Übersicht I Künstliche Intelligenz II Problemlösen

Präsentation zum Thema: "Übersicht I Künstliche Intelligenz II Problemlösen"—  Präsentation transkript:

1 Übersicht I Künstliche Intelligenz II Problemlösen
III Wissen und Schlussfolgern IV Logisch Handeln V Unsicheres Wissen und Schließen VI Lernen 18. Lernen aus Beobachtungen 19. Wissen beim Lernen 20. Statistische Lernmethoden 21. Verstärkungslernen VII Kommunizieren, Wahrnehmen und Handeln Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

2 Lernen in Bayes'schen Netzen
Lernen der Netzstruktur bzw. der Wahrscheinlichkeitstabellen: Bekannte Netzstruktur, beobachtbare Variablen: Update der Wahrscheinlichkeitstabellen Bekannte Netzstruktur, teilweise versteckte Variablen: EM-Algorithmus Unbekannte Netzstruktur, beobachtbare Variablen: Suchproblem durch mögliche Netzstrukturen Unbekannte Netzstruktur, teilweise versteckte Variablen: Offenes Forschungsproblem (z.B. strukturierter EM-Algo) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

3 Lernen von Wahrscheinlichkeitstabellen
Gegeben ist die Netztopologie und N Fälle: Apriori-Wahrscheinlichkeiten P(D): |D| / N bedingte Wahrscheinlichkeiten P(S|D): |S  D| / |D| Problem: Unbeobachtete Variablen (Null-Wahrscheinlichkeiten) Vereinfachung Bayesscher Netze zu naiven Bayes Modellen Unabhängigkeitsannahme in naiven Bayes Modellen Formel (Wdh): P (C | x1, … xn) =  P(C) i P(xi|C) Verbesserung durch Boosting: Neue Hypothesen werden dadurch erzeugt, das falsch bewertete Fälle stärker gewichtet werden (äquivalent zur Vervielfachung dieser Fälle) Sehr effizientes Lernverfahren (keine Suche erforderlich) Eines der effektivsten allgemeinen Lernverfahren Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

4 Beispiel: Restaurant-Daten
Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

5 Vorteile versteckter Variablen
Wenn jede Variable 3 mögliche Werte hat, geben die Zahlen bei den Knoten die Größe der Wahrscheinlichkeitstabellen an. Man beobachtet eine starke Zunahme von (a) mit versteckter Variable nach (b) ohne versteckte Variable Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

6 Expectation-Maximization (EM) Algorithmus
Der EM-Algorithmus ist eine Familie von Algorithmen zur iterativen Approximation in Systemen mit versteckten Größen. Anwendbar u.a. für: für Gaussche Dichteverteilungen für Bayessche Netze für Hidden Markov Modelle EM berechnet Erwartungswerte für die versteckten Größen basierend auf den beobachteten Größen und der gemeinsamen Verteilung. EM konvergiert gegen ein lokales Maximum, die Qualität der Lösung ist nicht zwingend gut (abhängig vom Startwert). Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

7 Beispiel für Dichteverteilungen: Clustering
Gegeben: Menge von Punkten Gesucht: k Cluster für Punkte Lösungsidee EM-Algorithmus: Initialisierung: Gib eine Gaussverteilung mit den Parametern Gewicht, Mittelwert und Covarianz (oder bei K-Means-Clustering vereinfacht einen Mittelpunkt) für jedes Cluster vor. E-Schritt (Expectation): Berechne die Wahrscheinlichkeit für jeden Punkt, dass er zu einem Cluster gehört M-Schritt (Maximation): Aktualisiere aus der berechneten Zugehörigkeit der Punkte für alle Cluster seine Parameter Terminierung: Wiederhole, bis nur noch geringe Änderungen Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

8 Beispiel für Bayessches Netz
Aufgabe: Es gibt 2 Beutel (bags) mit Bonbons. Die Bonbons haben 3 Attribute: Geschmack: Kirsche, limone (flavor: cherry, lime); Verpackung: rot, grün (wrap-per: red, green) & Löcher: mit, ohne (holes: yes, no). Die beiden Beutel haben jeweils verschiedene Wahrscheinlichkeiten für Bonbontypen. Aus beiden Beu-teln sind unbekannt viele Bonbons entnommen (s. Tabelle mit 1000 Bonbons). Kann man daraus auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Beutel schließen? Geschätzt werden soll: : P(Bag=1)  F1: P(F=cherry | Bag1)  F2: P(F=cherry | Bag2)  W1: P(W=red | Bag1) … Wenn wir wüssten, welche Bonbontypen aus welchen Beuteln kommen, bräuch-ten wir nur Häufigkeiten verrechnen (s.o.). Wir wissen es aber nicht! Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

9 EM Lösung für Bayes-Beispiel (1. Schritt)
Ziel: Werte für die Apriori-Wahrscheinlichkeit der Beutel, d.h.  = P(Bag1) und der bedingten Wahrscheinlichkeiten: F1 = P(Flavor = Cherry | Bag1)  W1 = P(Wrapper = Red | Bag1)  H1 = P(Hole = Yes | Bag1)  F2 = P(Flavor = Cherry | Bag2)  W2 = P(Wrapper = Red | Bag2)  H2 = P(Hole = Yes | Bag2) Vorgehen (1. Iteration): Rate alle Parameter, z.B.  = 0,5; F1=W1=H1=0,8; F2=W2=H2=0,3 Berechne für verborgene Variablen (z.B. Bag1) die erwartete Häufigkeit = = erwartete Häufigkeit von rotverpackten Kirsch-Bonbons mit Loch aus Beutel1 = 273 * = 228, analog für Rest: erwartete Häufigkeit von Bonbons aus Beutel1: = 612. Berechne daraus  = P(Bag1) = / N = 612 / 1000 = 0,612 Das gleiche für übrige Häufigkeiten bzw. bedingte Wahrscheinlichkeiten Ergebnis: =0,61; F1=0,67 W1=0,65 H1=0,66; F2=0,39 W2=0,38 H2=0,38 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

10 EM Lösung für Bayes-Beispiel (Iteration)
Die neuen Parameter , F1, W1, H1, F2, W2, H2 nach der ersten Iteration erhöhen die Passgenauigkeit von Modell und Daten (Logorithmus der Likelihood) beträchtlich (Faktor e23) Iteriere solange, bis sich die "Loglikelihood" nicht mehr stark erhöht (loka-les Maximum) durchgezogene Kurve zeigt Verbesserung nach Anzahl von Iterationen ab 10 Iterationen besser als Originaldaten, (gestri-chelte Linie) danach kaum nach Anstieg Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

11 Beispiel für Hidden Markov-Modell
HMM entsprechen Bayes-Netzen mit nur einer diskreten Zustandsvariablen Gegeben: endliche Beobachtungssequenzen (z.B. Schirme), Initialmodell Gesucht: Modell mit Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten, Zustands-Beobachtungswahrscheinlichkeiten und Zustandsanfangswahrscheinlichk. Aktualisierungsfunktion für Zustandsübergangswahrscheinlichkeit (zeitunab-hängig): wie oft wurde von einem bestimmten Zustand i Zustand j erreicht? Dabei werden Erwartungs-werte mit HMM-Inferenz-Algorithmus berechnet. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

12 Allgemeine Form des EM Algorithmus
Gegeben: Beobachtbare Variablen x, Anfangsmodell  Expectation-Schritt: Berechnung der versteckten Variablen Z = z Maximization-Schritt: Berechnung der neuen Modellparameter  Bei Gaussverteilungen: Mittelwert, Varianz, (Gewichte), usw. Bei Bayesschen Netzen: Wahrscheinlichkeitstabellen Bei HMM: Wahrscheinlichkeiten von einem Zustand zum nächsten und zu Beobachtungen (Zeitinvariant!), Anfangswahrscheinlichkeit für Zustand. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

13 Andere Darstellung für EM (Sem-Vortrag) http://page. mi. fu-berlin
Sequenz von Observablen X= x1...xn Gesucht ist Modell Θ um X zu beschreiben Problem: versteckte Parameter Y = y1...ym führen zu unvollständigen Daten systematische Unvollständigkeit Y ist grundsätzlich nicht beobachtbar zufällige Unvollständigkeit Y wird von dem verwendeten Sensor nicht erfasst Definition: Z = (X,Y) ist der vollständige Datensatz Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

14 EM (andere Darstellung 2)
Wahrscheinlichkeitsverteilung der vollständigen Daten: p(Z | Θ) = p(X,Y| Θ) = p(Y|X, Θ) * p(X| Θ) Likelihood-Funktion der vollständigen Daten: L(Θ|Z) = L(Θ|X,Y) = P(X,Y| Θ) EM-Prinzip: 1. Berechne Erwartungswert für die versteckten Variablen basierend auf Θ und X ( E-Schritt) 2. Maxmiere Erwartungswert bezüglich neuen Parametern Θ‘ (M-Schritt) ( Wiederhole 1. und 2. ) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

15 EM (andere Darstellung 3)
Spezifikation der Zielfunktion Q(Θ, Θi-1) = E [ log p(X,Y| Θ) | X, Θi-1] Y ist Zufallsvariable mit Verteilung f( y |X, Θi-1), dann gilt E [ log P(X,Y|Θ) | X, Θi-1] = log p( X,Y | Θ) f( y |X, Θi-1) => Q(Θ, Θi-1) ist nun eine analytisch berechenbare Funktion EM-Prinzip II: E-Schritt: Berechne Q(Θ, Θi-1) M-Schritt: Berechne Θ = argmax Q(Θ, Θi-1) ( Iteration bis zur Konvergenz ) Θ Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

16 EM-Übersicht (andere Darstellung 4)
Wahl des Anfangs-parametersatzes hat hat Einfluß auf die Güte der Lösung. Auswertung von Q(Θi+1, Θi) Auswertung von: Θ‘ = argmax Q(Θ‘, Θ) Θ Abbruch der Iteration durch geeignetes Konvergenzkriterium || Θi+1 - Θi || < ε Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

17 Lernen unbekannter Bayesscher Netzstrukturen
Untypische Situation, da die Struktur von Netzen, d.h. von Kausalitäten im allgemeinen gut Experten geschätzt werden kann. Strukturelle Lernalgorithmen noch nicht ausgereift Basisidee: Suche von Netzstrukturen Starte mit leerem Netz und füge schrittweise Variablen hinzu Starte mit fertigem Netz und modifiziere es Kernproblem: Qualitätsfunktion zur Bewertung von Netzen Test auf Unabhängigkeiten (Problem: Schwellwerte) Test auf Erklärungsfähigkeit der Daten (Problem: Overfitting) Bestrafung von Komplexität erforderlich Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

18 Instanzen-basiertes Lernen
Bisher: parametrisches Lernen: Aus den Beispielen werden die Parameter eines vorgegebenen Modells gelernt Komplexität der Hypothese vorgegeben Nicht-parametrisches Lernen: Komplexität der Hypothese kann mit Daten wachsen; Instanzen-basierte Lernmethoden: Nearest-Neighbor Modelle Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

19 Nearest-Neighbor Modelle (Fallbasiertes Schließen)
Annahme: Ähnliche Fälle haben ähnliche Lösungen Problem: Wie definiert man Ähnlichkeit bzw. Distanz? kontinuierliche Werte: Euklidische Distanz: (Wurzel aus Summe der Quadrate der Einzeldifferenzen pro Attribut) Wenn Normalisierung erforderlich: Abstand zweier Werte in Vielfachen der Standardabweichung Differenz der Werte / Max-Differenz diskrete Werte Hamming-Distanz: Anzahl unterschiedlicher Attribute / alle Attribute gewichtete Hamming-Distanz mit partiellen Ähnlichkeiten Datenabstraktion nützlich Eigenschaften: keine Lernzeit aber bei großer Fallzahl langsam schnelles Fallretrieval notwendig (erfordert passende Datenstrukturen, die gelernt werden müssen) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

20 Aufbau natürlicher & künstlicher Neurone
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21 Verschiedene Aktivierungsfunktionen
(a) Stufenfunktion (nicht differentierbar) (b) Sigmoidfunktion (differentierbar) exakte bzw. ungefähre Schwelle (Defaultmäßig bei ini = 0) kann durch "Bias-Weight" W0 verschoben werden Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

22 Simulation logischer Gatter
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23 Beispiel für einfaches neuronales Netz
vorwärtsgerichtetes, mehrschichtiges Netz Input: (x1, x2) = (a1, a2) Output a5 ist Funktion des Inputs (g = Akti-vierungs-funktion): a5 = g(W3,5 * a3 + W4,5 * a4) = g(W3,5 * g(W1,3 * a1 + W2,3 * a2) + W4,5 * g(W1,4 * a1 + W2,4 * a2)) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

24 Generische Lernprozedur in Neuronalen Netzen
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25 Typen von Neuronalen Netzstrukturen
vorwärtsgerichtete (feedforward) Netze - Perzeptrons: ohne versteckte Knoten - Mehrebenen-Netze: mit versteckten Knoten zirkuläre (recurrent) Netze (output  input): schwierig zu verstehen, z.B.: Hopfield-Netze: mit bidirektionalen Kanten und symmetrischen Gewichten, alle Knoten sind sowohl Ein- als auch Ausgabeknoten Boltzmann Maschinen: mit bidirektionalen Kanten und symmetrischen Gewichten, mit inneren Knoten, stochastische Aktivierungsfunktion Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

26 Perceptrons: Struktur
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27 Basis-Perzeptron-Lernalgorithmus (nach Rojas)
Beispiele (Punkte): x1 - xn , die positiv (P) oder negativ (N) bewertet sind. Zusammengefasst als Vektor x. Gewichte w0 – wn werden zum Anfang zufällig generiert und dann in jeder Iteration t für jedes Beispiel modifiziert. Zusammengefasst als Vektor w mit Index t: wt Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

28 Perceptron-Lernformel (einfache Form)
Aktivierung eines Output-Neurons O (g = Stufenfunktion) : O = g (i wi xi) Der Fehler eines Output-Neurons pro Beispiel ist der korrekte Output T minus dem tatsächlichen Output O: Fehler = T – O = T - g (i wi xi) Er muss auf alle Inputs entsprechend ihrem Beitrag zu O verteilt wer-den. Der Beitrag des Inputsneurons j ist wj xj. Falls xj positiv, führt eine Erhöhung von wj zu einer Erhöhung des Gesamtoutputs, sonst zu einer Erniedrigung. Daraus folgt Aktualisierungsregel für jedes wj: wj  wj +  * xj * Fehler Konstante  heißt Lernrate. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

29 Verbesserung der Perceptron-Lernformel
Die einfache Aktualisierung der Gewichte konvergiert immer mit den korrekten Werten, wenn die zu lernende Funktion linear separierbar ist (s. nächste Folie). Allerdings kann es exponentiell lange dauern! Effizienzverbesserungen: Normierung aller Eingabedaten Delta-Regel: Die Gewichte werden nicht um das Produkt (Eingabewert * Fehler) sondern um den minimalen Betrag geändert, der erforderlich ist, um das Beispiel richtig zu klassifizieren Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

30 Lineare Trennbarkeit in Perceptrons
Während die "und" und die oder-funktion linear trennbar sind (a und b), ist die XOR-Funktion (c) nicht linear trennbar und kann daher von einem Perceptron nicht gelernt werden! Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

31 Lernkurven bei Percpetrons
(a): Mehrheitsfunktion mit 11 Inputs (b) Restaurant-Beispiel Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

32 Mehrebenen - Netz Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

33 Backpropagation-Lernen
Unterschiede zu Perceptrons: Es gibt mehrere Outputs, daher ist der Output ein Vektor hw(x), der mit dem Beispiel-Output-Vektor y verglichen wird: Fehler = y – hw Auch für hidden layers muss ein Fehler berechnet werden, deswegen muss Aktivierungsfunktion differenzierbar sein (Sigmoid- statt Stufen-Funktion) Gewichtsänderung der Output-Neuronen Wj,i  Wj,i +  * aj * i mit i = Fehleri * g'(ini) Gewichtsänderung der versteckten Neuronen Wir brauchen Äquivalent für Fehler der Output-Neuronen Idee: der versteckte Knoten j ist für einen Teil des Fehlers bei i verant-wortlich. Die i Werte werden entsprechen der Stärke ihrer Verbindun-gen zwischen versteckten Knoten und Output-Knoten aufgeteilt und rückwärts propagiert, um die j-Werte der versteckten Ebene zu liefern j = g'(inj) (i Wj,i i ) Gewichtsänderungsregel: Wk,j  Wk,j +  * ak * j Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

34 Restaurant-Beispiel: Lernkurve
(a) langsame Reduktion der Fehler über verschiedene Epochen beim Backpropagation Lernen (b) Vergleich der Lernkurven beim Backpropagation und Entscheidungsbaumlernen Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

35 Optimale Netzwerkstrukturen
Bei Netzwerkstrukturen mit zu vielen Knoten kommt es zur Überanpassung bis zum Auswendiglernen, bei zu wenig Knoten kann das Netz unfähig sein, die gewünschte Funk- tion zu repräsentieren. Bisher gibt es keine guten Heuristiken, um die optimale Netzwerkgröße für ein gegebenen Problem abzuschätzen. Eine Idee besteht darin, daß man mit einem kleinen Netz startet und nach Bedarf Knoten hinzufügt. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

36 Diskussion des Backpropagation-Lernen
Ausdrucksstärke: Abhängig von Netztopologie Berechnungseffizienz: Langsame Lernrate, Lokale Minima Generalisierungsfähigkeit: Gut, wenn Output sich kontinuierlich mit dem Input verändert Sensitivität für Rauschen: Sehr tolerant Transparenz: Black Box Integrierbarkeit von Vorwissen: Schwierig Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

37 Kernel Machines (Support Vector Machines)
Kernel machines kombinieren Vorteile von Perceptrons (einfacher und effizienter Lernalgorithmus) und Mehrebenen-netze (Ausdrucksstärke) Zentrale Idee: Benutze lineare Separatoren, aber in einem veränderten (höherdimensionierten) Zustandsraum Neues Problem: Gefahr der Überanpassung, da in einem d-dimensionalen Raum d Parameter für linearen Separator erforderlich sind, wenn N (Anzahl der Datenpunkte)  d. Lösung: Suche nach optimalen linearen Separatoren (mit größtem Abstand zwischen positiven auf der einen und negativen Beispielen auf der anderen Seite): Finde Parameter i, die folgenden Ausdruck maximieren (Beispiele xi mit Klassifikation yi): i i – ½ i,j i j yiyj (xi * xj) mit i > 0 und i i yi = 0 Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

38 Beispiel für lineare Trennbarkeit nach Transformation
(a) 2-dimensionale Daten (positive Beispiele im Kreis) (b) gleichen Daten nach Abbildung in 3-dimensionalen Raum (x12,x22, 2x1x2) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

39 Beispiel für optimalen Separator
Der optimale Separator aus der letzten Folie (nur 2 der 3 Dimensionen gezeigt) ist die dicke Linie, die den abstand zu den nächsten Punkten, den Stützvektoren (support vectors, markiert mit Kreisen) maximiert. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

40 Transformation in höherdimensionierten Raum
i i – ½ i,j i j yiyj (xi * xj) mit i > 0 und i i yi = 0 Eigenschaften: Der Ausdruck hat ein einziges globales Maximum, das effizient gefunden werden kann! Die Daten gehen nur als Punkt-Produkte benachbarter Punkte in die Gleichung ein! Die i sind nur für die Stützvektoren ≠ 0, daher ist die effektive Anzahl von Parametern relativ klein (<< N)! Transformation Suche Separator in hochdimensionalen Merkmalsraum F(x) Ersetze dazu xi * xj durch F(xi)* F(xj), wobei das Punktprodukt oft ausgerechnet werden kann, ohne F für jeden Punkt zu berechnen, z.B. F(xi)* F(xj) = (xi * xj )2 (xi * xj )2 hießt Kernfunktion (kernel function): K (xi ,xj ) allgemein: (xi * xj ) wird durch eine Kernfunktion K (xi ,xj ) ersetzt viele Kernfunktionen (auch sehr hochdimensionale) möglich Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

41 Umgang mit verrauschen Daten
Kernel machines eignen sich auch für Daten, die sich nicht fehlerfrei trennen lassen. Dazu muss ein Parameter vorgegeben werden, der die erwartete Fehlerspanne charakterisiert. Der Basisalgorithmus ändert sich nicht. Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

42 Diskussion Kernel / Support Vector Machines
Sehr mächtiges Lernverfahren Ähnlich wie, aber mit Vorteilen gegenüber Neuronalen Netzen Erfreut sich in letzter Zeit zunehmender Beliebtheit Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

43 Beispiel: Erkennen handgeschriebener Ziffern
Standard-Benchmark-Problem mit Datenbank von markierten Ziffern in 20*20=400 Pixeln mit 8 Graustufen (oben leicht, unten schwer identifizierbare Beispiele) Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

44 Getestete Lernverfahren
Nearest Neighbor (ohne Anpassungen und Parametereinstellungen) Neuronales Netz mit einer versteckten Ebene: 400 Input Knoten (pro Pixel) 10 Output Knoten (pro Ziffer) 300 versteckte Knoten (mit Kreuzvalidierung optimiert) Gewichte Spezialisierte Neuronale Netze (LeNet): optimiert bezüglich der Struktur des Problems Neuronales Netz (LeNet) mit Boosting von 3 Hypothesen Support Vector Machine ohne Anpassungen und Parametereinstellungen Virtuelle Support Vector Machine Startet mit Ergebnis der Support Vector Machine Nachträgliche Optimierung mit Ausnutzen der Struktur des Problems Gestaltvergleich (shape matching): Technik vom Computersehen mit Abgleich korrepondierender Punkte zwischen 2 Bildern Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden

45 Testergebnisse Die Fehlerraten bewegen sich zwischen 2,4% (Nearest Neighbor) und 0,56% (Virtual Support Vector Machine). Neuronale Netze liegen dazwischen. Menschen haben angeblich eine Fehler eine Fehlerquote von 0,2% für dieses Problem (nach anderen Quellen aber 2,5%). Künstliche Intelligenz: 20. Statistische Lernmethoden