung der schöpferi- schen Tat eines einzelnen zu verdanken ist. Dieser Fall ist verwirklicht in der Schöpfung Georg Cantors. Adolf A. Fraenkel ( ) schuf mit Zermelo das Axiomensystem der ML. Wenn der Angriff auf das Unendliche endgültig glückt, so bleibt, abgesehen von engumgrenzten unangreifbaren Gebieten (namentlich der Arithmetik im engeren Sinn), von der gegenwärtigen Mathematik nur ein ungeheurer Trümmerhaufen übrig, aus dem wohl erst durch die Arbeit von Generationen neue einigermaßen wohnliche (und den alten jedenfalls an Bequemlichkeit nicht gleichkommende) Behausungen aufgebaut werden können. erdachte das Auswahlaxiom 1904.