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Impulsverzerrungen © Roland Küng, 2013. 2 Impulsverzerrungen T schlechte Lösung gute Lösung, aber wie? 1. Idee Mittelung schlechte Lösung T gute Lösung,

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1 Impulsverzerrungen © Roland Küng, 2013

2 2 Impulsverzerrungen T schlechte Lösung gute Lösung, aber wie? 1. Idee Mittelung schlechte Lösung T gute Lösung, aber wie? T 1. Idee keine Rechteckpulse Noise Übersprechen s(t) s(t) gefiltert

3 3 Übertragungssystem Basisband 2 Fragen: Wie filtere ich im Empfänger so, dass das S/N für den gegebenen Sendeimpuls zum Abtastzeitpunkt maximal wird? Wie forme ich die Impulse aus der Leitungscodierung so, dass trotz der Filterung beim Abtasten im Empfänger keine Interferenz durch Impuls-Verzerrung (Verschmierung) auftritt?

4 4 Aufsplitten der Problematik Empfangsfilter zur Beschränkung Rauschbandbreite Pulsformung für Abtasten ohne Interferenz S(f): Pulsspektrum Sendesignal C(f): Frequenzgang Kanal H(f): Frequenzgang Empfangsfilter 2 Challenges beim Design; gefiltert

5 5 Optimales Filter = Matched Filter Optimale Filterung intuitiv betrachtet: Man gewichtet im Frequenzgang des optimalen Filters genau jene spektralen Anteile, die vom Sendepuls belegt sind und zwar proportional der Belegungsstärke !  Amplitudengang des Empfangsfilters H(f) = Betrag des Pulsspektrum S(f)  Die Fläche unter dem Ausgangsspektrum entspricht der Energie* des Sendepulses 1. Problem: Noise minimieren Sendepuls s(t) │S(f)│ *Note Energie von x(t) nach Parceval Theorem:

6 6 Matched Filter (MF) Matched Filter mathematisch: S(f): Pulsspektrum Sendesignal C(f): Frequenzgang Kanal H(f): Frequenzgang Empfangsfilter T: Symboldauer H(f) ist ein so genanntes Matched Filter wenn: Zum Zeitpunkt T vor dem Abtaster das Verhältnis Pulse p(t) zu Varianz des Rauschsignal n(t) maximal wird Anders formuliert: Signal/Geräuschverhältnis S/N von p(t)+n(t) zur Abtastzeit T soll maximal werden durch die geeignete Wahl von H(f) p(t) habe das Spektrum: Entscheid zum Zeitpunkt kT S e (f)

7 7 Matched Filter (MF) Matched Filter mathematisch betrachtet (ohne Beweis): wird maximal bei weissem Rauschen wenn gilt: das heisst: Mit Vereinfachung* C(f) = 1 wird s e (t) = s(t) und: * konj.komplex Bsp.: *Note: allfällige Kanaldämpfung wird in s(t) berücksichtigt

8 8 Beispiel Matched Filter TtTT/2Tt Betrachtung mit Faltung: Tt 02TT/23T/2 p(t) E S = A 2 p(T) entspricht der Energie des Sendepuls p(T) = A 2

9 9 S/N am Ausgang des MF  Das S/N ist unabhängig von der Pulsform!  Eine Erhöhung ist nur durch Erhöhung der Symbolenergie möglich, also durch mehr mittlere Signalleistung oder längere Symboldauer. Man kann zeigen, dass für das Signal/Geräuschverhältnis S/N nach dem MF gilt: S(f) = Pulsspektrum des Sendesignal s(t) an Empfängereingang N 0 = einseitige Rauschleistungsdichte E s = Impulsenergie von s(t), Symbolenergie am Empfängereingang Mit Rausch- und Signalleistung am Eingang N eq = N 0 B eq, S = E S /T: d.h. äquivalente Rauschbandbreite B eq des MF ist somit: NF 10log B S/N Path Loss -174 dBm/Hz Note: diese Bandbreite ist i.A. nicht mit der Signalbandbreite identisch NF 10log B S/N Path Loss -174 dBm/Hz

10 10 Matched Filter … Korrelator Die zur Zeit t=nT mathematisch äquivalente Grösse liefert der Korrelator Allg. Def: Sender liefert entweder Impuls s 1 (t) oder Impuls s 2 (t)  MF wird auf das Differenzsignal s 1 (t) – s 2 (t) entworfen  Korrelator multipliziert mit Referenz s 1 (t) – s 2 (t), Sync needed! vgl. math. Verwandtschaft Faltung und Korrelation h opt (t)

11 11 Korrelator Korrelatoren sind meist einfacher umzusetzen als Matched Filter Prinzipbild Praktische Ausführung (z.B. FSK) Die Schwelle  0 des Entscheiders liegt in der Mitte der Energiedifferenz der Signale s 1 und s 2 Entscheider mit Hypothese H Wie soll man die Entscheiderschwelle setzen?

12 12 MF – Korrelator: Handhabung MF Kor s(t) FIR

13 13 MF für Rechteckimpuls Für Rechteck-Impulse s(t) :  MF Stossantwort: Rechteckimpuls Spektrum Amplitudengang: sinx/x  Korrelator identisch mit MF  äquivalente Realisation: Integrate & Dump  Alternative Näherung: optimiertes RC-Filter

14 14 fg Matched Filter versus RC Tiefpass N=2 fg = R/2 Butterworth N=4 fg = R/2 Butterworth N=6 fg = R/2 Butterworth N=4 fg = R Butterworth N=4 fg = R/3 Butterworth SNR ↓ ISI ↑ ISI ↓ SNR ↓

15 15 Matched Filter versus RC Tiefpass MF TP4 Butterworth TP4 mit fg = R/2: B für Noise: wie MF Wenig schlechter als MF Wenig ISI fg R(  )  Praktikum FSK Bits 1011

16 16 MF: Intersymbol Interferenz d.h. Realisation mit TP sehr hoher Steilheit Leider: Dauer Impulsantwort >> Bitdauer ≠T≠T Tritt auch bei andern Pulsformen auf z.B. Rechteckpuls nach einer ungeeigneten RC-Tiefpass Filterung Häufige Forderung: Sendepuls soll möglichst wenig Bandbreite benötigen Reduziertes S/N  Problem Nr. 2 : Pulsübersprechen auf Nachbar Bit zu den Abtastzeitpunkten d.h. Intersymbolinterferenz ISI

17 17 Rechteck: Intersymbol Interferenz (ISI)  Erlaubte Filterung Rechteckimpuls: Weniger als 0.75*Rate ergibt ISI Mehr als 0.3*Rate verschlechtert S/N Optimum bei ca. B = 0.5…0.6*Bitrate Source: Mindspeed White Paper NRZ Bandwidth Rechteckpulse Tiefpass gefiltert mit B = 1/2T…1/T sind keine schlechte Wahl B/R SNR B/R ISI-R eye_height/eye_closure Note: eye closure = eye height – eye opening

18 18 Optimaler Lösungsansatz Nyquist Kriterien 1. Kriterium für t=nT Bsp. Spektrum Zeit Augendiagramm Kriterium vertikal: okay Volle Öffnung Entscheider: Schwelle bei 0.5 Problem bei Signal Jitter (horizontal) - Jitter z.B durch Taktregeneration Kriterien für die Pulsform am Ausgang des MF

19 19 Nyquist Kriterien 2. Kriterium für t= nT/2 Bsp: Spektrum Zeit Augendiagramm Spektrum wird breiter: Raised Cosine Kriterien für die Pulsform am Ausgang des MF

20 20 Nyquist Kriterien Bsp. Fig.  = 0.5 Spektrum Zeit Augendiagramm 1. Nyquist Krit. ganz erfüllen 2. Nyquist Krit. so gut wie möglich Bandbreite einstellen mit Roll-off Faktor  Spektrum allg: Kompromiss:

21 21 Aufteilung Filter TX - RX Rauschen macht das Auge zu! Jitter im Abtaster macht das Auge zu! Abhilfe: P(f) nach den Nyquist Kriterien wählen Jitter-arme Abtastregelung entwerfen Problem: P(f) enthält eigentlich 2 Filter in der Übertragungsstrecke: Das den Sendepuls formende Filter S(f) und das passende MF H(f). Lösung: Verteilen der Nyquist Impulsform auf Sender und Empfänger in gleichem Mass: z.B. Root Raised Cosine Filter P.S. Übrige Filter im System tendenziell breitbandig halten  kaum ISI

22 22 Aufteilung Filter TX - RX Einfachste Implementation für Rechteckimpulse s(t) MF mit Rechteck h(t) (oder Integrate & Dump) Spektrum MF-Ausgang erfüllt auch beide Nyquistbedingungen! Nachteil: Kanal muss viel Bandbreite bereitstellen / erlauben Mittels Simulation kann auch eine Lösung mit Rechteck und Tiefpassfilter gefunden werden (vgl. Slide 13) R(  ) 0 T 2T MF IntDump  Optimal Sample Time

23 23 Erkenntnisse MF  Die Pulsform spielt keine Rolle, nur Energie E s  Die äquivalente Noise Bandbreite beträgt  Optimale Detektion mit MF oder Korrelator auf s 1 (t) – s 2 (t)  ISI: Das Ausgangssignal p(t) des Matched Filter/Korrelator sollte näherungsweise die Nyquistkriterien erfüllen  Das Sendepulsspektrum sollte möglichst Bandbreite sparend gewählt sein  Praktische Lösungen: Rechteckpuls Rechteckpuls TP Filter 2.O. R/2 Integrate&Dump TP Filter 2.O. R/2 Root Raised Cosine Sendepulse Root Raised Cosine MF Simple DSP Tx: Rx:

24 24 Bitfehler-Wahrscheinlichkeit - Bit Error Rate = BER - Rauschen sei weiss und Gauss verteilt mit Leistung N = N 0 ∙B eq Entscheidende Frage: Welche BER kann man für ein gegebenes S/N bzw. E b /N 0 bekommen, wenn man alles richtig macht ? 3 Fälle von Signalimpulsen sind zu unterscheiden: Unipolar (On-Off) Polar (Antipodal) Orthogonal A TbTb TbTb TbTb TbTb A TbTb MF: A TbTb -A Entgegengesetzte Symbole Nur ein Symbol A -A

25 25 Noise effects – Beispiel Polar 0˚0˚180˚ 90˚ 270˚ 20 dB SNR 2 dB SNR 0˚0˚180˚ 90˚ 270˚ 10 dB SNR 0˚0˚180˚ 90˚ 270˚ NF 10log B S/N Path Loss -174 dBm/Hz MF:

26 26 Bitfehler-Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit dass der Effektivwert der Entscheider-Spannung den Wert u x ist wie folgt verteilt für Data 0 und Data 1: Signalwerte Schwelle Standardabweichung normiert auf rauschfreien Effektivwert des MF Ausgang zu t=nT: p(0) =  E S Unipolar Schraffierte Fläche (Q-Funktion) führt zu Fehlentscheiden!

27 27 Case: Unipolar Signals On-Off signals –No signal for 0 –Arbitrary signal s(t) for 1 Received waveform Advantage using On-Off signal is simplest implementation TbTb TbTb r(t)= 0,S(t) r>  r<  0 s(t) correlator n0n0 r n0n0    ESES  Rectangular pulses for simplicity A

28 28 Bitfehler-Wahrscheinlichkeit E s = Symbolenergie E b = Bitenergie (Energie/Bit) N 0 = Rauschleistungsdichte (spektral einseitig) Unipolar (0/s) E b = E s /2 muss statistisch auf 2 Bit verteilt werden! MF: Für den binären Kanal folgt: (Beweis im Skript) A TbTb Bsp. S = A 2 E s = A 2 T b TbTb

29 29 Case: Polar Signal Two possible transmitted signal s(t) and –s(t) e.g. or Matched Filter or Correlator r(t) s(t),-s(t) detector Output decision Sample at t = T b correlator Matched Filter TbTb ESES TbTb -E S Correlator output s(t) -s(t) TbTb TbTb Rectangular pulses for simplicity TbTb TbTb A -A

30 30 Bitfehler-Wahrscheinlichkeit E s = Symbolenergie E b = Bitenergie N 0 = Rauschleistungsdichte (spektral einseitig) Polar (+s/-s) Vergleich mit unipolar: Gleiche BER wie unipolar erreichbar für ¼ S/N, bzw. ½ E b /N 0 E b = E s MF: p(0) = MF output zur Zeit kT Bsp. S = A 2 E s = A 2 T b TbTb TbTb A -A

31 31 Case: Orthogonal Signal Two possible transmitted signal s 0 (t) and s 1 (t) Correlator output (at t = T 0 ) A TbTb A TbTb S 0 (t) S 1 (t) -A r(t)= S 0 (t)+n(t) orthogonal Signal energy Noise component E S + n 0 Rectangular pulses for simplicity

32 32 Output of matched filter delivers same result at t = T b : r(t)= S 0 (t) T b 2T b ESES TbTb TbTb TbTb ESES E S + n 0 Case: Orthogonal Signal For r(t) = s 1 (t): same result but with interchanged output signals

33 33 Bitfehler-Wahrscheinlichkeit E s = Symbolenergie E b = Bitenergie N 0 = Rauschleistungsdichte (spektral einseitig) Orthogonal (s 1 /s 2 ) Vergleich mit unipolar: Gleiche BER wie unipolar erreichbar für ½ S/N, bzw. gleiches E b /N 0 E b = E s Vergleich der beiden Ausgänge s 1,s 2 Schwelle: Diagonale A TbTb MF: A TbTb -A Bsp. S = A 2 E s = A 2 T b MF:

34 34 Bitfehler-Wahrscheinlichkeit Note: In Lit. wird oft bipolar oder antipodal anstatt polar verwendet and orthogonal

35 35 Praxis: Best Case BER and orthogonal NF 10log B S/N Path Loss -174 dBm/Hz MF: B = B eq = 1/2T orthogonal E b = E s unipolar E b = E s /2 polar E b = E s MF:

36 36 Beispiel: Best Case BER and orthogonal Linkbudget: EIRP = 0 dBm, G r = 3dB Path Loss 110 dB NF = 8 dB N 0 = -174 dBm/Hz + NF Bitrate R = 200 kBit/s Polar Impuls P r = -107 dBm B eq = 100 kHz N = -116 dBm  S/N = 9 dB 2E s /N 0 = 9 dB, E s /N 0 = E b /N 0 = 6 dB Curve Polar BER = 3·10 -3

37 37 Vergleich mit S/N oder Eb/N0 Ist unipolar in Praxis wirklich gleich gut wie orthogonal? Bei gleichviel aufgewendeter Energie pro Bit: ja die beiden haben gleiche BER TbTb TbTb A TbTb A TbTb S 0 (t) S 1 (t) -A  2A Für Systeme die nur Energie limitiert sind ist Aussage also richtig z.B. Batteriebetriebene Systeme die möglichst lange arbeiten sollen, Satellitensender, Wireless Sensor Netzwerke Für Systeme mit Sendern die in der Spitzenleistung limitiert sind ist die Aussage falsch z.B. in EIRP regulierten Funksysteme ist unipolar 3 dB schlechter i.A. Short Range Devices P.S.: Implementationsverluste nicht berücksichtigt

38 38 Alternative1: Signal Space Concept (  E S,0) (-  E S,0) (  E S,0) (0,0) (  E S,0) (0,  E S ) Polar signal is 3dB more efficient than orthogonal signal –Polar signal gives better performance (3dB) with same signal Energy E S On Off performance is 6 dB worse than Polar signal and 3 dB worse than Orthogonal signal –Average transmitted signal energy (E b ) is 3dB less than Polar and Orthogonal signal For same E s : E s = Pulse Energy Im Signalraum Darstellung E s eintragen und Distanz D bestimmen und in BER Formel einsetzen: Noise Free case Polar On-Off Orthogonal

39 39 Alternative 2: BER – Allg. Fall s 1,s 2 : verwendete Symbole Bestimme Energie des Differenzsignals Setze E d ein in der allg. BER Beziehung P.S. Methode gibt immer das richtige Resultat für alle Signaltypen Mathematisch einfacher zu berechnen via Energie des Differenzsignals: Virtueller äquivalenter Detektor: Betrachtet man als Eingangssignal das Differenzsignal s i (t) = ±(s 1 (t) – s 2 (t)), so benutzt man ein MF oder Korrelator auf das Differenzsignal s 1 (t) – s 2 (t) und eine Entscheiderschwelle  0 bei 0.

40 40 Erkenntnisse BER (  E S,0) (0,0) On-Off (  E S,0) (-  E S,0) Polar (  E S,0) (0,  E S ) Orthogonal Praxis Case1: Sendeleistung ist reguliert: S konstant, S = E S /T  E S Praxis Case2: Batterie Kapazität begrenzt: E b konstant > > > = Note:

41 41 Summary Ein Optimalfilter (Matched Filter) ist eine Art Mittelungsfilter Es maximiert das Signal zu Geräuschverhältnis des Empfangsignals Sein Amplitudengang ist identisch mit Betrag des Spektrum des Signalpulses Seine Stossantwort ist die zeitlich gespiegelte Form des gesendeten Signals. Ist die Stossantwort symmetrisch, so kann das gleiche Filter für Empfänger und Sender benutzt werden Das Root raised cosine Filter ist ein solches Matched Filter, welches auch noch die Intersymbol Interferenz reduziert Integrate & Dump Filter sind nur für Rechtecksignale Matched Filter Weitere systembedingte Filter (Kanal) machen das Optimalfilter nicht ideal aber sind meist immer noch der beste Praxis Ansatz Das Matched Filter minimiert die BER des Empfangsignals. Die BER Gleichungen gehen immer von der Annahme aus, dass ein Matched Filter verwendet wurde Bei fixer Sendeleistung gilt für BER unipolar > orthogonal > polar Allg. berechnet man die BER mit der Q-Funktion und der Energie des Differenzsignals der für die Bitwerte 0 und 1 benutzten Pulse

42 42 The 10 $ Question Welche Signalform ist besser: ±1 Polar oder das abgebildete y 1 (t), y 2 (t) - Signal Vgl. Polar  Beide haben die gleiche BER. Vorteil von y(t): RZ Format  Takt Nachteil von y(t): Doppelter Leistungsverbrauch (4-fach Peak Power) Check: Das Differenz Matched Filter liefert S/N = E d /2N 0 mit E d ~ Amplitude 2 No free lunch !

43 43 Polarer Standardimpuls mit gleicher BER würde Amplitude ±  2 benötigen. L: polar (antipodal) Signaltyp ? BER ? Zeige dass ein unipolarer Impulse mit Amplitude 2 und der polare Impuls mit Amplitude ±1 die gleiche BER Kurve ergeben Weitere 10 $ Fragen 1) 2) L: ja, denn für beide wird Ed = 4T Eb polar = T, Eb uni = 2T S 1 (t) S 2 (t) t t T T

44 44 a) Ed = 4T/2 = 2T Es = Eb = T b) Ed = T Es = Eb = T/2 für Eb a) = Eb b) muss Amplitude von b)  2 grösser sein Orthogonal ? BER ? Weitere 10 $ Fragen a) b) L: ja orthogonal 3)


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