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PG4781 Planarisierung von Cluster Graphen Bihui Dai.

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Präsentation zum Thema: "PG4781 Planarisierung von Cluster Graphen Bihui Dai."—  Präsentation transkript:

1 PG4781 Planarisierung von Cluster Graphen Bihui Dai

2 PG4782 Übersicht Struktur eines Clustergraphs Motivation Zeichnung eines Clustergraphs Planarisierungsalgorithmus

3 PG4783 Struktur eines Clustergraphs

4 PG4784 Root RootRoot E F E F A C B D ACBD Ein ClusterGraph C(G, T)ein Inklusionsbaum Sub-Cluster V(E) ein zugrundliegende Graph Der von V(E ) induzierte Teilgraph G(E) 13 13

5 PG4785 Motivation Viele Anwendungen erfordern das Zeichnen von Clustergraphen. Zum Beispiel: Netzwerke : lokale Netzwerke und Router in autonomen Systemen, autonome Systeme als Cluster Informationssysteme: Entity-Relationship Schema, anhand ähnlicher Eigenschaften in Cluster verpacken

6 PG4786 Zeichnung eines Clustergraphs

7 PG4787 Der Clustergraph C = ( G,T ) wird gezeichnet Punkte als Knoten Punkte als Knoten Kurven als Kanten Kurven als Kanten Regionen als Cluster Regionen als Cluster Zeichnung

8 PG4788 c-planarer Clustergraph Hat es in der Zeichnung keine diese Situationen, dann ist der Clustergraph c-planar 1. Kantekreuzung 2. Die Kanten überqueren die Regionsgrenze mehr als einmal

9 PG4789 Zusammenhängender Clustergraph Der Zusammenhang spielt auch eine bedeutende Rolle in unserem Planarisierungsalgorithmus: In dem Planarisierungsalgorithmus ist gegeben für nicht c-planarer zusammenhängender Clustergraph. Ein clustergraph ist cluster-zusammenhängend, wenn für jeden Knoten von T, G( ) zusammenhängend ist. Root Root E F A C B D Zusammenhängender Clustergraph Nicht zusammenhängender Clustergraph

10 PG47810 Planarisierung Sei ein nicht planarer Graph G = (V, E) gegeben, dann ist eine Planarisierung von G ein eingebetteter planarer Graph G = (V, E ), mit: V = V D; D sind unechte Knoten, jeder repräsentiert eine Kreuzung zwischen zwei Kanten; Ein Kanten-Pfad von G ist ein Pfad mit Knoten u,d 1,…,d k,v; (u,v) ist eine Kante von E und d i sind unechte Knoten.

11 PG47811 Sei ein nicht c-planarer Clustergraph C =(G, T) gegeben, dann ist eine Planarisierung von C ein c-planarer Clustergraph C =(G, T ), mit: G ist eine Planarisierung von G; T ist ein Baum abgeleitet aus T, wobei ein Blatt für jeden unechten Knoten von G hinzugefügt wird.

12 PG47812 Planarisierungsalgorithmus

13 PG47813 Ablauf: Planarisierungsalgorithmus hat zwei Schritte 1. Maximal-cPlanar 1.1 Spannbaum 1.2 SimpleReinsertion 2. Wiedereinfügung Problem: Gegeben ein zusammenhängender nicht c-planar Clustergraph, Wie realisiert man diese Planarisierung? Lösung: Der Planarisierungsalgorithmus wird eingeführt.

14 PG47814 Maximal-cPlanar In Maximal-cPlanar wird ein maximaler c-planarer Subgraph des gegeben Clustergraph berechnet. Idee: Anfang mit einem "einfachen" zusammenhängenden c-planaren Subgraph

15 PG47815 Die Berechnung besteht aus zwei Schritten: 1. Spannbaum Ein Subgraph wird berechnet, so dass sein zugrundeliegender Graph ein Spannbaum von G ist. 2. SimpleReinsertion Der maximale c-planare Subgraph wird berechnet dadurch, dass die Kanten, die die c-Planarität nicht verletzen, in Spannbaum eingefügt werden.

16 PG47816 Spannbaum Nun konstruieren wir den Spannbaum von Cluster: v V 1 V 1 V 2 V 2 V 3 V 3 v2 v1 v3 F(V 1 ) F(V 2 ) F(V 3 ) F(V) ST(V)

17 PG47817 SimpleReinsertion Idee: Einfügen einiger Kanten in schon konstruiertem Cluster-Spannbaum, die keine Kreuzungen verursachen können.

18 PG47818 wir führen jetzt SimpleReinsertion aus: Durchlaufe T von unten nach oben Überprüft für jeden Cluster v Füge eine Kante aus G(v)-ST(v) hinzu Dabei kann keine Kreuzung entstehen Danach: Für jede noch nicht eingefügte Kante e Überprüfe c-Planarität wenn Kante e eingefügt wird Füge Kante e ein, falls planar

19 PG47819 Wiedereinfügen der verworfenen Kanten Mit C mp = ( G mp, T) von C =( G, T) bezeichnen wir einen maximal c- planaren zusammenhängenden eingebetteten Sub-ClusterGraph. Problem: Kanteneinfügen, wobei Cluster nicht c-planar bleiben Die Kanten überqueren mehr als einmal die Regiongrenze

20 PG47820 Lösungsidee: (Schritt für Schritt) -- Es wird ein planarer eingebetteter dualer Graph G mp von G mp konstruiert. --Der kürzeste Weg in G mp wird berechnet. --Die Restkanten werden wiedereingefügt.

21 PG47821 Die Konstruktion der dualer Graph G mp von G mp Wir materialisieren die Grenze der Cluster Die Kante überquert die Regiongrenze Einfügen des kreuzungsknoten v1 v1 v2 Einfügen der Grenzkante

22 PG47822 Die Berechnung des kürzeste Weg Die Ausrichtung und das Entfernen der Kanten von G mp. u v A B C D E A u B D E C v

23 PG47823 Ende von Planarisierungsalgorithmus die Komplexität des ganzen Planarisierungsalgorithmus. Gegeben: n..... die Anzahl der Knoten von G m..... die Anzahl der Kante von G c die Anzahl der Clustern von T die Anzahl der unechten Knoten Dann Der Algorithmus Maximal-cPlanar benötigt O(mn²); Der Algorithmus Wiedereinfügung benötigt O( m + m²c). Insgesamt: Der Planarisierungsalgorithmus berechnet eine Planarisierung von C in O( m + m²c + mn²).

24 PG47824 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit


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