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2 Anfang Ende Intervallschachtelung Hier als Näherungsverfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel

3 Anfang Ende Hinter dem Verfahren steckt die Idee, durch gezieltes Probieren die Quadratwurzel zu finden. Beispiel: Bestimmung der Wurzel aus 10 Zunächst überlegt man sich nur ungefähr, wie groß die Wurzel sein muss. Ich weiß, dass 3² gleich 9 ist. Die 3 ist zu klein! Hmm, 4²=16, die 4 ist zu groß.

4 Anfang Ende Solche Überlegungen am besten gleich aufschreiben! Die Wurzel aus 10 muss zwischen 3 und 4 liegen: 3²=9 <10< 4²= 16 3 < < 4 Nächster Versuch:3,3 3,3²=10,89 Ganz gut, aber immer noch zu groß! Die Wurzel muss also zwischen 3 und 3,3 liegen! also

5 Anfang Ende 3²=9 < 10< 3,3²= 10,89 3 < < 3,3 Anstatt zwischen 3 und 3,3 sagt man auch: im Intervall [3; 3,3] d.h. bei einem Intervall gibt man die Grenzen an! Zurück zur Wurzel aus 10! Neuer Versuch? 3,15²=9,9225 zu klein!

6 Anfang Ende Die Wurzel aus 10 muss zwischen 3,15 und 3,3 liegen: Das heißt, die Wurzel liegt im Intervall [3,15 ; 3,3 ] 3,15²=9,9225 < 10 < 3,3²= 10,89 3,15 < < 3,3 So! Bisher sind wir durch Probieren der Wurzel schon ganz schön nahe gekommen. Problem: Wie könnte das ein Computer oder Taschenrechner für uns machen?

7 Anfang Ende Wir müssen für unser Probierverfahren, eine Art Kochrezept finden – eine immer gleiche Prozedur! Dazu machen wir noch ein zweites Beispiel: Bestimmung der Wurzel aus 2 Vorschlag: Bevor du weiterklickst, versuche doch mal die Wurzel durch das beschriebene Verfahren bis auf 2 Stellen zu bestimmen!

8 Anfang Ende Wir beginnen mit dem Intervall [1;2] und schauen uns das ganze auf dem Zahlenstrahl an: Anstatt nun irgendeine Zahl zwischen 1 und 2 zu probieren, nehmen wir die Intervallmitte. 1,5 = (1+2):2 1,5²= 2,25 d.h. 1,5 ist zu groß! Dazwischen muss die Wurzel aus 2 liegen! Also muss Wurzel aus 2 zwischen 1 und 1,5 liegen. 1 2 Kannst du erklären warum? Falls nein, geh noch mal zurück! bzw. im Intervall [1;1,5]

9 Anfang Ende Nun nehmen wir uns das Intervall [1; 1,5] vor: Wir nehmen die Intervallmitte: (1+1,5) : 2=1,25 und überprüfen durch Quadrieren: 1,25²=1,5625 Zu klein! Also liegt die Wurzel aus 2 zwischen 1,25 und 1,5 bzw. im Intervall [1,25 ; 1,5] 1,25 121,5

10 Anfang Ende Und nochmal: Intervall [1,25 ; 1,5 ] Intervallmitte: (1,25+1,5):2 = 1,375 Quadrieren: 1,375²=1, zu klein! Also liegt zwischen 1,375 und 1,5. 121,251,5 1,375 im Intervall [1,375 ; 1,5]

11 Anfang Ende Rückblick: 1. Intervall: [1 ; 2] 2. Intervall: [1 ; 1,5] 3. Intervall: [ 1,25 ; 1,5 ] 1, ,5 1,375 11,51,251,5 4. Intervall [1,375 ; 1,5] 1. Schritt: Intervallmitte bestimmen: (untere Grenze+obere Grenze) : 2 2. Schritt: Intervallmitte quadrieren und prüfen (zu klein, oder zu groß) (1+2):2=1,51,5²=2,25zu groß!(1+1,5):2=1,251,25²=1,5625zu klein!(1,25+1,5):2=1,3751,375²=1,890625zu klein!

12 Anfang Ende Zur Übersicht wäre doch eine Tabelle gut: untere Grenze obere Grenze IntervallmitteQuadrat IMPrüf- ergebnis 121,52,25Zu groß 11,51,251,5625Zu klein 1,251,51,3751,890625Zu klein 1,3751,5 Bevor du weiterklickst, versuche selbst eine geeignete Tabelle zu erstellen! Ehrlich schon selbst probiert??


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