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A Genetic Algorithm for Solving the Container Loading Problem H. Gehring und A. Bortfeldt Int. Trans. Opl. Res., Vol.4, No. 5/6, pp. 401-418, 1997 Universität.

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1 A Genetic Algorithm for Solving the Container Loading Problem H. Gehring und A. Bortfeldt Int. Trans. Opl. Res., Vol.4, No. 5/6, pp , 1997 Universität Karlsruhe (TH) Institut für Anwendungen des Operations Research (ANDOR) Seminar: Heuristische Verfahren WS 03/ Raphael Paschke

2 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Agenda Einleitung Containerbeladeproblem Heuristiken Genetische Algorithmen (GA) Umsetzung Optimierungsproblem Heuristik GA Hybridisierung Test, Ergebnisse und Kritik Einhalten der Restriktionen Vergleich mit anderen Verfahren Kritik Diskussion

3 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Containerbeladeproblem Im heutigen Warenumschlag, insbesondere im Seehandel, nimmt der nach DIN/ISO 830 genormte Standardcontainer aufgrund seiner Be- und Entladegeschwindigkeit, sowie seiner Kostenersparnisse eine überragende Stellung ein.

4 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Aufgabenstellung Ein einziger, in seinen Abmessungen gegebener Container ist mit kleineren, in ihrer Anzahl und Abmessungen bekannten Packstücken zu beladen. Gesucht ist die Anordnung der Packstücke, wobei i.A.nur eine Teilmenge der Packstücke verwendet wird. In Bezug auf die gewählte Zielfunktion soll der vorhandene Stauraum möglichst effizient genutzt werden. Weiterhin sind verschiedene Restriktionen einzuhalten, z.B. Befestigung Bodendruck Maß Zusammenstaubarkeit Plazierungsrestriktion Orientierung der Kisten Überstaubarkeit Geamtgewicht Gleichgewicht

5 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Heuristiken Einordnung in Verschnitt- und Packunsprobleme 3-dimensionales Packungsproblem Kombinatorisches Problem Da bei NP-vollständigen Problemen das Zeitverhalten eines exakten Verfahrens nicht für alle möglichen Instanzen des Problems garantiert werden kann, verwendet man suboptimale Verfahren, die in akzeptabler Zeit, höchstens jedoch innerhalb der angegebenen Grenzen, Lösungen finden.

6 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Genetischer Algorithmus I (GA) Prinzipielle Funktionsweise Anlehnung an Natur Wichtige Designentscheidungen für Algorithmus Repräsentation Initialisierung Zielfunktion & Fitnessfunktion Operatoren Selektion der Eltern Rekombination Mutation Umweltselektion Abbruchbedingung Wichtige Parameter Population: Struktur, Grösse, etc. Wahrscheinlichkeiten für Operatoren Anzahl der Generationen

7 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Genetischer Algorithmus II (GA) Vorteile Verständlichkeit Flexibilität Integration von problemspezifischem Wissen Möglichkeit der Parallelverarbeitung wenig formale Voraussetzungen Nachteile keine formale Entwurftechniken Parameter und Operatorenwahl entscheidend für Lösungsgüte, i.A. nur empirisch bestimmbar Trade-Off zwischen Konvergenz und Lösungsgüte unklar, bzw. a priori schwer bestimmbar keine allgemeinen Konvergenzbeweise

8 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Optimierungsproblem Beschreibung Container rechteckiges Objekt c beschrieben durch Vektor der Abmessungen (xc, yc, zc) ausgehend von linker, unterer Ecke des Containers als Koordinatenursprung eines kartesischen Systems Packstücke rechteckige Objekte (Kisten) b=1,...,nb, beschrieben durch (bdim1, bdim2, bdim3; bvalue, bweight) falls viele Kisten mit gleichen Maßen: schwach heterogen Kistenvorrat schwach heterogen stark heterogen ansonsten stark heterogen Zielfunktion Verstautes Kistenvolumen Summierter Frachtwert andere sinnvolle Möglichkeiten

9 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Optimierungsproblem Zulässigkeit F1: Kisten auf Containerboden oder auf Deckfläche einer anderen Kiste, geometrische Mittelpunkt einer Kiste unterstützt durch untere Kiste F2: Kiste seitenparallel zu Grenzflächen des Containers F3: Kisten vollständig innerhalb des Containers Restriktionen C1: Orientierung bestimmter Kisten eingeschränkt C2: Verbot der Überstapelung C3: Gesamtgewicht des Containers C4: Stabilität der Kisten unterstützte Fläche zu Gesamtbodenfläche der Kiste C5: Gleichgewichtsrestriktion für Container

10 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Idee des Verfahrens Einteilung der Menge der Kisten in disjunkte Türme mittels Greedy-Algorithmus, der die Stauraumverluste innerhalb der Basiskiste minimiert; kombinatorische Komponente Bedeckung des Containerbodens mit den Türmen mittels GA, der den Gesamtwert aller verpackten Kisten maximiert; geometrische Komponente Wiederholung der obigen Schritte mit neuem Parameter für Greedy-Algorithmus, bis Abbruchbedingung erfüllt und Ausgabe der besten Lösung. Iteration

11 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Heuristik Definition Turm Genau eine Kiste als Basis eines Turmes möglich Jede weitere Kiste steht vollständig auf unterer Kiste Beschreibung Turm it als Menge von Kisten TBoxes(j) j=1,...,ntboxes beschrieben durch (b, bdimx, bdimy, bdimz; bconerx, bcornery, bcornerz) Definition Turmmenge Menge, besthend aus allen erzeugten Türmen, die zusammen alle verfügbaren Kisten beinhalten Beschreibung Turmmenge TSet(it) it=1,...,ntowers beschrieben durch (tvalue, tloss, ntboxes, tdim1, tdim2; TBoxes)

12 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Illustration Turm

13 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Illustration Turmraumkonzept Turmraumkonzept Bestimmen des freien Raumes oberhalb einer Kiste und Speicherung in Datenstruktur Keller (Stack)

14 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Illustration Turmraum

15 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Alg. Turmerzeugung I

16 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Alg. Turmerzeugung II

17 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Genetischer Algotihmus (GA) Noch 2-dimensionales, geometrisches Problem zu lösen Einführung Eckenkonzept Definition: Ecke (cornerx, cornery, cwidth) Punkt auf virtuellem Containerboden. Anordnungsecke, falls cornerx mit x-Koordinate der vorderen Kante der Turmfläche eines bereits plazierten Turmes übereinstimmt cornery mit y-Koordinate der linken Kante eines bereits plazierten Turmes übereinstimmt höchstens durch vordere oder rechte Kante einer plazierten Grundfläche bedeckt wird Die sogenannte freie Breite einer Ecke wird definiert als y-Abstand zur nächsten Kiste bzw. Containerseite

18 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Illustration Eckenkonzept Anordnungseckenmenge CSet Enthält alle möglichen Plazierungen von Türmen, zunächst nur (0,0,yc) Aktualisierung nach jedem Setzen eines Turmes Wird durch lineare Relation geordnet corner1 corner2 : corner1.x

19 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Beschreibung GA I Repräsentation Sequenz Genotyp Chrom(i), i=1,...,ntowers: Sequenz der Plazierung der Türme beschrieben durch Vektor (it, trot) trot :=0, wenn grössere Dimension des Turmes in y-Achse Initialisierung Permutationen zufällige Permutationen des Indexes it Decodierung/Phänotyp Sequenz Lösung Sol(i), i=1,...,ntowers : Sequenz der Plazierungen beschrieben durch Vektor (it, trot,tcornerx,tcornery) Evaluierung und Fitnessfunktion

20 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Beschreibung GA II Genetische Operatoren Selektion der Eltern: stochastisch Wahrscheinlichkeit direkt aus Fitnessfunktion Umweltselektion:deterministisch sofortiges Ersetzen der schlechtesten Lösung Crossover: Permutationserhaltende Operatoren Uniform Order Based Partially Mapped Cycle Drehungsvarianten werden von Eltern übernommen Mutation Inversion Scramble Sublist Drehungsvarianten zufällig aus (0,1) gewählt !A priori kaum zu entscheiden, welcher Operator am besten; Verfahrenstest

21 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Beschreibung GA III Parameter Eltern- und Nachkommenpopulation: Anzahl der Individuuen konstant: npop=50 Struktur Inkrementeller GA Wahrscheinlichkeiten für Operatoren: p m =0,5 p c =0,5 Anzahl der Generationen fest, somit zugleich Abbruchbedingung: ngen=300

22 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Alg. Decodierung&Evaluation

23 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Hybridisierung Problemspezifisches Wissen miteinbringen: Startpopulation Türme der Grösse nach mittels Eckenkonzept setzen Decodierung Nachbesserung mittels heuristischer Regeln: R1: aktuelle Plazierung direkt nicht möglich, allerdings nach 90° Drehung möglich, dann drehen und setzen R2: falls aktuelle Plazierung nicht in realem Container, aber eine andere Plazierungsmöglichkeit in realem Container besteht, dann wähle erste Alternative R3: falls plazierbarer, alternativer Turm mit nicht-kleinerer Grundfläche, aber geringerem Stauraumverlust existiert, dann wähle entsprechende Alternative R4: falls durch Plazierung eine zu kleine Fläche entstehen sollte und eine Drehung möglich ist, dann plaziere dementsprechend

24 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Einhalten der Restriktionen Restriktionen C1: Orientierung bestimmter Kisten eingeschränkt C2: Einschränkung der Überstapelung C3: Gesamtgewicht des Containers C4: Stabilität der Kisten, definiert als unterstützte Fläche zu Geamtbodenfläche der Kiste C5: Gleichgewichtsrestriktion für Container C1 leicht bei Erzeugung der Turmsets zu erreichen C2 Stauraum oberhalb Kiste im Kellerspeicher gesperrt C3: bei Erzeugung der Türme Gewicht berechnen bei Decodierungsprozess jeweils vor dem Setzen auf zulässiges Gesamtgewicht prüfen C4 ist immer erfüllt C5 kann nur durch Verschiebung verbessert werden, allerdings nicht strikt erfüllt werden

25 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Verfahrenstest Parameter Verkleinern der Populationsgrösse npop führt zu schlechteren Ergebnissen Vergrösserung der Generationenanzahl ngen führt zu keiner wesentlichen Verbesserung Vergleich Operatoren Rechenzeiten nahezu identisch Auslastungen differieren kaum Auswahl: Uniform order based Crossover mit sramble sublist Mutation Vergleich mit reiner Zufallssuche ohne Hybridisierung ist GA schlechter, allerdings bei weniger als der halben Rechenzeit mit Hybridisierung zeigt GA vor allem bei mittleren und maximalen Auslastungen signifikante Verbesserungen gegenüber reiner Zufallssuche bei leicht erhöhter Rechenzeit

26 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Verfahrensvergleich Implementiert in C, P130; nb max =500 Vergleich gegenüber Verfahren des selben Autors einfache Heuristik Bortfeldt(90): signifikant schlechtere Ergebnisse, z.T. mehr als 5% weniger Volumenauslastung, vor allem bei stark heterogenem Kistenvorrat nur GA erfüllt nur C4 (Stabilität) Rechenzeitvorteil: 4-10 TabuSearch Bortfeldt/Gehring(98): bessere Ergebnisse, im Schnitt 3% fallen monoton mit zunehmender Heterogenität deutlich erhöhte Rechenzeiten GA(Turm) streut weniger, findet häufiger optimale Lösungen GA Bortfeldt/Gehring(01): mit Schichtenkonzept durchgängig leicht verbesserte Ergebnisse erfüllt alle Restriktionen, C5 nur schwach deutlich erhöhte Rechenzeiten GA(Schicht) streut weniger, aber höhere Anzahl unverstauter Kisten

27 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Vergleich zu anderen Autoren: LOH&NEE(92) 15 eigene Probleme Mass für Auslastung auf Basis Frachtrate im Mittel der Beste (Maß!?) GA findet 13 Optima, Loh&Nee 11 NGOI(94) BISCHOFF&RATCLIFF(95) 15 Testfälle zu je 100 numerischen Beispielen Algorithmus für schwach heterogene Kisten GA besser v.a. bei stark heterogenem Vorrat besser Streuung durchgängig erheblich niedriger nur Orientierungsrestriktion

28 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Illustration Schichtenkonzept

29 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Kritik I Annahmen&Idee F2: kann einschränkend sein F1&F2&F3 sollen Verpackungsmaterial einsparen homogener Inhalt der Kisten Minimierung des Stauraumverlustes für Heuristik fragwürdig Heuristik ist in Richtung Anzahl und Volumen getrimmt Vielleicht: Heuristik entscheidend für Lösungsgüte C5 nur von bedingter Wichtigkeit Turmkonzept Türme verschlanken nach oben hin horizontale und vertikale Freiräume / Löcher Lückenstabilität C4: Überdeckungen Verschiedene Turmräume existent

30 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Kritik I Eckenkonzept Richtung der Befüllung durch einseitigen virtuellen Container Andere Ordnungen / zufällig initialisiert GA&Hybridisierung Starke Streuung durch Operatoren und Wahrscheinlichkeiten Hybridisierung entscheidender Teil Allgemein Stark heterogener Kistenvorrat überhaupt sinnig für eine Optimierung?

31 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Kritik II Inhaltliches Sicherlich interessanter Ansatz F2 sicherlich nur bedingt einschränkend Turm- und Eckenkonzept machen trotz Komplexität schnelle Lösungsfindung möglich für schwach homogener Kistenvorrat sicherlich eine brauchbare Lösung Formales Arbeit in Anbetracht der notwendigen Aufwandes an Nomenklaturen übersichtlich und strukturiert Verfahren (eigentlich) direkt aus Arbeit implementierbar, alle notwendigen Angaben sind vorhanden Testfälle nachvollziehbar

32 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Verpackungsmaterial?

33 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Verpackungsmaterial?

34 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Diskussion Weitere Fragen? Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

35 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Literaturverzeichnis A Genetic Algorithm for Solving the Container Loading Problem H. Gehring und A. Bortfeldt Int. Trans. Opl. Res., Vol.4, No. 5/6, pp , 1997 Ein Tabu Search-Verfahren für Containerbeladeprobleme mit schwach heterogenem Kistenvorrat. A. Bortfeldt und H. Gehring OR Spektrum, Band 20, S , 1998, A parallel tabu search algorithm for solving the container loading problem H. Gehring und A. Bortfeldt Diskussionsbeitrag Nr. 324, Fachbereichs Wirtschaftswissenschaft, FernUniversität Hagen, A hybrid genetic algorithm for the container loading problem. A. Bortfeldt und H. Gehring European Journal of Opl. Research, Vol. 131 No. 1, pp , Ein verteilt-paralleler genetischer Algorithmus für Containerbeladeprobleme H. Gehring und A. Bortfeldt Diskussionsbeiträge Nr. 271, Fachbereich Wirtschaftswissenschaften, FernUniversität Hagen, 1999

36 Einleitung Umsetzung Ergebnisse, Test, Kritik Diskussion Literaturverzeichnis Das Containerbeladeproblem Max Schäfer Universität Saarbrücken, Seminar Evolutionäre Algorithmen / Genetisches Progammieren, WS 97/98 Cutting and Packing in Production and Distribution H. Dyckhoff und U. Finke Physica-Verlag 1992 How to Solve It: Modern Heuristics Z. Michalewicz und D. Fogel Springer,2002


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