Ein Vortrag von Maria Schmid am

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1 Ein Vortrag von Maria Schmid am 09.05.2014
II III IV V Abel und Galois Ein Vortrag von Maria Schmid am

2 Abel und Galois Gliederung I II
IV V I - Das Leben des N. H. Abel II - Abels Werke III - Das Leben des E. Galois IV - Die Galois-Theorie V - Quellen

3 Das Leben des N. H. Abel Gliederung zu I. I II III IV V
Namensentwicklung Herkunft Schulbildung Studium Reise Krankheit/Tod Sonstiges N. H. Abel [1]

4 Das Leben des N. H. Abel Gliederung zu I. I II 1. Namensentwicklung
IV V 1. Namensentwicklung Namensentwicklung Herkunft Schulbildung Studium Reise Krankheit/Tod Sonstiges

5 Mathias und Jacob aus Abild
Das Leben des N. H. Abel Mathias und Jacob aus Abild Abelboe Abell Abel I 1 II III IV V

6 Das Leben des N. H. Abel Gliederung zu I. 2. Herkunft I II III IV V
Namensentwicklung Herkunft Schulbildung Studium Reise Krankheit/Tod Sonstiges 2. Herkunft

7 Das Leben des N. H. Abel I II III IV V [2]

8 Das Leben des N. H. Abel Gliederung zu I. 3. Schulbildung I II III IV
Namensentwicklung Herkunft Schulbildung Studium Reise Krankheit/Tod Sonstiges 3. Schulbildung

9 Das Leben des N. H. Abel I II III IV V
„Mit einem ausgesprochenen Genie vereinigt er einen unstillbaren Eifer und ein Interesse für Mathematik, daß er der größte Mathematiker der Welt werden kann, wenn er lange genug lebt.“ B. Holmboe [3] B. M. Holmboe [1]

10 Das Leben des N. H. Abel Gliederung zu I. 4. Studium I II III IV V
Namensentwicklung Herkunft Schulbildung Studium Reise Krankheit/Tod Sonstiges 4. Studium

11 Das Leben des N. H. Abel I II III IV V Christine Kemp [1]

12 Das Leben des N. H. Abel Gliederung zu I. 5. Reise I II III IV V
Namensentwicklung Herkunft Schulbildung Studium Reise Krankheit/Tod Sonstiges 5. Reise

13 Das Leben des N. H. Abel I II III IV V A. L. Crelle [1] [1]

14 Das Leben des N. H. Abel Gliederung zu I. 6. Krankheit/Tod I II III IV
Namensentwicklung Herkunft Schulbildung Studium Reise Krankheit/Tod Sonstiges 6. Krankheit/Tod

15 Das Leben des N. H. Abel I II III IV V

16 Das Leben des N. H. Abel Gliederung zu I. 7. Sonstiges I II III IV V
Namensentwicklung Herkunft Schulbildung Studium Reise Krankheit/Tod Auszeichnungen 7. Sonstiges

17 Das Leben des N. H. Abel I II III IV V
1830: Großer Preis für Mathematik (zusammen mit Jacobi) 1952: Wiederentdeckung der Pariser Abhandlung 2000: Einführung des Abel-Preises als Ersatz für Mathematik-Nobelpreis

18 Abels Werke I II III IV V Abelsche Gruppe
Eine Gruppe (G,*) heißt abelsch, wenn sie kommutativ ist, also a*b=b*a  a,b  G I II III IV V Entwicklung des Struktursatzes für endliche kommutative Gruppen in impliziter Form Einführung von abelsch für zugehörige Zerfällungskörper Übertragung auf Gruppen

19 Abelscher Grenzwertsatz
Abels Werke Abelscher Grenzwertsatz Die Potenzreihe x ↦ 𝑘=0 ∞ 𝑎 𝑘 (𝑥− 𝑥 0 ) 𝑘 in IK besitzt den Konvergenzradius R  ]0,[ und konvergiert auch in einem Punkt x1 auf dem Rande des Konvergenzbereichs mit Summe s. Dann konvergiert die durch die Reihe dargestellte Funktion x ↦ f(x) bei radialer Annäherung x an x1 gegen den Wert s. Im Falle IK = ℝ kann also die Funktion x ↦ f(x) durch f(x1) := s stetig fortgesetzt werden. I II III IV V

20 Abels Begründen der Theorie der elliptische Funktionen
Abels Werke Abels Begründen der Theorie der elliptische Funktionen Sei 𝑓 𝑥 =𝑎∙ 0 𝑥 1− 𝜀 2 co𝑠²(𝑡) 𝑑𝑡 mit Winkel x Bogenlänge f(x) Halbachsen a, b numerischer Exzentrizität 𝜀= 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑎 I II III IV V

21 Sind Gleichungen vom Grad 𝒏≥𝟓 auflösbar durch Radikale?
Abels Werke Sind Gleichungen vom Grad 𝒏≥𝟓 auflösbar durch Radikale? Ruffini: keine allgemeine Lösungsformel Gauß: Auflösung für spezielle Gleichungen, z. B. Kreisteilungsgleichungen Abel: eigenständiger Schluss, lückenloser Beweis I II III IV V

22 Das Leben des E. Galois Gliederung zu III. I II III IV V
Erste Lebensjahre 1827 1831 1832 Was bleibt E. Galois [4]

23 Das Leben des E. Galois Gliederung zu III. I II 1. Erste Lebensjahre
IV V 1. Erste Lebensjahre Erste Lebensjahre 1827 1831 1832 Was bleibt

24 Das Leben des E. Galois I II III IV V [7]

25 Das Leben des E. Galois Gliederung zu III. I II III 2. 1827 IV V
Erste Lebensjahre 1827 1831 1832 Was bleibt

26 Das Leben des E. Galois I II III IV V
„Galois gab Cauchy die Schuld, das Manuskript verloren zu haben, aber andere Dokumente lassen vermuten, daß Cauchy Galois dazu gedrängt habe, den Artikel zu überarbeiten und auszuweiten. Es ist möglich, daß Galois etwas paranoid war […]“ [4]

27 Das Leben des E. Galois Gliederung zu III. I II III IV 3. 1828-1830 V
Erste Lebensjahre 1827 1831 1832 Was bleibt

28 Das Leben des E. Galois I II III IV V
École Polytechnique - Aufnahmeprüfung Collége Louis-le-Grand (für Bakkalaureat) École Polytechnique – Aufnahmeprüfung École Normale I II III IV V

29 Das Leben des E. Galois I II III IV V [10]

30 Das Leben des E. Galois Gliederung zu III. I II III IV V 4. 1831
Erste Lebensjahre 1827 1831 1832 Was bleibt

31 Das Leben des E. Galois I II III IV V
„…die Kommission [hat] a priori angenommen, daß ich diese Aufgabe nicht gelöst haben könne; in erster Linie deshalb, weil ich Galois heiße, und außerdem, weil ich ein Student war. Und man sagte mir, daß mein Manuskript verlorengegangen sei “ [6]

32 Das Leben des E. Galois I II III IV V
„Ich möchte hier nicht sagen, wie und warum ich im Gefängnis sitze. Vielmehr möchte ich berichten, dass meine Manuskripte derart oft in den Kisten der Messieurs Mitglieder des Instituts verloren gegangen sind, obwohl ich mir in Wahrheit eine solche Gedankenlosigkeit von Seiten derjenigen, die Abels Tod auf dem Gewissen haben, nicht vorstellen kann.“ [5] I II III IV V „Ein Auszug einer […] Arbeit wurde 1831 bei der Akademie eingereicht und Monsieur Poisson zu Begutachtung übergeben; er erklärte, daß er nichts davon verstanden habe. Nach meiner arroganten Meinung ist dies einfach ein Beweis dafür, daß Monsieur Poisson meine Arbeit nicht verstehen wollte oder nicht verstehen konnte. Doch in den Augen der Öffentlichkeit wird es gewiß als Beweis erscheinen, daß meine Arbeit sinnlos ist. [6]

33 Das Leben des E. Galois Gliederung zu III. I II III IV V 5. 1832
Erste Lebensjahre 1827 1831 1832 Was bleibt

34 Das Leben des E. Galois I II III IV V [11]

35 Das Leben des E. Galois I II III IV V
„Ich sterbe als Opfer einer niederträchtigen Kokotte. In einer elenden Streiterei wird mein Leben ausgelöscht.“ [5] I II III IV V „Ich sterbe als Opfer einer infamen Verführerin und zweier von ihr Betrogener.“ [4] Er bat, ihm „ nicht vorzuwerfen, für etwas anderes als mein Land zu sterben“ [4] „Weine nicht. Ich brauche meinen ganzen Mut, um mit zwanzig zu sterben.“ [4]

36 Das Leben des E. Galois I II III IV V
„Der junge Évariste Galois … kämpfte mit einem seiner alten Freunde, einem jungen Mann wie er selbst, […] und von dem ebenfalls bekannt ist, daß er in einem politischen Prozeß vor Gericht stand. Es wird gesagt, daß Liebe die Ursache des Kampfes war. Die Gegner hatten die Pistole als Waffe gewählt, aber aufgrund ihrer alten Freundschaft konnten sie es nicht ertragen, sich in die Augen zu sehen, und überließen die Entscheidung dem Schicksal. In geringstem Abstand erhielt jeder eine Pistole und feuerte. Nur eine war geladen.“ [4]

37 Das Leben des E. Galois Gliederung zu III. I II III IV V 6. Was bleibt
Erste Lebensjahre 1827 1831 1832 Was bleibt 6. Was bleibt

38 Das Leben des E. Galois I II III IV V
aufbrausend, wütend, unverstanden, enttäuscht, depressiv, erbarmungslos gegenüber allen, die weniger talentiert sind als er Politik Mathematik 1846: Liouville, Hermite 1855: Dedekind 1870: Jordan

39 Galois-Theorie Gliederung zu VI. I II III IV V
Erfolge vor Galois und Abel Galois Erkenntnis Galois Methode

40 Erfolge vor Galois und Abel
Galois-Theorie Erfolge vor Galois und Abel I II III IV V Lineare Gleichungen: 𝑎𝑋+𝑏=0 Lösung: 𝑋=− 𝑏 𝑎 Quadratische Gleichungen: 𝑎 𝑋 2 +𝑏𝑋+𝑐=0 Lösung: 𝑋 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 al-Hwarizmi

41 Erfolge vor Galois und Abel
Galois-Theorie Erfolge vor Galois und Abel I II III IV V Kubische Gleichung: 𝑋 3 +𝑎 𝑋 2 +𝑏𝑋+𝑐=0 Tschirnhaus-Transformation (X→𝑥=𝑋+ 𝑎 3 ): 𝑥³+𝐴𝑥+𝐵=0 Cardanosche Formel: 𝑢 1 , 𝑣 1 = 3 − 𝐵 2 ± 𝐵 𝐴 2 3 Lösungen: 𝑥 1 = 𝑢 1 + 𝑣 1 𝑥 2 = 𝑒 2𝜋𝑖 3 𝑢 1 + 𝑒 2𝜋𝑖 3 2 𝑣 1 𝑥 3 = 𝑒 2𝜋𝑖 3 2 𝑢 1 + 𝑒 2𝜋𝑖 3 𝑣 1

42 Galois-Theorie Galois Erkenntnis I II III IV V
Eine Gleichung ist genau dann mit Radikalen auflösbar, das heißt ihre sämtlichen Lösungen sind gleich geschachtelten Wurzelausdrücken, deren Radikanden auf Basis der Koeffizienten und der vier Grundrechenarten darstellbar sind, wenn ihre Galois-Gruppe auflösbar ist. [8]

43 Galois-Korrespondenz
Galois-Theorie Galois Methode I II III IV V Galois-Korrespondenz ≔𝐺𝑎𝑙(ℚ 2 , 3 ∕ℚ) [9]

44 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit
II III IV V Vielen Dank für die Aufmerksamkeit

45 Bild- und Textnachweis
[1] Stubhaug, Arild: Ein aufleuchtender Blitz. Niels Henrik Abel und seine Zeit, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, [2] k003.jpg ( ). [3] Meschkowski, Herbert: Mathematiker-Lexikon, Bibliographisches Institut Mannheim, [4] Pesic, Peter: Abels Beweis, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, [5] Mankiewicz, Richard: Zeitreise Mathematik. Vom Ursprung der Zahlen bis zur Chaostheorie, vgs Köln, [6] Wußing, Hans u. a.: Biographien bedeutender Mathematiker. Eine Sammlung von Biographien, Aulis Verlag Deubner & Co KG Köln, [7] _vor_dem_Beginn_der_Freiheitskriege_1813.jpg ( ). [8] Bewersdorff, Jörg: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, 4. Auflage, Vieweg + Teubner Wiesbaden, [9] Hauptsatz.pdf( ). [10] [11] I II III IV V

46 Quellenverzeichnis I II III IV V
Bewersdorff, Jörg: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, 4. Auflage, Vieweg + Teubner Wiesbaden, Fischer, Gerd: Lehrbuch der Algebra. Mit lebendigen Beispielen, ausführlichen Erläuterungen und zahlreichen Bildern, Vieweg & Sohn Verlag Wiesbaden, Fröba, Stephanie und Alfred Wassermann: Die bedeutendsten Mathematiker, Matrix Verlag Wiesbaden, Grieser, Daniel: Grundideen der Galoistheorie. Eine Kurzeinführung für Interessierte (fast) ohne Vorkenntnisse, in: /Grundideen_ Galois.pdf ( ). Hellweg, Thomas: Meister von Raum & Zahl. Mathematikerportraits aus drei Jahrtausenden, Centaurus Verlag Freiburg, Holz, Michael: Repetitorium der Algebra, 2. Auflage, Binomi Verlag Hannover, Mankiewicz, Richard: Zeitreise Mathematik. Vom Ursprung der Zahlen bis zur Chaostheorie, vgs Köln, Meschkowski, Herbert: Mathematiker-Lexikon, Bibliographisches Institut Mannheim, Pesic, Peter: Abels Beweis, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Richter, Birigt: Gleichungen 5. Grades, in: ndw2013.pdf ( ). Scholz, Erhard: Geschichte der Algebra. Eine Einführung, Bibliographisches Institut Mannheim, Strick, Heinz Klaus: Niels Henrik Abel, in: mai_2009_abel.pdf ( ). Stubhaug, Arild: Ein aufleuchtender Blitz. Niels Henrik Abel und seine Zeit, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Wußing, Hans u. a.: Biographien bedeutender Mathematiker. Eine Sammlung von Biographien, Aulis Verlag Deubner & Co KG Köln, Hinweis: Bildquellen siehe Bildnachweis, zusätzliche Verwendung der Vorlesungsmitschriften verschiedener Professoren, Fächer und Semester. I II III IV V