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Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom Wechselstromwiderstand Es werden die drei Spannungen U C, U R und U ges gemessen. Ergebnis: U C = U R =

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1 Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom Wechselstromwiderstand Es werden die drei Spannungen U C, U R und U ges gemessen. Ergebnis: U C = U R = U ges = Im Wechselstromkreis ist die Gesamt- spannung nicht die algebraische Sum- me der Teilspannungen.

2 Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom Wechselstromwiderstand Der Vektor für die Stromstärke weist nach rechts. Mit ihm phasengleich ist der Vektor für die Spannung am Widerstand U R. Die Spannung am Kondensator U C hinkt der Stromstärke in der Phase 90 o hinterher. Die Gesamtspannung findet man als Vektoraddition von U R und U C zur Gesamtspannung U ges (grau unterlegtes Dreieck)

3 Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom Wechselstromwiderstand Auch Wechselstromwiderstände werden vektoriell addiert Es gilt: (U ges ) 2 = (U C ) 2 + (U R ) 2 (Z*I) 2 = (X C *I) 2 + (R*I) 2 Z 2 * I 2 = X C 2 * I 2 + R 2 *I 2 Z 2 = X C 2 + R 2

4 Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom Phasenwinkel Im grau unterlegten Dreieck gilt: Weil die Spannung der Stromstärke hinterher hinkt, ist der Phasenwinkel negativ. Sonderfälle: 1.Ist R sehr groß gegenüber X C, dann ist der Phasenwinkel klein. 2.Ist R sehr klein gegenüber X C, dann ist der Phasenwinkel groß. 3.Ist R = X C, dann ist der Phasenwinkel -45 o.

5 Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom

6 Bei einer Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand und kapazitativem Widerstand im Wechselstromkreis gilt für den Scheinwiderstand Z oder X s und die Pha- sendifferenz zwischen angelegter Spannung und Stromstärke:

7 Spule, Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom Bei einer Reihenschaltung aus Kondensator, ohmschen Widerstand und induktivem Widerstand im Wechselstromkreis gilt für den Scheinwiderstand Z oder X s und die Phasendifferenz zwischen angelegter Spannung und Stromstärke:

8 f in HzU in VI in AR = U/IXCXC XLXL , , , , , , , , , , , , Spule, Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom

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10 Die Stromstärke erreicht für eine Frequenz von ungefähr 710 Hz ein Maximum. Diese Frequenz f o nennt man Eigenfrequenz. Die Erscheinung, dass die Stromstärke bei einer be- stimmten Frequenz besonders groß ist, heißt Resonanz. f o heißt deshalb auch Resonanzfrequenz. Spule, Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom

11 Der Vergleich mit den Messergebnissen für X s zeigt: Der Schweinwiderstand X s ist für alle Frequenzen kleiner als die Summe der Einzelwiderstände. Bei der Eigenfrequenz f o schneiden sich die Kurven für X L und X C, d.h. für f o gilt: X L = X C oder Spule, Kondensator u. ohm. Widerstand an Wechselstrom

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13 Der Siebkreis Eine Reihenschaltung aus Kondensator und Spule heißt Siebkreis. Sein Scheinwiderstand hat bei der Resonanzfrequenz f 0 seinen kleinsten Wert: X s = R.

14 Der Strom im Lautsprecher ist eine Überlagerung zweier sinusförmiger Wechselströme mit den Frequenzen f o und f 1. Zu f o gehört der viel größere Scheitelwert, weil bei dieser Frequenz der Scheinwiderstand besonders klein ist. Der Siebkreis

15 Bei sehr niedriger Frequenz f leuchten die Lämpchen L1 und L3 gleich hell, Lämpchen L2 ist dunkel. Wird die Frequenz f weiter erhöht, so wird Lämpchen L2 heller und Lämpchen L1 dunkler. Wider Erwarten wird jedoch Lämpchen L3 noch dunkler als Lämpchen L1 Bei einer bestimmten Frequenz f o leuchten die Lämpchen L1 und L2 gleich hell, während Lämpchen L3 dunkel ist. Bei sehr hoher Frequenz f leuchten die Lämpchen L2 und L3 gleich hell, während Lämpchen L1 dunkel ist. Spule u. Kondensator parallel geschaltet

16 Zu jedem Zeitpunkt liegt – wie beim Gleichstrom – die gleiche Spannung U AB (t) an beiden Zwei- gen. Alle ohmschen Widerstände seien vernach- lässigbar. Dann eilt im induktiven Zweig 1 die Stromstärke I 1 (t) der Spannung U AB (t) um T/4 nach, während im kapazitativen Zweig 2 die Stromstärke I 2 (t) der Spannung U AB (t) um T/4 voraus. I 1 (t) und I 2 (t) haben also zu jedem Zeitpunkt einander entgegen- gesetzte Vorzeichen. Ist der Strom im Zweig 1 gerade aufwärts gerichtet, dann im Zweig 2 abwärts. Sind die Scheitelwerte I 1m und I 2m gleich, so wandern alle Elektronen, die aus dem Zweig 2 bei A ankommen, zum Zweig 1 weiter. In der Leitung 3 findet keine Elektronenwanderung statt. Spule u. Kondensator parallel geschaltet

17 Ist I 1m = I 2m, so folgt I 3m = 0. Das ist aber genau dann der Fall, wenn gilt: R L = R C Spule u. Kondensator parallel geschaltet Eine Parallelschaltung aus Kondensator und Spule heißt Sperrkreis. Sein Scheinwiderstand hat bei der Resonanzfrequenz f 0 seinen größten Wert: X s = R.

18 Spule und Kondensator parallel geschaltet

19 Sperrkreis Spule und Kondensator parallel geschaltet

20 Hoch- und Tiefpass Legt man an eine Reihenschaltung aus ohmschen Widerstand R und Kondensator C eine Eingangsspannung U 1 und greift die Ausgangsspannung U 2 entweder über den Kondensator oder über den Widerstand ab, so hat man einen frequenzabhängigen Spannungsteiler. Der Abgriff über dem Kondensator heißt RC- Tiefpass, der über dem Widerstand RC-Hochpass, weil im ersten Fall nur die tiefen Frequenzen, im zweiten Fall nur die hohen Frequenzen übertragen werden. RC-TiefpassRC-Hochpass

21 Hoch- und Tiefpass Die Grenzfrequenz Als Grenzfrequenz f g wird diejenige Frequenz bezeichnet, bei der der ohmsche Widerstand R genau so groß ist wie der kapazitative Widerstand X C. Man erhält also: R = X C Löst man jetzt nach f g auf, so erhält man

22 Hoch- und Tiefpass Die Grenzfrequenz Wenn die beiden Widerstände R und X C gleich groß sind, dann sind demzufolge auch die Spannungen U R und U C an diesen Widerständen gleich groß: U R = U C Beide Spannungen U R und U C liegen an der Eingangspannung U 1. U R und U C stehen in einem 90 o Winkel zueinander. Daher berechnet sich die Spannung U 1 wie folgt: Wird die Grenzfrequenz f g er- reicht, gilt U R = U C = U 2 = U, vereinfacht sich der obige Ausdruck:

23 Hoch- und Tiefpass Das Spannungsverhältnis von Eingangs- und Ausgangsspannung am Hochpass Die Eingangsspannung sei U 1, die Ausgangsspannung U 2 Bildet man das Verhältnis U 2 /U 1, so erhält man aus:

24 Hoch- und Tiefpass Das Spannungsverhältnis von Eingangs- und Ausgangsspannung am Tiefpass Die Eingangsspannung sei U 1, die Ausgangsspannung U 2 Bildet man das Verhältnis U 2 /U 1, so erhält man aus:

25 Hoch- und Tiefpass Das Spannungsverhältnis von Eingangs- und Ausgangsspannung

26 Der RC-Hochpass Der Hochpass Der Strom höherer Frequenz passiert den Hochpass besser als Strom niedriger Frequenz. Beim Hochpass werden die Bässe abgesenkt (geschwächt) und die hohen Töne relativ angehoben(verstärkt).

27 Der Strom niederer Frequenz passiert den Tiefpass besser als Strom hoher Frequenz. Beim Tiefpass werden die hohen Töne abgesenkt(geschwächt) und die Bässe relativ ange- hoben(verstärkt). Der Tiefpass Der RL-Tiefpass

28 Die elektrische und magnetische Energie Das elektrische Feld eines Kondensators mit der an- gelegten Spannung U und der Kapazität C hat die elektrische Feldenergie Das Magnetfeld eines vom Strom der Stärke I durch- flossenen Leiters mit der Ei- geninduktivität L besitzt die magnetische Feldenergie

29 Aufgaben Wechselstromwiderstände 2.Aufgabe: Berechnen Sie den kapazitiven Widerstand für f = 50 Hz und a) C 1 = 500 pF, b) C 2 = 20 nF, c) C 3 = 12 F und für C = 3 F a) f 1 = 400 Hz, b) f 2 = 3 kHz, c) f 3 = 1,8 MHz. Lösung: a)R C = 6,3662*10 6 b) R C = 1,59155*10 5 c)R C = 265,258 a)R C = 1,32*10 2 b)R C = 17,6839 c)R C = 0,294731

30 Aufgaben Wechselstromwiderstände 3.Aufgabe: Man kann die Kapazität eines Kondensators dadurch bestimmen, dass man seinen Widerstand in einem Wechselstromkreis bekannter Frequenz misst. Berechnen Sie C aus folgenden Messergebnissen: a) f = 50 Hz, U eff = 6,3 V, I eff = 2,2 mA b) f = 50 Hz, U eff = 200 V, I eff = 0,8 mA. Lösung: a) C = 1,11156 F b) C = 12,7324 nF

31 Aufgaben Wechselstromwiderstände 4.Aufgabe: Stellen Sie für einen Kondensator mit der Kapazität C = 10 F die Abhängigkeit des Widerstands von der Frequenz graphisch dar.

32 Aufgaben Wechselstromwiderstände 4.Aufgabe: Stellen Sie für einen Kondensator mit der Kapazität C = 10 F die Abhängigkeit des Widerstands von der Frequenz graphisch dar.

33 Aufgaben Wechselstromwiderstände 7.Aufgabe: Ein sinusförmige Wechselspannung mit der effektiven Spannung 2,0 V und der Frequenz 2,0 kHz wird an eine Spule mit geschlossenem U-Kern gelegt. Die effektive Stromstärke ist 300 mA. Wie groß ist die Induktivität? (wechsel3) Lösung: L = 5,30516*10 -4 T

34 Aufgaben Wechselstromwiderstände 8.Aufgabe: Um die Abhängigkeit des kapazitativen Widerstandes zu untersuchen, wurden folgenden Messungen durchgeführt: a) Bei U eff = 2,0 V und f = 100 Hz. C in F Ieff in mA1,32,645,3789,210,71213,2

35 Aufgaben Wechselstromwiderstände 8.Aufgabe: Um die Abhängigkeit des kapazitativen Widerstandes zu untersuchen, wurden folgenden Messungen durchgeführt: a) Bei U eff = 2,0 V und f = 100 Hz. (wechsel3) C in F Ieff in mA1,32,645,3789,210,71213,2 RC in Ohm RC*C

36 Aufgaben Wechselstromwiderstände 8.Aufgabe: Um die Abhängigkeit des kapazitativen Widerstandes zu untersuchen, wurden folgenden Messungen durchgeführt: b) Bei U eff = 2,0 V und C = 1 F. (wechsel3) f in Hz Ieff in mA6,813,420,126,8

37 Aufgaben Wechselstromwiderstände 8.Aufgabe: Um die Abhängigkeit des kapazitativen Widerstandes zu untersuchen, wurden folgenden Messungen durchgeführt: a)Bei U eff = 2,0 V und f = 100 Hz. (wechsel3) f in Hz Ieff in mA6,813,420,126,8 RC in Ohm294,118149,2599,50274,627 RC*C

38 Aufgaben Wechselstromwiderstände 8.Aufgabe: Um die Abhängigkeit des kapazitativen Widerstan- des zu untersuchen, wurden folgenden Messungen durchgeführt: a) Bei U eff = 2,0 V und f = 100 Hz. (wechsel3)

39 Aufgaben Wechselstromwiderstände 1.Aufgabe: An eine Spule mit R = 10,0 wird sinusförmige Wechselspannung von U aneff = 8,00 V und f 1 = 2000 Hz gelegt. Es fließt ein Strom von I eff = 0,078 A. a) Berechnen Sie die Eigeninduktivität unter Vernachlässigung des ohmschen Widerstandes. b) Berechnen Sie die Eigeninduktivität unter Berücksichtigung des ohmschen Widerstandes. Berechnen Sie die Phasendifferenz zwischen U an (t) und I(t). c) Bei welcher Frequenz f 2 hat die Phasendifferenz zwischen U an (t) und I(t) den Wert /4? wechsel1 Lösung a)R S = U aneff /I eff = 103. Bei vernachlässigbarem ohmschen Wi- derstand ist R L R S, also R L 103. Wegen R L = L folgt L = R L / = R L / (2 f) = 8, H.

40 Aufgaben Wechselstromwiderstände Lösung b)Aus,also nahezu das gleiche Ergebnis wie in a). Weiter folgt L = R L / = 8, H. tan =R L / R = 10,2, also = 1,47 = 0,469 oder im Gradmaß: = 84,4 o. c) Das Dreieck ist in diesem Fall gleichschenklig, also R L = R = 10,0. = R L / L = 1, /s, f = / (2 ) = 196 Hz.

41 Aufgaben Wechselstromwiderstände 3.Aufgabe: Bei der Spule aus Aufgabe 1 ist U aneff = 8,00 V, f durchläuft die Werte 0 Hz, 100 Hz, 200 Hz,...., 2000 Hz. a) Stellen Sie R L und R S in Abhängigkeit von f in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar. 200 Hz 1 cm, 5 1 cm. Von welcher Frequenz ab beträgt der Unterschied zwischen R S und R L weniger als 5%? b) Stellen Sie I eff in Abhängigkeit von f in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar. 0,1 A 1 cm.

42 Aufgaben Wechselstromwiderstände Bei 600 Hz beträgt der Unterschied zwischen R S und R L ca. 5% Ausführliche Rechnung: R S – R L < 0,05 R S, daraus ergibt sich: Mit = 10 u. L = 8, H ergibt sich dann: > /s f > 596 Hz

43 Aufgaben Wechselstromwiderstände

44 Aufgaben Wechselstromwiderstände

45 Aufgaben Wechselstromwiderstände 5.Aufgabe: C = 5,0 F und R 1 = 0 bzw. R 1 = 30 sind in Reihe an eine Wechselspannungsquelle mit f = 200 Hz, 400 Hz,.., 2000 Hz gelegt. Zeichnen Sie für beide Fälle das f-RS-Diagramm. 200 Hz 1 cm, 10 1 cm. b) Bei welcher Frequenz hat in der Reihenschaltung die Phasendifferenz zwischen angelegter Spannung und Stromstärke den Betrag /4?

46 Aufgaben Wechselstromwiderstände Aufgabe 5

47 Aufgaben Wechselstromwiderstände Aufgabe 5

48 Aufgaben Wechselstromwiderstände Aufgabe 5 b) Aus R C = R = 30 folgt = 1 / RC = /s f = 1061 Hz

49 Aufgaben Siebkreis Aufgabe 3: An einen Siebkreis L = 0,1 H, C = 0,2 F, R = 150 wird Wechselspannung von U aneff = 10 V, f = 1000 Hz angelegt. Wie groß sind die Scheitelwerte der Stromstärke und der Teilspannungen? Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen I(t) und U an (t)? Lösung: Mit = 2f = 6, /s und R L = L = 628, R C = 1/ C = 796 erhält man I eff = U aneff /R S = 0,0444 A, I m = 2 I eff = 0,0628 A, U Lm = R LI m = 39,4 V, U Cm = R CI m = 50,0 V, U Rm = RI m = 9,42 V Wegen R C > R L, also U Cm > U Lm arbeitet der Kreis kapazitativ. Wenn im Zeigerdiagramm der Zeiger für U R nach rechts weist, so weist der Zeiger für U b im vorliegenden Fall nach unten. Die angelegte Spannung eilt gegenüber der Stromstärke nach. ist negativ: tan = (R L – R C )/R = -1,12 = -0,842 = -0,268 oder in Grad: = - 48,2 o

50 Aufgaben Siebkreis 4.Aufgabe: Im folgenden gelten die Daten aus Aufgabe 3 (soweit nicht anders angegeben). a) Zeichnen Sie das Spannungszeigerdiagramm für 1000 Hz und 1300 Hz. 10 V = 1 cm. b) Für welche Frequenzen arbeitet der Kreis induktiv? c) Bei welchen Frequenzen ist = 45 o ? Berechnen Sie jeweils I eff, U Leff und U Ceff. d) Zeichnen Sie das f-I eff -Diagramm für 0 Hz bis 2000 Hz. 200 Hz = 1 cm, 0,1 A = 1 cm. e) Wie groß sind die maximalen Feldenergien W magn und W el für f = 1000 Hz bzw. f = f o ?

51 Aufgaben Siebkreis fRLRCRL - RCRSIeffImURmULmUCm ,3795,58167,5224,844,562,99,4439,550, ,8612,1204,7253,839,455,78,3645,534,1 Lösung Aufgabe 4 a Ablesung für 1000 Hz und für 1300 Hz: U anm 14 V

52 Aufgaben Siebkreis Lösung Aufgabe 4 b c b) Der Kreis arbeitet induktiv für c) = 45 o bedeutet tan = 1, R = R b = R L - R C 1.Fall: R = R L – R C. Auflösen nach ergibt Nur die positive Wurzel ist physikalisch sinnvoll, da sich sonst 150. Zu f 1 = 1251 Hz gehören: R L1 = 786,0, R C1 = R L1 – 150 = 636,0, R S1 = 2 R = 212,1, I eff1 = 0,0471 A, U Leff1 = 37,1 V, U Ceff1 = 30,0 V

53 Aufgaben Siebkreis Lösung Aufgabe 4 c c) = 45 o bedeutet tan = 1, R = R b = R L - R C 2.Fall: R = R C – R L. Auflösen nach ergibt Wieder ist nur die positive Wurzel physikalisch sinnvoll, da sich sonst 150. Zu f 2 = 1012 Hz gehören: R C2 = 786,0, R L2 = R C2 – 150 = 636,0, R S2 = 2 R wie im 1. Fall, I eff2 = 0,0471 A wie im 1. Fall, U Leff2 = 30,0 V, U Ceff2 = U Leff1 = 37,1 V

54 Aufgaben Siebkreis Lösung Aufgabe 4 d f Ieff 02,65,710,419,444,566,75728,98,914,211,5

55 Aufgaben Siebkreis Lösung Aufgabe 4 e f = f o : I m = 2 I eff = 0,943 A

56 Aufgaben Siebkreis 6.Aufgabe: Die Abbildung zeigt Spannungsteiler für Wechsel- spannungen mit Wechselstromwiderständen, wie sie in elek- tronischen Schaltungen vorkommen. Berechnen Sie jeweils U 1eff und U 2eff für f = 200 Hz, 400 Hz, 600 Hz.

57 Aufgaben Siebkreis Lösung Aufgabe 6 Schaltung a: Die Widerstände und somit auch die Teilspannungen ver- halten sich wie die Eigeninduktivitä- ten. Keine Phasendifferenzen zwi- schen den Teilspannungen: Also: U 1eff = 3,0 V, U 2eff = 6,0 V Schaltung b: Die Widerstände und somit auch die Teilspannungen verhalten sich umgekehrt wie die Kapazitäten. Keine Phasendifferenzen zwischen den Teilspannungen: Also: U 1eff = 6,0 V, U 2eff = 3,0 V

58 Aufgaben Siebkreis Lösung Aufgabe 6 fRLRSIeffU1effU2eff ,7279,80,03224,058, ,3354,50,02546,386, ,40,01997,54,98 fRCRSIeffU1effU2eff ,797,624, ,045,67, ,954,227,95 6 c) 6 d)

59 Aufgaben Hoch- und Tiefpass 4.Aufgabe: a)Geben Sie für Hoch- und Tiefpass das Verhältnis von Ausgangsspannung zu Eingangsspannung U 2 /U 1 als Funktion der Frequenz f an. Zeichnen Sie für C = 10 nF und R = 120 k die Frequenzgangkurven, d.h. die Abhängigkeit des Verhältnisses U 2 /U 1 von der Frequenz f. b)Bei der sog. Grenzfrequenz f g sind ohmscher und kapazitativer Widerstand gleich groß. Wie groß ist dann die Phasendifferenz zwischen Ausgangs- und Eingangsspannung? Wie berechnet sich die Grenzfrequenz f g bei Hoch- und Tiefpass aus R und C? Berechnen Sie f g für C = 10 nF und R = 120 k. c)Welchen Wert hat das Spannungsverhältnis U 2 /U 1 bei der Grenzfrequenz fg für Hoch- und Tiefpass?

60 Aufgaben 4.Aufgabe: a) Hoch- und Tiefpass

61 Aufgaben 4.Aufgabe: b) Hoch- und Tiefpass f g = 132,629 Hz = 45 o. 4.Aufgabe: c) Das Verhältnis U 2 /U 1 bei f g = 132,629 Hz (Hochpass) ist: 0, Das Verhältnis U 2 /U 1 bei f g = 132,629 Hz (Tiefpass) ist ebenfalls: 0,707107

62 Aufgaben 5.Aufgabe: Ein Tiefpass soll die Grenzfrequenz f g = 10 kHz haben. a)Berechnen Sie die zu R = 47 k gehörige Kapazität. b)Bei welcher Frequenz beträgt die Ausgangsspannung U 2 nur noch 10% der Eingangsspannung U 1 ? Hoch- und Tiefpass a) Die Kapazität beträgt: C = 1,06383 nF b) Die Frequenz beträgt dann: f = 319,913 Hz

63 Aufgaben 6.Aufgabe: An eine Serienschaltung eines Wider- stands (R = 1,0 k ) mit einem Kondensator (C = 4,0 F) wird eine sinusförmige Wechselspannung mit dem Effektivwert U eff,1 = 50 V (f 1 = 50/(2 ) Hz) angeschlossen. a)Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Zei- gerdiagramms (Planfigur) den Effektivwert des im Stromkreis fließenden Stroms und geben Sie dessen Phasenverschiebung zur angelegten Wechselspan- nung an. Zur Spannungsquelle aus a) wird eine zweite Quelle in Reihe geschaltet (U eff,2 = 8,0 V, f = 1500/(2 ) Hz). b)Die Spannung am Widerstand wird nun mit dem Oszilloskop dargestellt. Welches der folgenden Signale ist am Oszilloskop zu erwarten? Geben Sie für Ihre Entscheidung eine plausible Begründung. Hoch- und Tiefpass

64 Aufgaben 6.Aufgabe: Hoch- und Tiefpass

65 Aufgaben 6.Aufgabe: Hoch- und Tiefpass Die Anordnung stellt einen Hochpass dar. Es ergibt sich das rechte Bild Der ohmsche Widerstand ist frequenzunabhängig. Der Kondensator stellt für hohe Frequenzen einen niedrigen Widerstand, für niedrigere Frequenzen einen hohen Widerstand dar relative Anhebung des hochfrequenten Anteils am Widerstand (vom hochfrequenten Anteil fällt mehr Spannung am ohmschen Widerstand als am Kondensator ab).


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