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Natürliche Zahlen PaedDr. Ján Gunčaga, PhD. Lehrstuhl für Mathematik und Physik Pädagogische Fakultät Katholische Universität in Ružomberok Slowakei

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Präsentation zum Thema: "Natürliche Zahlen PaedDr. Ján Gunčaga, PhD. Lehrstuhl für Mathematik und Physik Pädagogische Fakultät Katholische Universität in Ružomberok Slowakei"—  Präsentation transkript:

1 Natürliche Zahlen PaedDr. Ján Gunčaga, PhD. Lehrstuhl für Mathematik und Physik Pädagogische Fakultät Katholische Universität in Ružomberok Slowakei

2 Relationen Beispiel. Ich bereite mich auf das Abitur vor. Dazu mache ich diesen Plan: M-Mathematik, P-Physik, E-Englisch, D-Deutsch, M G M G-Geschichte. P E D G Mo Di Mi Do Fr Mo Di Mi Do Fr

3 Relationen Menge T = {Mo, Di, Mi, Do, Fr} Menge F = {M, P, E, D, G} Relation R = {[Mo, E], [Mo, M], [Di, P], [Mi,D], [Do, G], [Do, P], [Fr, D], [Fr, M]} (die geordnete Paare) Relation ist jede Teilmenge des Kreuzproduktes der beiden Mengen (R TF).

4 Abbildungen A B A B f verboten verboten

5 Abbildungen Eine Relation f nennen wir die Abbildung f: A B, wenn jedes Element xA genau ein Element yB zum Partner hat. Wir schreiben statt [x, y] f y = f(x). R – reelle Zahlen Im Fall, wenn A R und B = R, die Abbildung f ist die Funktion.

6 Abbildungen A B A B f Surjektion Surjektion

7 Abbildungen A C A C g Injektion Injektion

8 Abbildungen A D A D h Bijektion Bijektion Die Mengen A und D sind äquivalent, A D.

9 Nat ürliche Zahlen wie Kardinalzahlen S - das Mengensystem Kardinalzahl A = {X S ; X A} A = D A = D Nat ürliche Zahlen sind Kardinalzahlen von allen Mengen, die endlich und nicht leer sind. 2 a 1 b 2 … b 2 …

10 Nat ürliche Zahlen wie Kardinalzahlen Operationen und Anordnungen Wenn A B= (Durchschnitt), dann A + B = A B (Vereinigung). Die Kardinalzahl des Kreuzproduktes ist gleich dem Produkt der Kardinalzahlen von A und B: A. B = A B Die Kardinalzahl des Kreuzproduktes ist gleich dem Produkt der Kardinalzahlen von A und B: A. B = A B Wenn A B* und B* B, B* B (eigene Teilmenge), dann A B.

11 Nat ürliche Zahlen als Peano - Menge Das Männchen von Giuseppe Peano fürPeano – Ein Modell für Peano – Axiome

12 Das Männchen von Giuseppe Peano

13 Das Männchen von Giuseppe Peano ürlichen ZahlenDas Männchen lebt an einer Zahlengerade von den natürlichen Zahlen. ürlichen Zahlen vorwärts gehen.Es kann nur auf den natürlichen Zahlen vorwärts gehen. Es kann einen Schritt nur zur nächsten ürlichen Zahl machen.Es kann einen Schritt nur zur nächsten natürlichen Zahl machen.

14 Regel für das Männchen und Peano - Axiome

15 Regel für das Männchen und Peano - Axiome ürlichen Zahlzur nächsten ürlichen Zahl machen. Das Männchen kann immer einen Schritt vorwärts von einer natürlichen Zahl zur nächsten natürlichen Zahl machen. Axiom Nr. 1: Jede ürliche Zahl ürlichen Zahlen. Axiom Nr. 1: Jede natürliche Zahl a hat genau einen (mindestens und höchstens einen) Nachfolger a´ in der Menge von natürlichen Zahlen.

16 Regel für das Männchen und Peano - Axiome ürlichen Zahlzur ürlichen Zahl 1 machen. Das Männchen kann keinen Schritt vorwärts von einer natürlichen Zahl zur natürlichen Zahl 1 machen. Axiom Nr. 2: 1 kann kein Nachfolger für ürliche Zahlsein ürliche Zahl Axiom Nr. 2: 1 kann kein Nachfolger für eine natürliche Zahl sein (1 ist also die kleinste natürliche Zahl).

17 Regel für das Männchen und Peano - Axiome

18 Regel für das Männchen und Peano - Axiome wei verschiedenen ürlichen Zahlen. 2 Männchen stehen auf zwei verschiedenen natürlichen Zahlen. Sie machen einen Schritt vorwärts. wei verschiedenen ürlichen Zahlen. 2 Männchen stehen wieder auf zwei verschiedenen natürlichen Zahlen. Axiom Nr. 3: Zwei verschiedene ürliche Zahlen haben auch verschiedene Nachfolger Axiom Nr. 3: Zwei verschiedene natürliche Zahlen haben auch verschiedene Nachfolger.

19 Regel für das Männchen und Peano - Axiome

20 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Das Männchen hat einen Topf mit roter Farbe vor sich. ürlichen Zahl. Es steht auf einer natürlichen Zahl. ürliche Zahl rot an. Es malt diese natürliche Zahl rot an. ürlichen Zahl. Es macht einen Schritt vorwärts und es steht auf einer natürlichen Zahl. ürliche Zahl auch rot an. Es malt diese natürliche Zahl auch rot an.

21 Regel für das Männchen und Peano - Axiome ürlichen Zahl 1. ürliche Zahl an. 1.Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. Regel f ff für Mahlen

22 Regel für das Männchen und Peano - Axiome ürlichen Zahl 1. ürliche Zahl an. 1.Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. ürlichen Zahl, es ürlichen Zahl und es ürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an. für Regel für Mahlen

23 Regel für das Männchen und Peano - Axiome ürlichen Zahl 1. ürliche Zahl an. 1.Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. ürlichen Zahl, es ürlichen Zahl und es ürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an. für Regel für Mahlen

24 Regel für das Männchen und Peano - Axiome ürlichen Zahl 1. ürliche Zahl an. 1.Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. ürlichen Zahl, es ürlichen Zahl und es ürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an. für Regel für Mahlen

25 Regel für das Männchen und Peano - Axiome ürlichen Zahl 1. ürliche Zahl an. 1.Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. ürlichen Zahl, es ürlichen Zahl und es ürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, es macht einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an. für Regel für Mahlen

26 Regel für das Männchen und Peano - Axiome ürlichen Zahl 1. ürliche Zahl an. 1.Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. ürlichen Zahl, es ürlichen Zahl und es ürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an. für Regel für Mahlen

27 Regel für das Männchen und Peano - Axiome ürlichen Zahl 1. ürliche Zahl an. 1.Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. ürlichen Zahl, es ürlichen Zahl und es ürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an. für Regel für Mahlen

28 Regel für das Männchen und Peano - Axiome ürlichen Zahl 1. ürliche Zahl an. 1.Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. ürlichen Zahl, es ürlichen Zahl und es ürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an. für Regel für Mahlen

29 Regel für das Männchen und Peano - Axiome ürlichen Zahl 1. ürliche Zahl an. 1.Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. ürlichen Zahl, es ürlichen Zahl und es ürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an. für Regel für Mahlen

30 Regel für das Männchen und Peano - Axiome ürlichen Zahl 1. ürliche Zahl an. 1.Das Männchen steht auf der natürlichen Zahl 1. Es malt diese natürliche Zahl an. ürlichen Zahl, es ürlichen Zahl und es ürliche Zahl an. 2. Wenn es auf einer natürlichen Zahl steht, macht es einen Schritt vorwärts. Es steht auf einer natürlichen Zahl und es malt diese natürliche Zahl an. für Regel für Mahlen

31 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

32 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

33 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

34 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion a

35 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus a M Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion a

36 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus a M Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion a a´

37 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus a M folgt a´ M; Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion a a´

38 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus a M folgt a´ M; Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion a a´

39 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus a M folgt a´ M; Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion a a´

40 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus a M folgt a´ M; Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion a a´

41 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus a M folgt a´ M; Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion a a´

42 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus a M folgt a´ M; Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion a a´

43 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus a M folgt a´ M; Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion a a´

44 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus a M folgt a´ M; Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion a a´

45 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus a M folgt a´ M; Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion a a´

46 Regel für das Männchen und Peano - Axiome Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus a M folgt a´ M; M Axiom Nr. 4: Eine Menge M natürlicher Zahlen, die die 1 enthält; es gilt für jede Zahl: aus a M folgt a´ M; M ist die Menge N selbst (M=N). Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion a a´

47 Natürliche Zahlen als Peano - Menge Addition: a) x + 1 = x´ b) x + y = (x + y)´ Wenn für die natürlichen Zahlen a, b gilt: b = a +x und x ist eine natürliche Zahl, dann gilt auch: a Wenn für die natürlichen Zahlen a, b gilt: b = a +x und x ist eine natürliche Zahl, dann gilt auch: a b. Operationen und Anordnungen Multiplikation: a) x. 1 = x b) x. y´ = x. y + x

48 Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Das Männchen ist müde!


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