Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems A. Pessoa, M. Poggi de Aragao und E. Uchoa Christian Gruber - Johannes Reiter.

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1 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems A. Pessoa, M. Poggi de Aragao und E. Uchoa Christian Gruber - Johannes Reiter

2 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 2 AGENDA Einleitung Problem Definitionen & Formulierungen Robust Branch-Cut-and-Price Algorithums Ergebnisse Fazit

3 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 3 Einleitung Branch and Cut um 1980 entwickelt Branch and Price erst 1993 entwickelt Kombination erst nach Jahrtausendwende erfolgreich Was ist nun Branch-cut-and-price? Folgende Ideen basieren auf ACVRP Asymmetric Capacitated Vehicle Routing Problem

4 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 4 AGENDA Einleitung Problem Definitionen & Formulierungen Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm Ergebnisse Fazit

5 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 5 Definitionen Gerichteter Graph G = (V,A) V = {0,1,…,n}m = |A|0 … Depot Jeder Client Bedarf d(i) - Bedarf d(0) = 0 C … max. Kapazität einer Tour Jede Route startet und endet beim Depot Jeder Client wir nur in einer Tour besucht Ziel ist Minimierung der Kosten aller Routen

6 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 6 Definitionen (2) Menge aller Clients V + = {1,…,n} Bedarf der Teilmenge S Mind. Anzahl an Touren Kanten in S Eing. Kanten Ausg. Kanten

7 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 7 LP – Formulierung: Arc Formulation

8 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 8 LP – Formulierung: Introducing Capacity-Indexed Variables

9 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 9 Extended Capacity Cuts Für alle gilt: Wenn bekommt man die capacity-balance equation over S: Definition: An Extended Capacity Cut (ECC) over S is any inequality valid for P(S), the polyhedron given by the convex hull of the 0-1 solutions of the capacity-balance equation over S.

10 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 10 Genau 3 Knoten von Definiert über Variablen x a d, mit Erstellen kompatiblen Graphen G = (V,E), wo falls Fall 1: if, then Fall 2: if, then Fall 3: if, and then Fall 4: if, and then Triangle Clique Cuts

11 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 11 Triangle Clique Cuts (2) Für jede unabhängige Menge I V gilt:

12 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 12 AGENDA Einleitung Problem Definitionen & Formulierungen Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm Ergebnisse Fazit

13 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 13 R ist eine C x n Matrix jeder Eintrag repräsentiert den günstigsten Weg beginnend beim Knoten v und endet beim Depot mit dem Verbrauch d jeder Eintrag ist gekennzeichnet durch einen Knoten (v), die Kosten des Wegs ( ) und einem Zeiger auf einen Eintrag, der den nächsten Knoten des Wegs repräsentiert Column Generation Erzeugung der Matrix:

14 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 14 Eine unabhängige Menge I V in G welche maximiert Fakt 1: Der Graph G ist eine Menge von Verkettungen für jede ACVRP Instanz. Fakt 2: Eine Menge I ist die schwerste, unabhängige Menge für eine Menge von Verkettungen falls es die einzige, schwerste, unabhängige Menge für jede einzelne Verkettung ist. Separation Routines

15 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 15 Branching with Route Enumeration Traditionelles branching: Man wählt ein Paar {i,j}, sodass der Wert am nähersten zu 0.65 ist Beim linken Ast: Beim rechten Ast:

16 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 16 Branching with Route Enumeration (2) Kombination um Performance zu erhöhen Wenn Differenz der besten, bekannten, zulässigen Lösung und der aktuellen LP Relaxierung klein ist => Enumeration aller relevanten, elementaren q-Routen – Deren reduzierten Kosten nicht größer sind – Keine Route mit den gleichen Clients, aber geringeren Kosten existiert Hybride Strategie soll robusten Ansatz bieten

17 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 17 AGENDA Einleitung Problem Definitionen & Formulierungen Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm Ergebnisse Fazit

18 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 18 Ergebnisse bei ACVRP InstancekCFuk. LB Fuk. Time New LB New Time Prev. UB New UB a036-18f18150 4046.00 0.8 4046.00 0.24046 a056-17f17150 4974.21 2.9 4976.69 25.24998 a036-10f10250 3306.09 1.9 3313.51 29.23338 a056-10f10250 3258.57 5.8 3262.08 89.33263 a036-05f5500 2084.27 4.9 2088.17 67.62110 a056-05f5500 2144.09 30.9 2152.87 695.92165 a036-03f31000 1635.27 22.9 1638.46 1009.41644 a056-03f31000 1725.28 256.5 1727.60 5441.11739-

19 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 19 Ergebnisse bei ACVRP (2) Neuer Ansatz effektiv bei kleinen Instanzen und wenigen Fahrzeugen Probleme mit großen Instanzen (teilweise nicht beendet)

20 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 20 AGENDA Einleitung Problem Definitionen & Formulierungen Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm Ergebnisse Fazit

21 Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems 21 FAZIT RBCP-Ansatz für das ACVRP effizient bei verschiedenen Problemstellungen Tiefe des Branching-Tree kann durch die Hyprid- Strategie verringert werden.