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7 Bäume = „verzweigte Folgen“ Z.B. Stammbaum, patriarchalisch: Abraham Isaak Jakob Juda.

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Präsentation zum Thema: "7 Bäume = „verzweigte Folgen“ Z.B. Stammbaum, patriarchalisch: Abraham Isaak Jakob Juda."—  Präsentation transkript:

1 7 Bäume = „verzweigte Folgen“ Z.B. Stammbaum, patriarchalisch: Abraham Isaak Jakob Juda

2 weitere Beispiele für Bäume: Organisationsbaum Turnierbaum Lehrbuchstruktur Dateibaum Syntaxbaum Operatorbaum:/ -+ a + d e b c

3 7.1 Modelle für Bäume Bäume als spezielle ungerichtete (i.a. endliche) Graphen: Definition 1: (freier) Baum : kreisfreier, zusammenhängender Graph (E,K) mit E = Menge der Ecken (Knoten, nodes), K = Menge der Kanten (edges) (= symmetrische, zweistellige Relation auf E) Definition 2: (Wurzel-) Baum : (w,B) mit freiem Baum B=(E,K) und Wurzel w aus E (Die Auszeichnung der Wurzel induziert eine Richtung „weg von der Wurzel“)

4 Rekursive Definitionen: Definition 3:Ein geordneter Baum ist eine Folge geordneter Bäume Wenn die Ordnung ignoriert wird: Definition 4:Ein Baum ist eine Multimenge von Bäumen (Äquivalent zu Definition 2 !)

5 Invarianten: Definition 5:Ein n-ärer Baum (n m 1) ist entwederleer oderein k-tupel (k [ n) von n-ären Bäumen Ein n-ärer Baum mit n m 3heißt Vielwegbaum (Mehrwegbaum, multi-way tree) (in der Regel geordnet) n = 2heißt Binärbaum (binärer Baum, binary tree) (in der Regel geordnet) n = 1ist Liste „ohne Werte“

6 Terminologie: Wurzel (root) Teilbaum Unterbaum (ancestor) Vater (parent) Kind (child) (descendant) Blatt innerer Knoten Weg (path) = vertikaler Kantenzug

7 weiter Terminologie: Grad (degree) eines Knotens = Anzahl seiner Kinder = Anzahl der Teilbäume des zugehörigen Unterbaums, d.h. desjenigen Baums, dessen Wurzel der Knoten ist Ebene, Stufe (level) eines Knotens = Weglänge von der Wurzel bis zum Knoten Höhe eines Baums = maximale Ebene/Weglänge

8 weiter Terminolgie: Vollständiger Baum: alle Ebenen sind vollständig besetzt - eventuell mit Ausnahme der untersten

9 Zur Höhe von Binärbäumen: n = Knotenanzahlh = Höhe N(h) = maximale Knotenanzahl bei Höhe h(vollständiger Baum) B(h) = maximale Blätteranzahl bei Höhe h(vollständiger Baum) 1.h [ n-1 h = n-1 : zur Kette entarteter Baum 2.B(h) = 2 h N(h) = 2 h Eine vorgegebene Anzahl n von Knoten kann in einem vollständigen Baum mit minimaler Höhe h = log 2 (n+1) - 1 untergebracht werden (weil N(h) m n).

10 Markierte Bäume= „verzweigte Folgen“ jeder Knoten k trägt Markierung t(k) mit Basistyp T Modell 1:B = { (b,t) |b ist Baum mit Knotenmenge E, t ist Abbildung E -> T } Modell 2:B = { (b,s,t) | b ist nichtleerer Baum mit Knotenmenge E, s ist Abbildung Blätter -> S, t ist Abbildung Nichtblätter -> T }

11 7.2 Spezifikation... am Beispiel markierter Binärbäume, mit minimaler Signatur: Modell: data Tree t = Empty | Node(Tree t) t (Tree t) Invariante: - Signatur: -- Empty :: Tree t -- Node :: Tree t -> t -> Tree t -> Tree t root :: Tree t -> t left, right :: Tree t -> Tree t empty :: Tree t -> Boolean Semantik: root (Node l v r) = v left (Node l v r) = l right(Node l v r) = r empty t = t == Empty


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