Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 04/05 2.2.

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1 Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 04/05 2.2.

2 Andere Krypto-Probleme Bit-Commitment [BC]: Alice möchte ein Bit verschliessen, an Bob geben, so dass Bob keine Information über das Bit erhält Alice trotzdem festgelegt ist Packe Zettel mit Bit in einem Safe, behalte Schlüssel Coin-Flipping [CF]: Alice und Bob möchten über einen Kommunikationskanal ein faires Zufallsbit ziehen 1,2-Oblivious-Transfer [OT]: Alice hat 2 Bits, Bob soll genau ein Bit lernen, Alice nicht, welches

3 Anwendungen BC: Z.B. Auktionen OT: Private Berechnung von Funktionen CF: On-line Spiele

4 BC und CF Wenn BC möglich, dann auch CF: Alice wirft eine Münze, Wert x, Commitment an Bob Bob wirft eine Münze, Wert y, sendet zu Alice Alice öffnet Commitment Zufallsbit x©y

5 Klassische Unmöglichkeit OT: Bob kann immer Information über beide Eingaben erhalten BC: Wenn Alice Bob Nachricht ohne Information sendet, kann Alice immer ihr Bit wechseln CF: Entweder: Für alle Nachrichten von Alice gibt es jeweils eine Nachricht von Bob,...., so dass Bob gewinnt, dann kann Bob perfekt betrügen Oder: umgekehrt, Alice kann perfekt betrügen

6 BB84 Bit Commitment Commit: Alice wählt Basis |0i, |1i ODER (|0i+|1i)/2 1/2, (|0i-|1i)/2 1/2 Alice sendet 100 zufällige Elemente der Basis, entspr. Bits x 1,...,x 100 Bob misst die erhaltenen Zustände, jeweils zufällig in einer der Basen Reveal: Alice sagt Basis, sendet x 1,...,x 100 Bob testet, ob seine Messergebnisse korrekt auf den Qubits, wo er in der richtigen Basis gemessen hat, und Messergebnisse sonst unkorelliert

7 Ist das Protokoll korrekt? Bekommt Bob Information? Kann Alice mogeln? Bob erhält 100 Qubits, jedes ist zufällig aus |0i, |1i ODER selbe Situation mit (|0i+|1i)/2 1/2, (|0i-|1i)/2 1/2 Behauptung: Beide Fälle ununterscheidbar!

8 Dichtematrizen Sei ein Zustand | i= i=1...n i |ii gegeben purer Zustand h | transponierter und komplex konjugierter Vektor Dichtematrix: | i h | Matrix hat Rang 1 Eigenwert 1 mit Eigenvektor | i Spur 1 Hermitesch und positiv semidefinit

9 Gemischte Zustände Ensemble: Menge von Zuständen mit Wahrscheinlichkeiten, {| i i,p i }; p i =1 Dichtematrix dazu: p i | i i h i | Klar: Matrix ist Hermitesch Spur ist 1 (ist linear) Ist positiv semidefinit

10 Dichtematrizen Dichtematrix: Matrix ist Hermitesch Spur ist 1 (ist linear) Ist positiv semidefinit Definiere Quantenzustände als Dichtematrizen Anwendung einer unitären Operation: U U* Messung: per Linearität definiert

11 Dichtematrizen Für jedes : es gibt eine Basis, in der diagonal ist, EW auf Diagonale, EW reell, zwischen 0 und 1 In dieser Basis ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung Wenn purer Zustand ist, dann ist Diagonale (00010000)

12 Dichtematrizen und Ensembles Zu jedem Ensemble gibt es genau eine Dichtematrix Umgekehrt? Bob erhält 100 Qubits, jedes ist zufällig aus |0i, |1i ODER selbe Situation mit (|0i+|1i)/2 1/2, (|0i-|1i)/2 1/2 Behauptung: Beide Fälle ununterscheidbar! Dichtematrizen:

13 Ist BB84 BC sicher? Bob erhält keine Information in der Commit Phase Aber kann Alice mogeln? Alice präpariert 100 EPR-Paare, schickt je eines der Qubits zu Bob Für Bob kein Unterschied erkennbar Bob misst EPR-Paare (in zuf. Basis) Alice behauptet gewünschte Basis, misst ihre Qubits in dieser Basis, und nennt Bob Messergebnisse Behauptung: Übereinstimmung auf gewählter Basis, keine Korrelation auf anderer:

14 Gibt es andere Protokolle? Theorem: [Mayers 96] Bit-Commitment ist nicht möglich (basiert allein auf Quantenmechanik) Idee: Annahme Alice und Bob enden nach Commit mit Zustand | AB i, der teilweise bei Alice liegt, teilweise bei Bob. Bobs Teil hat keine Information über das versteckte Bit: Alice kann immer mogeln.

15 Beschreibung von Teilsytemen Sei also | AB i gegeben Im normalen Formalismus Teilsysteme nicht beschreibbar, z.B. EPR-Paare Dichtematrix AB auf Zuständen im Hilbertraum H­ G ist Matrix mit |H| |G| Zeilen und Spalten Operation partielle Spur: trace B (|ai hb|­|cihd| = |ai hb| ¢ trace |ci hd|

16 Beschreibung von Teilsytemen Eigenschaften: A ist Dichtematrix A ­ B AB im allgemeinen A ist der Zustand des A-Teilsystems trace B ( A ­ B )= A Beispiel: EPR-Paar

17 Purifikation Sei eine Dichtematrix eines gemischten Zustands im Raum H Dann gibt es einen Zustand | AB i in H­H mit trace B | AB i h AB |= Warum? Bringe in Diagonalform, mit Diagonale p 1,...,p m und EV |v 1 i,..,|v i i Setze | i= p i ) 1/2 |v i i |ii

18 Purifikation Weiterhin: Alle Purifikationen sind unitär äquivalent, d.h. es gibt unitäre Transformationen, die zwei gegebene Purifikationen ineinander überführen Jeder Zustand kann als i i |e i i|d i i geschrieben werden [Schmidt Dekomposition], wegen Singularwertdekomposition Dabei sind i immer gleich Purifikationen sind i i |e i i|d i i i i |e i i|f i i Verwende unitäre Transformation, die e-Basis zu f- Basis wechselt

19 Unmöglichkeit von BC Am Ende der Commit Phase sind (im ehrlichen Protokoll) Zustände AB oder AB gegeben mit B = B O.b.d.A. sind AB und AB pur, da Messungen simulierbar durch Hinzunehmen von Qubits und unitären Transformationen Dann sind es Purifikationen, und Alice kann später ihr Bit wechseln Entspricht verallgemeinertem EPR Angriff: gemessene Zustände durch Purifikation ersetzen Quantitatives Argument möglich: Bob hat Information, dann kann Alice mit Ws 1- 1/2 mogeln

20 Coin Flipping Geht Coin Flipping? Nicht, wenn unehrlicher Spieler keinen Vorteil erhalten kann Möglich mit bias 1/4: Beide ehrlich) Fairer Münzwurf Beide unehrlich: Verhalten egal Einer unehrlich: Erhält gewünschtes Ergebnis mit Ws. 3/4

21 Protokoll [Ambainis 2001] Alice macht schwaches Commitment: Verwende Qutrits: Alice zieht a und sendet zweites Qutrit von (|aai+|22i)/2 1/2 Bob sendet Zufallsbit b zu Alice Alice sendet zweites Qutrit und a Bob testet ob Qutrits im korrekten Zustand Wenn ja, Ausgabe a©b Niemand mogelt: 1 resp. 0 mit Ws. 1/2

22 Bob mogelt: Bob kann Qutrit messen, kann mit Ws. 1/2 Wert a erfahren und b anpassen, Erfolg 3/4 Bob muss a raten um das Ergebnis festzulegen, wenn Alice erhlich Man zeigt, dass a nur mit Ws. 3/4 geraten werden kann: Betrachte Distanz zwischen den Dichtematrizen der Zustände für a=0 und a=1 und deren Zusammenhang zur Vorhersagbarkeit

23 Alice mogelt: Alice startet mit (|00i+|11i+2|22i) /6 1/2 Alice sendet in Runde 3 a=b um Münze 0 zu erhalten Ws. Entdeckung:

24 Alice mogelt 3/4 ist auch optimal.

25 OT Alice kodiert Bits x,y als: 00: |0i+ ( |0i+|1i)/2 1/2 norm. 01: |0i - (-|0i+|1i)/2 1/2 norm. 10: |1i+ ( |0i+|1i)/2 1/2 norm. 11: |1i+ (-|0i+|1i)/2 1/2 norm. Bob entscheidet zu messen in Standard oder rotierter Basis. Erhält x bzw. y mit Ws. cos 2 /8 ¼0.853 Bob kann Wert von beiden Bits nur mit Ws. ·1/2 vorhersagen