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1 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS 2006 1 Seminar über Algorithmen Potentialfunktion.

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1 1 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Seminar über Algorithmen Potentialfunktion

2 2 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS 06 2 Wiederholung Diskretes Load Balancing Nash Equilibria Potentialfunktion in Load Balancing Potentialfunktion in Netzwerken Ein kleines Beispiel aus der Biologie Die Tit for Tat Strategie

3 3 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS 06 3 Wir betrachten das folgende Problem einer Lastverteilung von: n Jobtypen und auf m maschine p j ist die gesamte Last des Typs j und S j {1,...,m} ist die Menge der Maschinen auf denen j verteilt werden darf.

4 4 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS 06 4 die Jobs sind diskret (atomar). x ij ist der Job vom Typ,j der auf der Maschine i verteilt wurde Die mögliche Lösung des Problems wäre die Menge aller x ij >=0 für alle i,j Lösung: Eine Lösung des Beispiels ist: x 11, x 12, x 23

5 5 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS 06 5 r i (L) ist eine monoton wachsende Funktion, die die Antwortzeit jeder Maschine unter der Last L gibt. Nash Gleichgewicht beschreibt einen Zustand eines strategischen Gleichgewichts, von dem ausgehend kein einzelner Spieler für sich einen Vorteil erzielen kann, indem er allein seine Strategie verändert Nash Gleichgewicht beim Load Balancing Für alle x ij > 0 und k S j r i (L i ) r k (L k + x ij ) Beispiel: Für den Job von Typ 2 S 2 ={1,2} wobei r 2 (L 2 ) r 1 (L 1 +x 12 ) für r i (L i ) = i*L i und alle User haben Größe 1 Jobs/User Maschinen

6 6 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS 06 6 Unser Ziel ist es, eine optimale Lösung (Verteilung) zu finden. Eine Lastverteilung, die dem System eine gesamte minimale Antwortzeit gibt. Wir nehmen an, dass alle Jobs atomar und gleich groß sind. Also ist x ij eine Ganzzahl, und die Summe p j von allen x ij ist auch eine Ganzzahl. Die Potentialfunktion ist:

7 7 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS 06 7 Wenn ein Job j von einer Maschine zu einer anderen geht, dann spiegelt die Änderung der Verarbeitungszeit des j, wider. erreicht dann,einen Minimumwert, wenn alle Jobs minimale Verarbeitungszeit brauchen. Also ist die optimale Lösung alle x ij, die minimieren. Die schattierte Fläche ist:

8 8 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS 06 8 Theorem 1: Wenn eine Jobeinheit x ij von einer Maschine i zu einer Maschine k verschoben wird, dann ist die Reduzierung der Antwortzeit für den Job j gleich der Abfall der Funktion. Beweis: Wenn eine Jobeinheit von der Maschine i auf die Maschine k verschoben wird, ist der Abfall der Antwortzeit des j Jobs : r i (L i ) – r k (L k +1) Die Funktion wird genau gleich reduziert Beispiel: r i (L i ) = L i = = 1 r j1 – r j2 = 3 –2 = 1

9 9 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS 06 9 Wir nennen Potentialspiel ein Spiel, das eine Potentialfunktion besitzt, die die Änderungen der Spieler trägt. Folgerung: Die Existenz einer Potentialfunktion impliziert 1.Wenn wir mit einer beliebigen Verteilung der Jobs anfangen, erreichen wir ein Nash Gleichgewicht in endlicher Zeit. 2.Eine Lösung mit Minimum ist ein Nash Gleichgewicht

10 10 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Verallgemeinerung: p j besteht aus sehr kleinen Jobeinheiten ->

11 11 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Jetzt muss bewiesen werden, dass falls die Antwortzeit des Jobs j sich ändert, indem ein sehr kleines Teil von dem j auf ein andere Maschine verschoben wird, ändert sich auch der Wert der Funktion. Theorem 2 Wenn ein Job j ein x ij >0 hat und k S j und die Nash Kondition ( r i (L i ) > r k (L k )) noch nicht erfüllt ist, dann wird abfallen, falls eine sehr kleine Einheit von j x ij nach x kj geschaltet wird. Beweis Gleich gilt: Aber es gilt r i (L i ) > r k (L k ) => Also 0,das von x ij abgezogen und auf x kj addiert wird und abfällt

12 12 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Die Existenz einer Potentialfunktion impliziert: 1.Eine Lösung mit Minimum -Wert ist ein Nash Gleichgewicht Beweis: Falls die Lösung mit -Wert kein Nash Gleichgewicht wäre, könnte man (Theorem 2) den -Wert noch mehr reduzieren. Aber -Wert hat schon einen Minimum Wert.

13 13 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Die Existenz einer Potentialfunktion impliziert: 2. Es existiert ein Nash Gleichgewicht. Beweis: Die Funktion ist stetig, und die Menge der möglichen Lösungen ist begrenzt. D.h die Potentialfunktion erreicht einen Minimumwert => existiert ein Nash Gleichgewicht

14 14 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Die Existenz einer Potentialfunktion impliziert: 3.Wir können in Polynomialzeit ein Nash Gleichgewicht finden Beweis: Wir können eine konvexe Funktion über eine konvexe Menge in Polynomialzeit minimieren. Für alle i, und ist eine streng monoton wachsende Funktion. Eine differenzierbare Funktion ist auf einem Intervall (streng) konvex dann und nur dann wenn ihre Ableitung auf dem Intervall monoton wachsend ist. Also, als Summe von konvexen Funktionen, ist auch konvex.

15 15 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Die Menge aller möglichen Lasten L = {L 1,...,L m } ist auch konvex, weil wenn L 1 und L 2 mögliche Lasten sind, dann soll *L 1 + (1- )*L 2 für alle 0 1 auch eine mögliche Last sein. Aber *x 1 + (1- )*x 2 erfüllt die folgende Gleichung: Also *x 1 + (1- )*x 2 ist eine gültige Lösung -> *L 1 + (1- )*L 2 ist auch eine gültige Lösung. Also L ist konvex

16 16 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Wiederholung: Das Braess Paradox Ohne UV Verbindung Verzögerung 1,5 Mit der blauen Verbindung Verzögerung 2.

17 17 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Ein Netzwerkfluss kann als ein gerichteter Graph dargestellt werden, wie im Beispiel des Braess Paradox. Definition eines egoistischen Netzwerkflusses. Gerichteter Graph G = (V,E) k Typen von User User i hat Ausgangspunkt s i und Ziel t i in V Jeder User ist sehr klein dem(i) ist das Volumen der User von Typ i Jede Kante hat eine Latenz l e (x), die eine Funktion ist des Flusses x (Anzahl der User) auf der Kante e Wir nehmen an, dass l e (x) eine stetig monoton wachsende Funktion ist Note: i j s i s j oder t i t j

18 18 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Für einem gültigen Fluss im Netz muss gelten: Der gesamte Fluss auf einer Kante ist:

19 19 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Die Verzögerung auf der Kante spiegelt den gesamten Fluss der User auf der Kante wieder: Nash Gleichgewicht: Ein Fluss ist Nash Gleichgewicht, wenn die folgende Aussage gilt: Typ i, alle Wege P vom s i -> t i mit f p 0 erfüllt ( Wege Q vom s i -> t i, l P (f) l Q (f))

20 20 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Theorem 3. Eine Lösung ist ein Nash Gleichgewicht dann und nur dann wenn der Fluss die Potentialfunktion minimiert: Beispiel für l e (x) = x = = 10 SV St i Vt i titjtitj

21 21 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS 06 21

22 22 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Das Gefangenendilemma......und die Strategie der Fische

23 23 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Strategien: Kooperieren Verrat Wie du mir so ich dir (Tit for Tat) Erster Zug selbständig, und bei allen folgenden Zügen macht man das, was der Mitspieler beim letzen Zug gemacht hat. Wo finden wir diese Strategie wieder??

24 24 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Tit for Tat bei Stichlingen Verhalten von Stichlingen in Anwesenheit anderer größerer Fische, die entweder Räuber oder Friedfische sind. Gewinn eine Annäherung: Informationsgewinn; je näher desto mehr Informationen Verlust einer Annäherung: Wenn Räuber dann je näher, desto größer die Gefahr, gefressen zu werden Annäherung erfolgt schrittweise und abwechselnd. Das erinnert an Tit for Tat. Prinzipiell kooperativ, aber es gilt ilt auch das Wie du mir, so ich dir Verhalten.

25 25 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Experimentelle Prüfung Ergebnis: Stärkere Annäherung bei Vorspiegelung von Kooperation

26 26 Freie UniversitätBerlin Ioannis Kyrykos Seminar über Algorithmen, Institut für Informatik SS Quellen: Quellen:


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