Vorlesung Compilertechnik Sommersemester 2009 Optimierung M. Schölzel.

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1 Vorlesung Compilertechnik Sommersemester 2009 Optimierung M. Schölzel

2 2 Einbettung der Optimierung in den Compiler Gründe für die Optimierung: Vom Frontend generierter Zwischencode ist ineffizient, da er aus der Struktur des Quellprogramms entstanden ist und sich nicht an der Zielarchitektur orientiert. Programmierer schreiben "verbesserungsfähigen" Quellcode. Parser Quell- text Scanner Zwischen code und Symbol- tabelle Zwischen code und Symbol- tabelle Ziel- code Zielcode- erzeugung Zielcodeunab- hängige Optimierungen Kontext- prüfung Zielcodeabhängige Optimierungen Frontend Backend

3 3 Klassifizierung der Optimierung Eliminierung redun- danter Berechnungen, Berechnung konstanter Ausdrücke, Codeverschiebung LokalGlobal Maschinenunabhängig Maschinenabhängig Registerplanung Eliminierung redun- danter Berechnungen, Berechnung konstanter Ausdrücke Registerplanung, Zielcodeauswahl

4 4 Grundbegriffe (1) S = (N,E,q,s) sei ein Steuerflussgraph. N = {b 0,…,b n } sind die Basisblöcke im Steuerflussgraphen, wobei ir 0 (b i ),…,ir #(b i ) (b i ) die Folge der 3-Adress-Code-Anweisungen in b i ist. Über b 0 = q wird S betreten und über b 1 = s (z.B. return ) verlassen. Eine Programmposition ist ein Tupel (i,j) wobei damit die Position unmittelbar vor der 3-Adress-Code-Anweisung ir j (b i ) gemeint ist. Mit (0,0) wird Startposition und mit (1,0) Stoppposition bezeichnet. Ein Pfad im Steuerflussgraphen von Programmposition (i,j) zur Programmposition (m,n) ist eine Folge 0,…, k von 3-Adress-Code- Anweisungen, für die gilt: 0 … k kann in 3-Adress-Code-Folgen 0 … c = 0 … k zerlegt werden, so dass: z = ir 0 (b a z )…ir #(b a z ) (b a z ) für 1 z < c und ( 0 = ir j (b a 0 )…ir #(ba 0 ) (b a 0 ) und c = ir 0 (b a c )…ir n-1 (b a c ) falls c > 0) oder ( 0 = ir j (b a 0 )…ir n-1 (b a 0 ) falls c = 0) und (b a 0, b a 1 ),(b a 1, b a 2 ),…,(b a c-1, b a c ) E

5 5 Beispiel 0: Function f: 1: t0 := 1 2: fak = t0 3: while_0_cond: 4: t1 := n 5: t2 := 0 6: t3 := t1 > t2 7: t4 := not t3 8: if t4 then while_0_end 9: t5 := fak 10: t6 := n 11: t7 := t5 * t6 12: fak := t7 13: t8 := n 14: t9 := 1 15: t10 := t8 – t9 16: n := t10 17: goto while_0_cond 18: while_0_end: 19: t11 := fak 20: return t11 t0 := 1 fak = t0 t1 := n t2 := 0 t3 := t1 > t2 t4 := not t3 if t4 then 21 t11 := fak f = t11 t5 := fak t6 := n t7 := t5 * t6 fak := t7 t8 := n t9 := 1 t10 := t8 – t9 n := t10 0 3 4 6 7 8 10 return f 21 22 1 9 11 12 13 14 15 16 17 18

6 6 …… Qualität des Modells Steuerflussgraph modelliert alle möglichen Abarbeitungspfade des Programms, unabhängig davon, ob alle diese Pfade bei der Ausführung des Programms betreten werden können. Falls Turingmaschine i auf Eingabe i nach n Schritten stoppt, dann gibt es eine Eingabe n, so dass 4 nach 2 ausgeführt wird, sonst nicht. if (TM i (i) n) then 4 Eingabe von n 0 2 34 … 1

7 7 Grundbegriffe (2) Verwendung einer Variablen v: Eine Variable v wird in der Zwischencodeanweisung ir i (j) verwendet, falls ir i (j) eine der Formen x := v, x := v, x := y v, x := v y, x := @v, @v := x, return v, if v then goto label, x := (Type) v, x := call f(…,v,…) hat. Definition einer Variablen v: Eine Variable v wird in der Zwischencodeanweisung ir i (j) definiert, falls ir i (j) eine der Formen v := … hat. Eine definierende Anweisung für v ist eine Anweisung, die v definiert. Eine verwendende Anweisung für v ist eine Anweisung, die v verwendet. Erreichende Definition: Die Definition einer Programmvariablen v erreicht eine Verwendung von v, falls es einen Pfad im Steuerflussgraphen von dieser Definition zur Verwendung gibt, auf dem keine andere Definition von v liegt.

8 8 Beispiel Erreichende Definitionen t0 := 1 fak = t0 t1 := n t2 := 0 t3 := t1 > t2 t4 := not t3 if t4 then while_0_end 0 3 4 6 7 8 10 9 Definition zu einer Verwendung ist in unverzweigtem Steuerfluss einfach zu finden. t0 := 1 fak = t0 t1 := n t2 := 0 t3 := t1 > t2 t4 := not t3 if t4 then while_0_end t11 := fak kgv = t11 t5 := fak t6 := n t7 := t5 * t6 fak := t7 t8 := n t9 := 1 t10 := t8 – t9 n := t10 0 3 4 6 7 8 10 return kgv 21 22 1 9 11 12 13 14 15 16 17 18 Definition zu einer Verwendung ist bei Verzweigungen im Steuerfluss schwieriger zu finden.

9 9 Grundidee Datenflussanalyse am Beispiel der Erreichenden Definitionen t1 := 1 t1 := n t3 := t1 > t2 if t3 then while_0_end Es gibt eingehende Informationen I in einen Knoten: I = in(2) Durch die Anweisung(en) in einem Knoten werden Informationen zerstört: I := I – Kill(2) Durch die Anweisung(en) in einem Knoten werden neue Informationen generiert: I := I Gen(2) 0 1 2 t2 := 2 Es entstehen ausgehende Informationen an einen Knoten: out(2) 3 4 in(2) = {(t2,0),(t1,1)} out(2) = {(t2,0),(t1,2)} Gen(2) = {(t1,2)} Kill(2) = {(t1,i) | i }

10 10 Transferfunktion für einen Basisblock Steuerfluss in einem Basisblock i mit den Anweisungen ir 0 (i),…,ir #i (i) ist bekannt. Damit ist die Transferfunktion für diesen Basisblock: Vereinfachung der Transferfunktion zu out(i) = (in(i) – kill(i)) gen(i). t1 := 1 t1 := n t3 := t1 > t2 if t3 then while_0_end 0 1 2 t2 := 2 3 4 in(i) - Kill(0) Gen(0) - Kill(1) Gen(1) - Kill(2) Gen(2) - Kill(3) Gen(3) - Kill(4) Gen(4) out(i)

11 11 Datenflussanalyse bei Verzweigungen im Steuerflussgraphen Ausgehende Informationen out(i) gelangen zu jedem Steuerflussnachfolger von i. Treffen Informationen von mehreren Steuerflussvorgängern zusammen, müssen diese zu einer eingehenden Information zusammengefasst werden. … t3 := t1 + t2 … t0 := t1 – t9 … t2 := t3 * t5 … Transformiert eingehende Informationen Ausgehende Informationen I I I Hier müssen Informationen kombiniert werden Transformiert eingehende Informationen

12 12 Grundprinzip Datenflussanalyse Informationen I breiten sich entweder mit oder gegen den Steuerfluss aus. Für jeden Knoten b gibt es: Eingehenden Informationen: in(b), ausgehende Informationen: out(b), erzeugte Informationen: gen(b), zerstörte Informationen: kill(b). Abhängig von der Ausbreitungsrichtung der Informationen sind: Vorwärtsanalyse: in(b) = out(b 1 ) out(b 2 ) … out(b n ), wobei die b i die Steuerflussvorgänger von b sind und out(b) = (in(b) – kill(b)) gen(b) (Transferfunktion genannt) Rückwärtsanalyse: out(b) = in(b 1 ) in(b 2 ) … in(b n ), wobei die b i die Steuerflussnachfolger von b sind und in(b) = (out(b) – kill(b)) gen(b) (Transferfunktion genannt) Durch den Steuerflussgraphen wird eine Mengengleichungssystem definiert. Falls der Steuerflussgraph Zyklen enthält, ist das Mengengleichungssystem rekursiv; Lösung durch Fixpunktiteration.

13 13 Information Erreichende Definitionen An einer Programmposition (i,j) interessiert für eine Variable v, an welchen Programmpositionen der Wert der Variablen v definiert und bis zur Position (i,j) nicht mehr verändert wurde. Menge aller Informationen: (( ) V) Vorwärtsanalyse mit := gen(b i ) := {((i,j),v) | ir j (i) ist letzte Definition von v in b i } kill(b i ) := {((m,n),v) | m, n und b i enthält eine Definition von v} t0 := a t1 := b t2 := t0 + t1 t0 := t2 – t0 t0 := b t3 := t2 t4 := t3 * t2 t2 := t2 – t4 in(b 2 ) = in(b 3 ) = in(b 4 ) = in(b 1 ) = gen(b 3 ) = {((3,1),t0)} kill(b 3 ) = {((m,n),t0)} gen(b 4 ) = {((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)} kill(b 4 ) = {((m,n),t3), ((m,n),t4), ((m,n),t2)} gen(b 2 ) = {((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)} kill(b 3 ) = {((m,n),t0), ((m,n),t1), ((m,n),t2)} out(b 0 ) = out(b 2 ) = out(b 3 ) = out(b 4 ) = {((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)} {((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)} {((3,1),t0)} {((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)} {((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)} {((3,1),t0)} {((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)} {((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)} {((2,1),t1), ((2,2),t2), ((3,1),t0)} {((2,0),t0), ((2,1),t1)} {((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)} {((2,0),t0), ((2,1),t1), ((2,2),t2)} {((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)} {((2,1),t1), ((2,2),t2), ((3,1),t0), ((2,0),t0), ((4,0),t3), ((4,1),t4), ((4,2),t2)} b2b2 b3b3 b4b4 b1b1 b0b0

14 14 Information Lebendige Variablen An einer Programmposition (i,j) interessiert für eine Variable v, ob es einen Pfad zu einer Programmposition gibt, an der v verwendet wird, ohne auf diesem Pfad definiert zu werden. Menge aller Informationen: (V) Rückwärtsanalyse mit := gen(b i ) := {v | ir j (i) ist Verwendung von v und für alle 0 k < j gilt: ir k (i) ist keine Definition von v} kill(b i ) := {v | v wird in b i definiert} t0 := a t1 := b t2 := t0 + t1 t0 := t2 – t0 t0 := b t3 := t2 t4 := t3 * t2 t2 := t2 – t4 gen(b 3 ) = {b, t2, t0} kill(b 3 ) = {t0} gen(b 4 ) = kill(b 4 ) = gen(b 2 ) = {a,b} kill(b 2 ) = {t0,t1,t2} gen(b 4 ) = {t2} kill(b 4 ) = {t2,t3,t4} in(b 0 ) = in(b 2 ) in(b 2 ) = (in(b 3 ) in(b 4 ) – kill(b 2 )) gen(b 2 ) in(b 3 ) = (in(b 1 ) – kill(b 3 )) gen(b 3 ) in(b 4 ) = ((in(b 4 ) in(b 1 )) – kill(b 4 )) gen(b 4 ) b2b2 b3b3 b4b4 b1b1 b0b0

15 15 Kopier- / Konstanten-Popagierung Ersetze die Verwendung der Variablen y in einer Anweisung ir i (j) durch z falls: auf allen Pfaden von Programmposition (0,0) zur Programmposition (j,i), eine Anweisung ir n (m) = "y := z" existiert und es auf allen Pfaden von Positionen (m,n+1) zur Position (j,i) keine definierende Anweisung für y und z gibt. Nach der Ersetzung kann es sein, dass die Variable y nicht mehr benutzt wird. z darf eine Variable (copy propagation) oder Konstante (constant propagation) sein. Constant Folding: Ersetze Zwischencodeanweisungen der Form x := y z bzw. x := z durch x := k, falls y und z konstant sind und k das Ergebnis der Operation ist. t0 := 7 x := t0 t1 := x t2 := y t3 := t1 + t2 z := t3 t0 := 8 y := t0 t1 := x t2 := y t3 := t1 + t2 z := t3 t0 := y t1 := x y darf durch t0 ersetzt werden y darf nicht durch t0 ersetzt werden

16 16 Information für Kopier-/Konstanten-Propagierung Berechnung der Information Erreichende Kopien RC(x) = in(x) für Knoten x im Steuerflussgraphen S = (N,E,q,s) durch eine Datenflussanalyse mit den Parametern: Menge aller Informationen: ({x:=y | x:=y ist Kopierbefehl im Programm}) Vorwärtsanalyse mit := gen(b i ) := {x:=y | x:=y ist Zwischencodebefehl ir k (b i ) und in allen Zwischencodebefehlen ir k+1 (b i )… ir #b i (b i ) wird weder x noch y definiert} kill(b i ) := {x:=z | x wird in Block b i definiert und x:=z ist Kopieranweisung im Programm} {z:=x | x wird in Block b i definiert und z:=x ist Kopieranweisung im Programm} t0 := 7 x := t0 t1 := x t2 := y t3 := t1 + t2 z := t3 t0 := 8 y := t0 t1 := x t2 := y t3 := t1 + t2 z := t3 t0 := y t1 := x 2: 1: 3:4: "t0:=8","y:=t0" "t1:=x","t2:=y","z:=t3"

17 17 Kopier-/Konstanten-Propagierung im Basisblock In einem Basisblock b wird die Verwendung von x in Anweisung i durch y ersetzt, falls: x := y in(b) und in allen Anweisungen k mit 0 k < i weder x noch y definiert werden oder Anweisung j < i die Form x := y hat und in allen Anweisungen k mit j < k < i weder x noch y definiert werden. Diese Ersetzung muss gegebenenfalls wiederholt werden, bis keine weiteren Ersetzungen möglich sind. t0 := 7 x := t0 t1 := x t2 := y t3 := t1 + t2 z := t3 t0 := 8 y := t0 t1 := x t2 := y t3 := t1 + t2 z := t3 t0 := y t1 := x 2: 1: 3:4: "t0:=8","y:=t0" "t1:=x","t2:=y","z:=t3" t0 := 7 x := 7 t1 := 7 t2 := y t3 := 7 + y z := t3 t0 := 8 y := 8 t1 := x t2 := t0 t3 := t1 + t2 z := t3 t0 := y t1 := x 2: 1: 3:4: t1 := x t2 := 8 t3 := x + 8 z := t3 Erneute Informationssammlung ergibt, dass y durch 8 ersetzt werden darf

18 18 Eliminierung toten Codes Eine Zwischencodeanweisung ir i (j) = "x := e" kann aus dem Zwischencode entfernt werden, falls für alle Programmpositionen (m,n) an denen x verwendet wird und alle Pfade von (j,i+1) nach (m,n) gilt: x wird auf diesen Pfaden definiert. Dabei ist e ein beliebiger Ausdruck des Zwischencodes oder kein Pfad von (0,0) nach (j,i) existiert. Es kann neuer toter Code entstehen. t0 := 7 x := 7 t1 := 7 t2 := 8 t3 := 7 + 8 z := 15 t0 := 8 y := 8 t1 := x t2 := 8 t3 := t1 + 8 x := t3 t0 := 8 t1 := x … 2: 1: 3:4: Kann gestrichen werden. Darf nicht gestrichen werden.

19 19 Information zur Eliminierung toten Codes Berechnung der Information Lebendig: LE(x) = out(x) für Knoten x im Steuerflussgraphen S = (N,E,q,s) durch eine Datenflussanalyse mit den Parametern: Menge aller Informationen: (V) Rückwärtsanalyse mit := gen(b i ) := {v | ir j (i) ist Verwendung von v und für alle 0 k < j gilt: ir k (i) ist keine Definition von v} kill(b i ) := {v | v wird in b i definiert} t0 := 7 x := 7 t1 := 7 t2 := 8 t3 := 7 + 8 z := 15 t0 := 8 y := 8 t1 := x t2 := 8 t3 := t1 + 8 x := t3 t0 := 8 t1 := x … 2: 1: 3:4: "x"

20 20 Eliminierung toten Codes im Basisblock Entferne die Anweisung x := expr an Position i im Basisblock b, falls: x an Position j > i definiert wird und für alle Anweisungen ir k (b) mit i < k j gilt: ir k (b) verwendet x nicht oder x out(b) und in keiner Anweisung ir k (b) mit i < k < #b wird x verwendet. Durch das Entfernen einer Anweisung x := expr entfällt die Verwendung der Variablen in expr. Konsequenz: Wiederholung der Eliminierung toten Codes erforderlich. t0 := 7 x := 7 t1 := 7 t2 := 8 t3 := 7 + 8 z := 15 t0 := 8 y := 8 t1 := x t2 := 8 t3 := t1 + 8 x := t3 t0 := 8 t1 := x … "x" 2: 1: 3:4: "x" x := 7 t1 := x t3 := t1 + 8 x := t3 t0 := 8 t1 := x … 2: 1: 3:4:

21 21 Weitere Anwendung der Information Lebendig Registerallokation: Treffen der Spill-Entscheidung in Basisblöcken. Bestimmung der zu sichernden Variablen am Ende eines Basisblocks. Globale Registerallokation durch Graphfärbung: Konstruktion eines Interferenzgraphen Variablen sind Knoten Eine Kante zwischen zwei Knoten existiert gdw. es eine Programmposition gibt, an der beide Variablen lebendig sind. Färbung des Interferenzgraphen liefert eine Registerallokation (Jede Farbe entspricht einem Prozessorregister). Details…

22 22 Globale Eliminierung gemeinsamer Teilausdrücke Die Zuweisung ir i (j) = "x := e" mit dem Ausdruck e kann durch x := t ersetzt werden, falls: auf allen Pfaden von Programmposition (0,0) zur Programmposition (j,i), eine Anweisung ir n (m) = "y := e" existiert und es auf allen Pfaden von Positionen (m,n) zur Position (j,i) keine definierenden Anweisungen für die Verwendungen in e gibt und an allen Positionen (m,n+1) die Anweisung "t := y" eingefügt wird. Konsequenz: Es entstehen neue Kopierbefehle. j := j +1 y := 4 * i x := 6 * j m := 5 * y n := 6 * j x := x * 5 i := i + 1 n := 6 * j m := i + 1 Hier darf 6 * j ersetzt werden. Hier darf 6 * j nicht ersetzt werden.

23 23 Information zur globalen Eliminierung gemeinsamer Teilausdrücke Berechnung der Information Verfügbare Ausdrücke AE(x) = in(x) für Knoten x im Steuerflussgraphen S = (N,E,q,s) durch eine Datenflussanalyse mit den Parametern: Menge aller Informationen: ({e | e ist Ausdruck in einem Zwischencodebefehl}) Vorwärtsanalyse mit := gen(b i ) := {e | ir j (i) hat die Form x := e und für alle j k < #b i gilt: ir k (i) definiert keine in e verwendete Variable} kill(b i ) := {e | Variable im Ausdruck e wird in b i definiert} j := j +1 y := 4 * i x := 6 * j m := 5 * y n := 6 * j x := x * 5 i := i + 1 n := 6 * j m := i + 1 2: 1: 3:4: 4*i, 6*j 6*j

24 24 Globale Eliminierung gemeinsamer Teilausdrücke in Basisblöcken Ersetze die Anweisung x := e an Position i im Basisblock b durch x := t falls: die Anweisung ir j (b) die Form y := e hat und j < i und für alle Anweisungen ir k (b) mit j k < i gilt: ir k (b) definiert keine Variable, die in e verwendet wird oder e in(b) und in keiner Anweisung ir k (b) mit 0 k < i wird eine Variable definiert, die in e verwendet wird. Nach den Anweisungen y := e, die e berechnen, wird t := e eingefügt (t ist neue Variable). Durch Ersetzung mit x := t entstehen neue Kopieranweisungen. Konsequenz: Wiederholung der Copy-/Constant-Propagation erforderlich. j := j +1 y := 4 * i x := 6 * j m := 5 * y n := 6 * j x := x * 5 i := i + 1 n := 6 * j m := i + 1 2: 1: 3:4: 4*i, 6*j 6*j j := j +1 y := 4 * i x := 6 * j t := x m := 5 * y n := t x := x * 5 i := i + 1 n := 6 * j m := i + 1

25 25 Entfernen schleifeninvarianter Berechnungen Es sei L die Menge der Knoten des Steuerflussgraphen, die auf einem Zykel liegen und d L der einzige Knoten der nicht zu L gehört und eine Kante zu einem Knoten in L besitzt (d dominiert L). Eine Anweisung ir i (j) = "x := e" kann im Block b j L durch x := t ersetzt und am Ende des Blocks d t := e eingefügt werden, falls kein Block in L eine Definition einer Verwendung in e enthält. Um eine spekulative Ausführung von e zu vermeiden, Einfügen eines neuen Basisblocks auf der Kante von d nach L und Einfügen von t := e in diesen neuen Basisblock. j := j +1 y := 4 * i x := 6 * j t := x m := 5 * y n := t x := x * 5 i := i + 1 n := 6 * j m := i + 1 5*y ist schleifeninvariant i und x sind nicht schleifeninvariant

26 26 Informationen zum Finden schleifeninvarianter Berechnungen Berechnung der Information Erreichende Definiton RD(x) = in(x) für Knoten x im Steuerflussgraphen S = (N,E,q,s) durch eine Datenflussanalyse mit den Parametern: Menge aller Informationen: (( ) V) Vorwärtsanalyse mit := gen(b i ) := {((i,j),v) | ir j (i) ist letzte Definition von v in b i } kill(b i ) := {((m,n),v) | (m,n) ist Programmposition und b i enthält eine Definition von v} j := j +1 y := 4 * i x := 6 * j t := x m := 5 * y n := t x := x * 5 i := i + 1 n := 6 * j m := i + 1 2: 1: 3:4: ((2,0),y),((2,1),x),((2,2),t) ((2,0),y),((2,1),x),((2,2),t), ((4,0),m),((4,1),n),((4,2),x),((4,3),i) ((2,0),y),((2,1),x),((2,2),t),((3,0),j), ((4,0),m),((4,1),n),((4,2),x),((4,3),i)

27 27 Entfernen schleifeninvarianter Berechnungen in L Finde in L Anweisungen der Form x := e, wobei e nur Konstanten und Variablen v enthält, die außerhalb der Blöcke von L definiert wurden. Ersetze x := e durch x := inv (inv ist neue Variable) und füge am Ende von d die Anweisung inv := e ein. Es entstehen neue Kopieranweisungen. Konsequenz: Wiederholung von Konstanten- und Kopierpropagierung. j := j +1 y := 4 * i x := 6 * j t := x m := 5 * y n := t x := x * 5 i := i + 1 n := 6 * j m := i + 1 2: 1: 3:4: ((2,0),y),((2,1),x),((2,2),t), ((4,0),m),((4,1),n),((4,2),x),((4,3),i) j := j +1 y := 4 * i x := 6 * j t := x inv := 5 * y m := inv n := t x := x * 5 i := i + 1 n := 6 * j m := i + 1

28 28 Weitere Anwendung der Information Erreichende Definitionen Erkennung der Benutzung einer Variablen vor ihrer Definition. Definiere out(b 0 ) := {((0,0),v) | v hat Verwendung im Steuerflussgraph}. Berechne Erreichende Definitionen. Falls bei einer Verwendung von v die Information ((0,0),v) vorhanden ist, dann kann es einen Pfad zu dieser Verwendung geben, auf dem v nicht initialisiert wird.

29 29 Strength-Reduction in Schleifen Es sei L die Menge der Blöcke einer Schleife und d der Schleifenkopf (Dominator von L) Suchen einer Variablen i (Induktionsvariablen), die in jedem Schleifendurchlauf um eine Konstante c erhöht wird. Suchen nach einer Berechnung y := f(i), wobei f(i + c) – f(i) = di Statt f(i) in jeder Iteration zu berechnen, wird in jeder Iteration zu y di addiert. j := j +1 i := 0 y := 4 * i x := 6 * j x' := x m := 5 * y n := x' z := x * i i := i + 2 … n := 6 * j m := i + 1 i ist Induktionsvariable und x schleifeninvariant. Dann wird z in jeder Iteration um 2*x größer.

30 30 Strength-Reduction im Schleifenkörper Finden von Anweisungen der Form z := inv i oder z := i inv, wobei i eine Induktionsvariable ist, die in jedem Schleifendurchlauf um cexpr erhöht wird und inv schleifeninvariant ist. Füge am Ende von d ein: dz := inv cexpr und nz := inv i Im Schleifenkörper : Füge nach der Anweisung i := i + cexpr die Anweisung nz := nz + dz ein und ersetze z := inv i durch z := nz. Dadurch kann nz selbst wieder zu einer Induktionsvariablen werden. Konsequenz: Wiederholung der Strength-Reduction. j := j +1 i := 0 y := 4 * i x := 6 * j x' := x m := 5 * y n := x' z := x * i i := i + 2 … n := 6 * j m := i + 1 j := j +1 i := 0 y := 4 * i x := 6 * j x' := x m := 5 * y n := x' dz := x * 2 nz := x * i z := nz nz := nz + dz i := i + 2 n := 6 * j m := i + 1 i ist Induktionsvariable und x schleifeninvariant. Dann wird z in jeder Iteration um 2*x größer. nz und z sind Induktions- variable.

31 31 Komplexbeispiel: Matrixmultiplikation for(i = 0; i < n; i = i+1) { for(j = 0; j < n; j = j+1) { c[j][i] = 0.0; for(k = 0; k < n; k = k+1) { c[j][i] = c[j][i] + a[j][k] * b[k][i] } innerLoop: t0 := &c t1 := j t2 := n t3 := t1*t2 t4 := i t5 := t3+t4 t6 := t0+t5 t7 := @t6 t8 := &a t9 := j t10:= n t11:= t9*t10 t12:= k t13:= t11+t12 t14:= t8+t13 t15:= @t14 t16:= &b t17:= k t18:= n t19:= t17*t18 t20:= i t21:= t19+t20 t22:= t16+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t26 := &c t27 := j t28 := n t29 := t27*t28 t30 := i t31 := t29+t30 t32 := t26+t31 @t32:= t25 Quelltext für Matrixmultiplikation: Erzeugter Zwischencode

32 32 Konstanten- und Kopierpropagierung und Eliminierung toten Codes innerLoop: t0 := &c t1 := j t2 := n t3 := t1*t2 t4 := i t5 := t3+t4 t6 := t0+t5 t7 := @t6 t8 := &a t9 := j t10:= n t11:= t9*t10 t12:= k t13:= t11+t12 t14:= t8+t13 t15:= @t14 t16:= &b t17:= k t18:= n t19:= t17*t18 t20:= i t21:= t19+t20 t22:= t16+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t26 := &c t27 := j t28 := n t29 := t27*t28 t30 := i t31 := t29+t30 t32 := t26+t31 @t32:= t25 innerLoop: t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t11:= j*n t13:= t11+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t29 := j*n t31 := t29+i t32 := &c+t31 @t32:= t25 innerLoop: t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t11:= j*n t13:= t11+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t29 := j*n t31 := t29+i t32 := &c+t31 @t32:= t25 Copy-/Constant-Propagation und anschließende Dead-Code-Elimination

33 33 Common Subexpression Elimination innerLoop: t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t11:= j*n t13:= t11+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t29 := j*n t31 := t29+i t32 := &c+t31 @t32:= t25 innerLoop: t3 := j*n s1 := t3 s0 := t3 t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t11:= s0 t13:= t11+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t29:= s1 t31 := t29+i t32 := &c+t31 @t32:= t25 innerLoop: t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= t3+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t32 := &c+t5 @t32:= t25 innerLoop: t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= t3+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @t6:= t25 innerLoop: t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= t3+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 t31 := t3+i t32 := &c+t31 @t32:= t25 Kopierpropagierung und anschließende Eliminierung toten Codes Eliminierung des gemeinsamen Teilausdrucks j*n Eliminierung des gemeinsamen Teilausdrucks t3+i und anschließende Kopierpropagierung und anschließende Eliminierung toten Codes Eliminierung des gemeinsamen Teilausdrucks &c+t5 und anschließende Kopierpropagierung und anschließende Eliminierung toten Codes c[j][i] = c[j][i] + a[j][k] * b[k][i]

34 34 Schleifeninvariante Ausdrücke entfernen k := 0 innerLoopTest: t53:= k<n if t53 then innerLoop goto innerLoopEnd innerLoop: t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= t3+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @t6:= t25 t35:= k+1 k := t35 goto innerLoopTest innerLoopEnd:... for(k = 0; k < n; k = k+1) { c[j][i] = c[j][i] + a[j][k] * b[k][i] } k := 0 t53:= k<n if t53 then 3 t3 := j*n t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= t3+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @t6:= t25 t35:= k+1 k := t35... k := 0 inv0 := j*n t53:= k<n if t53 then 3 t3 := inv0 t5 := t3+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= t3+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @t6:= t25 t35:= k+1 k := t35... k := 0 inv0 := j*n t53:= k<n if t53 then 3 t5 := inv0+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= inv0+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @t6:= t25 t35:= k+1 k := t35...

35 35 Schleifeninvariante Ausdrücke entfernen k := 0 inv0 := j*n t53:= k<n if t53 then 3 t5 := inv0+i t6 := &c+t5 t7 := @t6 t13:= inv0+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @t6:= t25 t35:= k+1 k := t35... k := 0 inv0:= j*n inv1:= inv0+i t53:= k<n if t53 then 3 t6 := &c+inv1 t7 := @t6 t13:= inv0+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @t6:= t25 t35:= k+1 k := t35... k := 0 inv0:= j*n inv1:= inv0+i inv2:= &c+inv1 t53:= k<n if t53 then 3 t7 := @inv2 t13:= inv0+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @inv2:= t25 t35:= k+1 k := t35...

36 36 Bestimmung der Induktionsvariablen k := 0 inv0:= j*n inv1:= inv0+i inv2:= &c+inv1 t53:= k<n if t53 then 3 t7 := @inv2 t13:= inv0+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @inv2:= t25 t35:= k+1 k := t35... k := 0 inv0:= j*n inv1:= inv0+i inv2:= &c+inv1 t53:= k<n if t53 then 3 t7 := @inv2 t13:= inv0+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @inv2:= t25 t35:= k+1 k := t35...

37 37 Strength-Reduction k := 0 inv0:= j*n inv1:= inv0+i inv2:= &c+inv1 t53:= k<n if t53 then 3 t7 := @inv2 t13:= inv0+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= k*n t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @inv2:= t25 t35:= k+1 k := t35... cexpr für k ist 1 k := 0 inv0:= j*n inv1:= inv0+i inv2:= &c+inv1 d := 1*n nn := k*n t53:= k<n if t53 then 3 t7 := @inv2 t13:= inv0+k t14:= &a+t13 t15:= @t14 t19:= nn nn := nn + d t21:= t19+i t22:= &b+t21 t23:= @t22 t24:= t15*t23 t25:= t7+t24 @inv2:= t25 t35:= k+1 k := t35...

38 38 Rahmenwerk zur Datenflussanalyse (DFA) DFA-Rahmenwerk: (D, I,, F) besteht aus: Der Richtung D der Analyse (vorwärts oder rückwärts) Einem Halbverband (I, ), d.h. für alle x, y, z I x x = x x y = y x x (y z) = (x y) z es ex. ein I, so dass für alle x I gilt x = x Einer Menge F, die für jeden Basisblock des Steuerflussgraphen eine Transferfunktion f : I I enthält, die monoton und stetig ist. Induzierte Ordnung auf I: x y gdw. x y = y Voraussetzungen für den Fixpunktsatz von Tarski und Knaster sind erfüllt. Damit existiert der kleinste Fixpunkt und kann durch Iteration berechnet werden, weil: (I, ) ist eine vollständig geordnete Menge, weil für alle x, y I gilt: x y ist kleinste oberer Schranke von x und y. Jedes f F ist monoton und stetig.

39 39 (I, ) ist eine geordnete Menge Reflexivität: x x gilt wegen x x = x. Antisymmetrisch: x y und y x x y = y und y x (= x y) = x x = y. Transitivität: x y und y z x y = y und y z = z z = (x y) z = x (y z) = x z x z.

40 40 (I, ) ist eine vollständig geordnete Menge Wir zeigen: Für alle x, y I ist z = x y die kleinste obere Schranke von x und y: x z x z = x (x y) = (x x) y) = x y = z. y z y z = y (x y) = y (y x) = (y y) x) = y x = x y = z. Angenommen x u und y u, dann x u = u und y u = u und z u = u u = u u = x u y u = x u y = z u z u Damit ist für jede endliche nicht leere Kette K I mit K = {k 1, k 2, k 3,…,k n } k 1 k 2 k 3 … k n die kleinste obere Schranke von K.

41 41 Fixpunktiteration Es ist der Fixpunkt einer Funktion F (out(b 0 ),…,out(b m )) = F((out(b 0 ),…,out(b m ))) bzw. (in(b 0 ),…,in(b m )) = F((in(b 0 ),…,in(b m ))) gesucht. Durch den Steuerflussgraphen wird für jede Komponente out(b i ) bzw. in(b i ) eine Mengengleichung erzeugt: Vorwärtsanalyse: out(b i ) = f i (out(b k 1 ) … out(b k n )), wobei b k 1,…,b k n die Steuerflussvorgänger von b i sind und 0 k j m. Rückwärtsanalyse: in(b i ) = f i (in(b k 1 ) … in(b k n )), wobei b k 1,…,b k n die Steuerflussvorgänger von b i sind und 0 k j m. Wir schreiben kurz: (b 0,…,b m ) = F((b 0,…,b m )) und abstrahieren von der Richtung. Die induzierte Ordnung auf I wird zu einer Ordnung auf I m+1 erweitert: (a 0,…,a m ) (b 0,…,b m ) gdw. j: 0 j m a j b j. Analog wird der Operator für einen Vektor erweitert. Unter der Voraussetzung, dass die Transferfunktionen f i monoton und stetig sind, ist es F auch (Beweis folgt).

42 42 Monotonie von F F monoton gdw. aus (a 0,…,a m ) (b 0,…,b m ) folgt F(a 0,…,a m ) F(b 0,…,b m ). a = (a 0,…,a m ) (b 0,…,b m ) = b gdw. i: a i b i. Für jedes a i und b i gilt nun: Es seien a k 1,…,a k n bzw. b k 1,…,b k n die Komponenten in a bzw. b, die den in/out-Resultaten der Steuerflussvorgänger/-nachfolger von a i bzw. b i entsprechen. Wegen a k j b k j ist a k 1 … a k n b k 1 … b k n. (Bew. durch Induktion; im Schritt: a b a b = b und a' b' a' b' = b' b b' = a b a' b' = (a a') (b b') (a a') (b b')). Wegen der Monotonie der Transferfunktion f i gilt dann f i (a k 1 … a k n ) f i (b k 1 … b k n ) Und damit F(a 0,…,a m ) F(b 0,…,b m )

43 43 Stetigkeit von F F stetig gdw. F(a 0,…,a m ) F(b 0,…,b m ) = F(a 0 b 0,…,a m b m ). Es seien a i ' und b i ' die i-ten Komponenten des Resultats von F(a) bzw. F(b), d.h.: b' i = f i (b k 1,…,b k n ) und a' i = f i (a k 1,…,a k n ) Wegen der Stetigkeit von f i gilt: a' i b' i = f i (a k 1,…,a k n ) f i (b k 1,…,b k n ) = f i (a k 1 ) … f i (a k n ) f i (b k 1 ) … f i (b k n ) = f i (a k 1 ) f i (b k 1 ) … f i (a k n ) f i (b k n ) = f i (a k 1 b k 1 ) … f i (a k n b k n ) = f i (a k 1 b k 1,…,a k n b k n ). f i (a k 1 b k 1,…,a k n b k n ) ist auch die i-te Komponente des Resultats von F(a 0 b 0,…,a m b m )

44 Ende der Optimierung Ende der Vorlesung

45 45 Beispiel Steuerflussgraph/Interferenzgraph d := 0 a := 1 c := 3 f := c d:= d+1 r := 2*d s := 3*c t := r+s e := t+5 d:= a+f u := c v := u+1 w := v+1 e := v c:= d+3 a := e*c z:= a+d (d) (a,d) (a,d,c) (a,c,f,d) (c,d) (c,d,r) (d,s,r) (d,t) (d,e) (c,d) (d,u) (d,v) (d,w) (d,e) (d,c) (d,c,a) (z) ads fcr v u w t e z

46 46 Färbung des Interferenzgraphen Gesucht Färbung I : V R mit I (u) I (v) gdw. {u,v} E, wobei R die Menge der Prozessorregister ist. Finden einer Färbung durch schrittweises Entfernen von Knoten v mit adjazenten Kanten, falls v mit echt weniger als |R| Knoten adjazent ist: Falls kein Knoten mit weniger als |R| Nachbarn existiert, dann Spillentscheidung treffen. Falls I zum leeren Graphen reduziert wurde, Einfügen der Knoten mit Kanten in umgekehrter Reihenfolge und Färben der Knoten. ad s fcr v u w t e I = (V, E), R = {0,1,2} ads fcr vuwte z z d4 d1d2d3 vuwted4zd1d2d3srcfa ads f c r vuwte z d4 d1d2d3

47 47 Spillen d := 0 a := 1 c := 3 f := c d:= d+1 r := 2*d s := 3*c t := r+s e := t+5 d:= a+f u := c v := u+1 w := v+1 e := v c:= d+3 a := e*c z:= a+d (d) (a,d) (a,d,c) (a,c,f,d) (c,d) (c,d,r) (d,s,r) (d,t) (d,e) (c,d) (d,u) (d,v) (d,w) (d,e) (d,c) (d,c,a) (z) d := 0 @&d := d a := 1 c := 3 f := c d1 := @&d d1:= d1+1 @&d := d1 r := 2*d s := 3*c t := r+s e := t+5 d2 := a+f @&d := d2 u := c v := u+1 w := v+1 e := v d3 := @&d c:= d3+3 a := e*c d4 := @&d z:= a+d (d) () (a,d) (a,c) (a,c,f) (c,d1) (c) (c,r) (s,r) (t) (e) (c,d2) (c) (u) (v) (w) (e) (d3,c) (c) (c,a) (d4) (z) Spillen von d

48 48 Auswahl der Spillvariablen Falls ein Interferenzgraph nicht weiter reduziert werden kann, dann wird aus den verbleibenden Knoten der ausgewählt, für den minimal ist. Dabei sind DefUse(v) alle Programmpositionen, an denen v verwendet/definiert wird. und deepth(p) die Schachtelungstiefe der innersten Schleife, die die Programmposition p enthält. Vor/nach allen Verwendungen/Definitionen von v wird Spillcode in den Zwischencode eingefügt. Interferenzgraph muss neu konstruiert werden. Es können mehrere solcher Iterationen erforderlich sein, bis eine Färbung des Interferenzgraphen gefunden wird. Variablen zwischen deren Definition und Verwendung keine anderen Variablen sterben, werden nicht gespillt.