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Funktionale Programmierung Klaus Becker 2007. 2 Programmieren mit Funktionen Zielsetzung: Einblick in die funktionale Programmierung gewinnen Grundideen.

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1 Funktionale Programmierung Klaus Becker 2007

2 2 Programmieren mit Funktionen Zielsetzung: Einblick in die funktionale Programmierung gewinnen Grundideen verstehen Grundkonzepte kennen lernen Relevanz anhand von Miniprojekten erkennen Mit Funktionen kann man programmieren. Die Programme bestehen aus Funktionsdeklarationen. Funktionsdeklarationen werden mit Hilfe von Funktionskomposition, Fallunterscheidungen und Rekursion aufgebaut....

3 3 Teil 1 Von der Registermaschine zur funktionalen Abstraktion

4 4 Registermaschine Eine Registermaschine bearbeitet beliebig eingebbare Daten nach einem fest vorgegebenen Programm. > x INC i Erhöhe Register i um 1. Gehe zu Zeile x+1. > x DEC i Erniedrige Register i um 1. Gehe zu Zeile x+1. > x JMP i Gehe zu Zeile i. > x TST i Wenn Register i ungleich 0 ist, dann gehe zu Zeile x+1, sonst zu Zeile x+2. > x HLT Beende die Bearbeitung. > 1 JMP 4 2 INC 1 3 DEC 2 4 TST 2 5 JMP 2 6 HLT 1:5 2:3 3:0 4:0 5:0.. ProgrammDaten

5 5 Aufgabe Was leistet das unten abgebildete Registermaschinenprogramm? Messen Sie die Zeit, die Sie brauchen, um das herauszufinden. 1 TST 2 2 JMP 4 3 JMP 7 4 TST 3 5 JMP 13 6 JMP 10 7 TST 3 8 JMP 19 9 HLT 10 TST 2 11 JMP HLT 13 DEC 2 14 DEC 3 15 INC 1 16 JMP 1 17 DEC 2 18 JMP DEC 3 20 JMP 7

6 6 Aufgabe Was leistet das unten abgebildete (Python-) Programm? Messen Sie die Zeit, die Sie brauchen, um das herauszufinden. while (R2 <> 0) and (R3 <> 0): R1 = R1 + 1 R2 = R2 - 1 R3 = R3 - 1 while R2 <> 0: R2 = R2 - 1 while R3 <> 0: R3 = R3 -1

7 7 Spaghetti-Code mit Sprunganweisungen Durch die vielen Sprunganweisungen verliert man leicht den Überblick über die Ablauflogik. Wer strukturiert programmiert, verzichtet auf solche Sprunganweisungen, auch wenn die Programmiersprache sie zur Verfügung stellt. Viele Programmiersprachen stellen keine Sprunganweisungen zur Verfügung. Dann können solch schwer zu durchschauenden Programme gar nicht erst geschrieben werden. "Spaghetti-Code" 1 TST 2 2 JMP 4 3 JMP 7 4 TST 3 5 JMP 13 6 JMP 10 7 TST 3 8 JMP 19 9 HLT 10 TST 2 11 JMP HLT 13 DEC 2 14 DEC 3 15 INC 1 16 JMP 1 17 DEC 2 18 JMP DEC 3 20 JMP 7

8 8 Ablaufkontrolle mit Kontrollanweisungen An Stelle von Sprunganweisungen benutzt man Kontrollstrukturen, um die Ablauflogik strukturiert zu beschreiben. while (R2 <> 0) and (R3 <> 0): R1 = R1 + 1 R2 = R2 - 1 R3 = R3 - 1 while R2 <> 0: R2 = R2 - 1 while R3 <> 0: R3 = R TST 2 2 JMP 4 3 JMP 7 4 TST 3 5 JMP 13 6 JMP 10 7 TST 3 8 JMP 19 9 HLT 10 TST 2 11 JMP HLT 13 DEC 2 14 DEC 3 15 INC 1 16 JMP 1 17 DEC 2 18 JMP DEC 3 20 JMP 7 Ablaufbeschreibung mit Sprunganweisungen Ablaufbeschreibung mit Kontrollstrukturen

9 9 Aufgabe Vergleichen Sie die beiden Programme. Welche Version ist besser? def minimum(a, b): m = 0 while (a <> 0) and (b <> 0): m = m + 1 a = a - 1 b = b - 1 return m def minimum(a, b): global m while (a <> 0) and (b <> 0): m = m + 1 a = a - 1 b = b - 1 >>> minimum(5, 7) 5 >>> m = 0 >>> minimum(5, 7) >>> m 5

10 10 Seiteneffekte Das Unterprogramm auf der linken Seite verändert den Wert einer globalen Variablen. Das Unterprogramm hat einen sog. Seiteneffekt. def minimum(a, b): m = 0 while (a <> 0) and (b <> 0): m = m + 1 a = a - 1 b = b - 1 return m def minimum(a, b): global m while (a <> 0) and (b <> 0): m = m + 1 a = a - 1 b = b - 1 >>> minimum(5, 7) 5 >>> m = 3 >>> minimum(5, 7) >>> m 8 >>> m = 0 >>> minimum(5, 7) >>> m 5 Unterprogramm mit Seiteneffekt

11 11 Programme ohne Seiteneffekte Eine Funktion soll normalerweise aus den Argumenten einen Wert berechnen und nichts anderes nebenbei tun. Von diesem Prinzip weichen Programmierer jedoch immer wieder ab, etwa indem sie in der Funktion globale Variablen verändern. Wer strukturiert programmiert, verzichtet auf Seiteneffekte. Es gibt Programmiersprachen, die keine Seiteneffekte zulassen. Die Idee dabei ist, auf Wertzuweisungen zu verzichten, so dass keine unbeabsichtigten Seiteneffekte möglich sind. def minimum(a, b): if a == 0: return a else: if b == 0: return b else: return 1 + minimum(a-1, b-1) Unterprogramm ohne Wertzuweisung

12 12 Zielsetzung Ziel ist es, die Grundideen funktionaler Programmierung anhand von Beispielen problemorientiert zu erarbeiten. Insbesondere soll dabei herausgearbeitet werden, dass Programmierung ohne Wertzuweisungen möglich ist.

13 13 Teil 2 Konzepte der funktionalen Programmierung

14 14 Fallstudie: Chiffrieren Ziel ist es, Chiffrierverfahren (die auf modularem Rechnen basieren), mit Hilfe funktionaler Programme zu beschreiben. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C Schlüssel: D Quelltext: SALVECAESAR Geheimtext: VDOYHFDHVDU PYLZFOWBNQCYBUVNCBLGYC HYAYBYCGMWBLCZNYHNTCZY LN VDOYH FDHVDU

15 15 Additives Chiffrierverfahren Codierung: Code: A 1 Blocklänge: 2 AA 0101 AB ZZ 2626 AS#TE#RI#X 0119#2005#1809#24 Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (d, m) = (2102, 3000) z (z + d) % m0119#2005#1809# #1107#1010#2126 Entschlüsselung: privater Schlüssel (e, m) = (898, 3000) z (z + e) % m2221#1107#1010# #2005#1809#24 Decodierung: Code: A 1 Blocklänge: 2 AA 0101 AB ZZ #2005#1809#24 AS#TE#RI#X Bed.: z maxCode Bed.: (d + e) % m = 0

16 16 Additives Chiffrierverfahren Wir betrachten zunächst das Verschlüsseln und Entschlüsseln von Zahlenfolgen mit Schlüsseln, die aus zwei Komponenten bestehen. Da Ver- und Entschlüsseln gleich funktionieren, reicht es, nur das Verschlüsseln zu betrachten. Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (d, m) = (2102, 3000) z (z + d) % m0119#2005#1809# #1107#1010#2126 Entschlüsselung: privater Schlüssel (e, m) = (898, 3000) z (z + e) % m2221#1107#1010# #2005#1809#24 Bed.: m ist größer als die maximale Codezahl Bed.: d + e = m

17 17 Funktionale Modellierung verschluesselnZahl Eingaben: zahl: die zu verschlüsselnde Zahl schluessel: Zahlenpaar bestehend aus der zu addierenden Konstante und dem Divisionsmodul Ausgabe: die berechnete verschlüsselte Zahl (2102, 3000) Spezifikation: schluessel zahl Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (d, m) = (2102, 3000) z (z + d) % m0119#2005#1809# #1107#1010#2126 Bed.: z maxCode

18 18 Funktionale Modellierung verschluesseln Eingaben: zahlenListe: Liste mit den zu verschlüsselnden Zahlen schluessel: Zahlenpaar bestehend aus der zu addierenden Konstante und dem Divisionsmodul Ausgabe: Liste mit den berechneten verschlüsselten Zahlen (2102, 3000) [2221, 1107, 1010, 2126] [119, 2005, 1809, 24] Spezifikation: schluessel zahlenListe Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (d, m) = (2102, 3000) z (z + d) % m0119#2005#1809# #1107#1010#2126 Bed.: z maxCode

19 19 Funktionales Programm verschluesselnZahl (2102, 3000) Spezifikation: schluessel zahl Implementierung: def verschluesselnZahl(zahl, schluessel): return (zahl + schluessel[0]) % schluessel[1] Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (d, m) = (2102, 3000) z (z + d) % m0119#2005#1809# #1107#1010#2126 Bed.: z maxCode

20 20 Funktionales Programm verschluesseln (2102, 3000) [2221, 1107, 1010, 2126] [119, 2005, 1809, 24] Spezifikation: schluessel zahlenListe Implementierung: def verschluesseln(zahlenListe, schluessel): if len(zahlenListe) == 0: return [] else: return [verschluesselnZahl(zahlenListe[0], schluessel)] + verschluesseln(zahlenListe[1:], schluessel) Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (d, m) = (2102, 3000) z (z + d) % m0119#2005#1809# #1107#1010#2126 Bed.: z maxCode

21 21 Datenstruktur "Tupel" verschluesselnZahl (2102, 3000) Spezifikation: schluessel zahl Implementierung: def verschluesselnZahl(zahl, schluessel): return (zahl + schluessel[0]) % schluessel[1] Tupel Zugriff auf die Komponenten Tupel sind unveränderbare Sequenzen. Man verwendet Tupel, wenn man ein Objekt repräsentieren möchte, das aus mehreren Komponenten besteht.

22 22 Datenstruktur "Liste" Liste Listenoperationen verschluesseln (2102, 3000) [2221, 1107, 1010, 2126] [119, 2005, 1809, 24] schluessel zahlenListe Implementierung: def verschluesseln(zahlenListe, schluessel): if len(zahlenListe) == 0: return [] else: return [verschluesselnZahl(zahlenListe[0], schluessel)] + verschluesseln(zahlenListe[1:], schluessel) Liste Spezifikation: Listen sind veränderbare Sequenzen. Sie können (in Python) Objekte beliebigen Typs enthalten. Mit Listen kann man komplexere Strukturen modellieren.

23 23 Listenoperationen leere Liste Länge einer Liste Zugriff auf Listenelemente Zugriff auf eine Restliste >>> zahlenListe = [] >>> zahlenListe [] >>> len(zahlenListe) 0 >>> zahlenListe = [119, 2005, 1809, 24] >>> zahlenListe [119, 2005, 1809, 24] >>> zahlenListe[0] 119 >>> zahlenListe[1:] [2005, 1809, 24] >>> [zahlenListe[0]] + zahlenListe[1:] [119, 2005, 1809, 24] >>>... Konkatenation von Listen Das Python-Protokoll zeigt die Listenoperationen, die im Folgenden benötigt werden. Weitere Listenoperationen findet man in der Dokumentation.

24 24 Aufgabe >>> zahlenListe = [] >>> zahlenListe [] >>> len(zahlenListe) 0 >>> zahlenListe = [119, 2005, 1809, 24] >>> zahlenListe [119, 2005, 1809, 24] >>> zahlenListe[0] 119 >>> zahlenListe[1:] [2005, 1809, 24] >>> [zahlenListe[0]] + zahlenListe[1:] [119, 2005, 1809, 24] >>>... Testen Sie die im funktionalen Programm vorkommenden Listenoperationen. Variieren Sie dabei auch die vorkommenden Parameterwerte.

25 25 Rekursive Problemreduktion verschluesseln([119, 2005, 1809, 24], (2102, 3000)) [verschluesselnZahl(119, (2102, 3000))] + verschluesseln([2005, 1809, 24], (2102, 3000)) Fall 2: Bearbeite eine nicht-leere Liste [2221] [2221, 1107, 1010, 2126] [1107, 1010, 2126] verschluesseln([], (2102, 3000)) [] Fall 1: Bearbeite eine leere Liste [] Rekursionsanfang: Löse das Problem direkt Rekursionsschritt: Löse ein entsprechendes Problem Rekursive Problemreduktion: Reduziere des Problems auf ein entsprechendes, aber verkleinertes Problem.

26 26 Aufgabe def verschluesseln(zahlenListe, schluessel): print zahlenListe, schluessel if len(zahlenListe) == 0: return [] else: return [verschluesselnZahl(zahlenListe[0], schluessel)] + verschluesseln(zahlenListe[1:], schluessel) Fügen Sie Ausgabeanweisungen ein und verfolgen Sie so die Auswertung der einzelnen Funktionsaufrufe.

27 27 Kontrollstruktur "Rekursion" def verschluesseln(zahlenListe, schluessel): if len(zahlenListe) == 0: return [] else: return [verschluesselnZahl(zahlenListe[0], schluessel)] + verschluesseln(zahlenListe[1:], schluessel) verschluesseln([119, 2005, 1809, 24], (2102, 3000)) [verschluesselnZahl(119, (2102, 3000))] + verschluesseln([2005, 1809, 24], (2102, 3000)) [2221] + verschluesseln([2005, 1809, 24], (2102, 3000)) [2221] + [verschluesselnZahl(2005, (2102, 3000))] + verschluesseln([1809, 24], (2102, 3000)) [2221] + [1107] + verschluesseln([1809, 24], (2102, 3000))... Rekursion wird in der funktionalen Programmierung als Kontrollstruktur benutzt, um wiederkehrende Berechnungen durchzuführen.

28 28 Kontrollstruktur "Rekursion" [2221] + [1107] + [verschluesselnZahl(1809, (2102, 3000))] + verschluesseln([24], (2102, 3000)) [2221] + [1107] + [1010] + verschluesseln([24], (2102, 3000)) [2221] + [1107] + [1010] + [verschluesselnZahl(24, (2102, 3000))] + verschluesseln([], (2102, 3000)) [2221] + [1107] + [1010] + [2126] + verschluesseln([], (2102, 3000)) [2221] + [1107] + [1010] + [2126] + [] [2221, 1107, 1010, 2126]

29 29 Kontrollstrukturen Funktionsdeklarationen werden in der funktionalen Programmierung mit Hilfe von - Funktionskomposition, - Fallunterscheidungen und - Rekursion aufgebaut. Diese Strukturen legen letztlich die Ablaufkontrolle fest. def verschluesseln(zahlenListe, schluessel): if len(zahlenListe) == 0: return [] else: return [verschluesselnZahl(zahlenListe[0], schluessel)] + verschluesseln(zahlenListe[1:], schluessel) Fallunterscheidung Rekursion Funktionskomposition

30 30 Aufgabe Zur Übung rekursiver Funktionsdeklarationen sollen folgende Funktionen implementiert werden. Gehen Sie analog zur Funktion "verschluesseln" vor. addieren 7 [13, 20, 7, 12] [6, 13, 0, 5] konstante zahlenListe Spezifikation: nullErsetzen 7 [6, 7, 13, 7, 7, 5, 3] [6, 0, 13, 0, 0, 5, 3] konstante zahlenListe Spezifikation:

31 31 Aufgabe In der Datei "ChiffriersystemModularesAddierenRekursiv.py" finden Sie eine Implementierung des Chiffriersystems basierend auf modularer Addition, die (außer zum Testen) keine Wertzuweisungen benutzt. Analysieren Sie die Funktionsdeklarationen auch im Hinblick auf die vorkommenden Kontrollstrukturen. Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (d, m) = (2102, 3000) z (z + d) % m0119#2005#1809# #1107#1010#2126 Entschlüsselung: privater Schlüssel (e, m) = (898, 3000) z (z + e) % m2221#1107#1010# #2005#1809#24 Bed.: z maxCode Bed.: (d + e) % m = 0

32 32 Aufgabe Ändern Sie die entsprechenden Funktionsdeklarationen so ab, dass man das multiplikative Chiffrierverfahren erhält. Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (d, m) = (7, 30) z (z * d) % m01#19#20#05#18#09#24 07#13#20#05#06#03#18 Entschlüsselung: privater Schlüssel (e, m) = (13, 30) z (z * e) % m07#13#20#05#06#03#18 01#19#20#05#18#09#24 Bed.: z < m Bed.: (d * e) % m = 1

33 33 Codeduplizierung Die Implementierungen zur Verschlüsselung mit modularer Addition und modularer Multiplikation weisen auffallende Ähnlichkeiten auf. def verschluesselnZahlAdd(zahl, schluessel): return (zahl + schluessel[0]) % schluessel[1] def verschluesselnAdd(zahlenListe, schluessel): if len(zahlenListe) == 0: return [] else: return [verschluesselnZahlAdd(zahlenListe[0], schluessel)] + verschluesselnAdd(zahlenListe[1:], schluessel) def verschluesselnZahlMul(zahl, schluessel): return (zahl * schluessel[0]) % schluessel[1] def verschluesselnMul(zahlenListe, schluessel): if len(zahlenListe) == 0: return [] else: return [verschluesselnZahlMul(zahlenListe[0], schluessel)] + verschluesselnMul(zahlenListe[1:], schluessel)

34 34 Funktionen als Eingabeobjekte Funktion verschluesseln (2102, 3000) [2221, 1107, 1010, 2126][119, 2005, 1809, 24] schluessel zahlenListe Spezifikation: verfahren z (z + d) % m Liste Tupel Codeduplizierung lässt sich vermeiden, wenn man Funktionen als Eingabeobjekte von Funktionen zulässt.

35 35 Funktionen als Eingabeobjekte def verschluesselnZahlAddieren(zahl, schluessel): return (zahl + schluessel[0]) % schluessel[1] def verschluesselnZahlMultiplizieren(zahl, schluessel): return (zahl * schluessel[0]) % schluessel[1] def verschluesselnZahl(verfahren, zahl, schluessel): return verfahren(zahl, schluessel) def verschluesseln(verfahren, zahlenListe, schluessel): if len(zahlenListe) == 0: return [] else: return [verschluesselnZahl(verfahren, zahlenListe[0], schluessel)] + verschluesseln(verfahren, zahlenListe[1:], schluessel) def verschluesselnModularesAddieren(zahlenListe, schluessel): return verschluesseln(verschluesselnZahlAddieren, zahlenListe, schluessel) def verschluesselnModularesMultiplizieren(zahlenListe, schluessel): return verschluesseln(verschluesselnZahlMultip.., zahlenListe, schluessel) Die Implementierung zeigt, dass man Funktionen hier wie andere Objekte auch als Parameter übergeben kann.

36 36 Aufgabe Testen Sie die Implementierung in der Datei "ChiffriersystemModularesRechnenRekursiv.py". Erweitern Sie diese Implementierung um die Möglichkeit, Verschlüsselung auch mit modularem Potenzieren durchzuführen.

37 37 Funktionale Programmierung def verschluesseln(zahlenListe, schluessel): if len(zahlenListe) == 0: return [] else: return [verschluesselnZahl(zahlenListe[0], schluessel)] + verschluesseln(zahlenListe[1:], schluessel) verschluesseln([119, 2005, 1809, 24], (2102, 3000)) Mit Funktionen kann man programmieren. Die Programme bestehen aus Funktionsdeklarationen. Ein Programmaufruf erfolgt mit einem funktionalen Berechnungsausdruck. Funktionsdeklaration Berechnungsausdruck

38 38 Funktionale Programmierung def verschluesselnZahl(zahl, schluessel): return (zahl + schluessel[0]) % schluessel[1] def verschluesseln(zahlenListe, schluessel): if len(zahlenListe) == 0: return [] else: return [verschluesselnZahl(zahlenListe[0], schluessel)] + verschluesseln(zahlenListe[1:], schluessel) Funktionsdeklarationen werden mit Hilfe von - Funktionskomposition, - Fallunterscheidungen und - Rekursion aufgebaut. Fallunterscheidung Rekursion Funktionskomposition

39 39 Funktionale Programmierung def verschluesselnZahl(verfahren, zahl, schluessel): return verfahren(zahl, schluessel) def verschluesseln(verfahren, zahlenListe, schluessel): if len(zahlenListe) == 0: return [] else: return [verschluesselnZahl(verfahren, zahlenListe[0], schluessel)] + verschluesseln(verfahren, zahlenListe[1:], schluessel) Objekte können mit Hilfe von Tupelbildung und Listen zu neuen Einheiten zusammengefasst werden. Funktionen können als Eingabeobjekte für weitere Funktionen benutzt werden. Funktion Liste Tupel

40 40 Miniprojekte Funktionale Programmierung eignet sich sehr gut, um schnell ein System zu entwickeln und zu testen. Man konzentriert sich nur auf die "Logik" des Systems, nicht auf "schmückendes Beiwerk". Die Programme sollen dabei kurz und gut überschaubar sein. Im Folgenden soll diese Vorgehensweise anhand von drei Miniprojekten aufgezeigt werden.

41 41 Miniprojekt "Geometrische Abbildungen" Ziel ist es, ein System zu entwickeln, mit dem man einfache geometrische Operationen durchführen kann.

42 42 Miniprojekt "Automatensimulator" Ziel ist es, ein System zu entwickeln, mit dem man das Verhalten eines beliebigen Automaten simulieren kann. 1 gu Ok! akzeptor

43 43 Miniprojekt "Programminterpreter" Ziel ist es, ein System zur Ausführung einfacher imperativer Programme zu entwickeln. BEGIN p := 1; WHILE u > 0 DO BEGIN IF u mod 2 = 1 THEN BEGIN u := u – 1; p := p * b; END; u := u div 2; b := b* b; END END Interpreter {b: 2; u: 5} {b: 256; u: 0; p: 32}

44 44 Aufgabe Wählen Sie eines der Miniprojekte aus und realisieren Sie das skizzierte System. Sie können versuchen, das System völlig selbständig zu entwickeln, oder die im Folgenden angebotenen Hilfen zu nutzen.

45 45 Teil 3 Miniprojekt: Geometrische Abbildungen

46 46 Geometrische Abbildungen Ziel ist es, ein System zu entwickeln, mit dem man einfache geometrische Operationen durchführen kann.

47 47 Schritt 1: Verschiebungen Verschiebungen können mit Hilfe von Vektoren dargestellt werden. Die Abbildung von Punkten lässt sich dann durch Addition von Vektoren realisieren. Vieleck: A(0, 0), B(40, 0), C(40, 30), D(0, 30) Verschiebung mit Vektor: 10 v = 10 verschobenes Vieleck: A'(10, 10), B'(50, 10), C'(50, 40), D'(10, 40)

48 48 Listenrepräsentation Wir repräsentieren Vektoren mit Hilfe von Listen. Ebenso stellen wir Punkte und Punktfolgen mit Hilfe von Listen dar. Vieleck: [[0, 0], [40, 0], [40, 30], [0, 30]] Verschiebung mit Vektor [10, 10]: [0, 0] + [10, 10] [10, 10] [40, 0] + [10, 10] [50, 10] [40, 30] + [10, 10] [50, 40] [0, 30] + [10, 10] [10, 40] verschobenes Vieleck: [[10, 10], [50, 10], [50, 40], [10, 40]]

49 49 Aufgabe Entwickeln Sie ein funktionales Programm für die Addition von Vektoren. Um das Programm flexibel benutzen zu können, sollen Vektoren beliebig viele Komponenten haben können. Spezifikation: add [10, 0, 30] [70, 30, 70] [60, 30, 40] w v

50 50 Aufgabe Realisieren Sie jetzt die Abbildung "Verschieben" mit Hilfe der bereits implementierten Vektoraddition. verschiebenPunkt [10, 10] [50, 30] [40, 30] vektor punkt Spezifikation: verschieben [10, 10] [[30, 20], [50, 40], [80, 10]] [[20, 10], [40, 30], [70, 0]] vektor vieleck Spezifikation:

51 51 Lösungsvorschlag add [10, 0, 30] [70, 30, 70] [60, 30, 40] w v Spezifikation: def add(v, w): if len(v) == 0: if len(w) == 0: return [] else: return w else: if len(w) == 0: return v else: return [v[0] + w[0]] + add(v[1:], w[1:]) Implementierung:

52 52 Lösungsvorschlag def verschiebenPunkt(punkt, vektor): return add(punkt, vektor) def verschieben(vieleck, vektor): if len(vieleck) == 0: return [] else: return [verschiebenPunkt(vieleck[0], vektor)] + verschieben(vieleck[1:], vektor) verschiebenPunkt [10, 10] [50, 30] [40, 30] vektor punkt Spezifikation: verschieben [10, 10] [[30, 20], [50, 40], [80, 10]] [[20, 10], [40, 30], [70, 0]] vektor vieleck Spezifikation:

53 53 Test mit Turtlegrafik Testen Sie die einzelnen Funktionsdeklarationen mit Hilfe geeigneter Testfälle. Zur visuellen Kontrolle können Sie die geometrischen Objekte auch mit Hilfe von Turtlegrafik darstellen. Kopieren Sie zu diesem Zweck die Daten "xturtle.py" (von G. Lingl aus dem Buch "Python für Kids") in die Standardbibliothek von Python. Benutzen Sie die Hilfsfunktion zum Zeichnen von Vielecken (siehe "GeometrischeOperationen1.py"). Beachten Sie, dass diese Hilfsfunktion Seiteneffekte in Form von Grafiken erzeugt und damit nicht mehr rein funktional ist.

54 54 Test mit Turtlegrafik def zeichneVieleck(punkte): # wird nur zum Zeichnen benutzt if len(punkte) > 0: penup() setpos(punkte[0]) pendown() streckenzug = punkte[1:] + [punkte[0]] for punkt in streckenzug: goto(punkt) if __name__ == "__main__": # Test der einzelnen Funktionen import doctest doctest.testmod(verbose=True) # Visueller Test mit Turtlegrafik from xturtle import * reset() vieleck1 = [[0, 0], [40, 0], [40, 30], [0, 30]] vieleck2 = verschieben(vieleck1, [10, 10]) zeichneVieleck(vieleck1) zeichneVieleck(vieleck2)

55 55 Schritt 2: Streckungen Streckungen lassen sich durch Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl realisieren. Fall1: Streckzentrum im Ursprung Streckung mit dem Faktor k: multipliziere die Koordinaten der Punkte mit dem Streckfaktor k Fall 2: Streckzentrum beliebig Verschiebe erst das Streckzentrum in den Ursprung, führe die Steckung aus und verschiebe wieder zurück an den Ausgangspunkt Beispiel: Vieleck: A(30, 0), B(70, 0), C(70, 30), D(30, 30) Streckung mit dem Streckzentrum (0, 0) und dem Streckfaktor 2: gestrecktes Vieleck: A'(60, 0), B'(140, 0), C'(140, 60), D'(60, 60)

56 56 Listenrepräsentation Wir benötigen hier die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl. Vieleck: [[20, 0], [60, 0], [60, 30], [20, 30]] Streckung mit dem Streckzentrum [0, 0] und dem Streckfaktor 2: 2*[20, 0] [40, 0]... gestrecktes Vieleck: [[40, 0], [120, 0], [120, 60], [40, 60]]

57 57 Aufgabe Entwickeln Sie geeignete Funktionen zur Durchführung von Streckungen.

58 58 Lösungsvorschlag def mul(k, v): if len(v) == 0: return [] else: return [k * v[0]] + mul(k, v[1:]) def streckenPunktUrsprung(punkt, faktor): return mul(faktor, punkt) def streckenUrsprung(vieleck, faktor): if len(vieleck) == 0: return [] else: return [streckenPunktUrsprung(vieleck[0], faktor)] + streckenUrsprung(vieleck[1:], faktor) def strecken(vieleck, zentrum, faktor): return verschieben( streckenUrsprung( verschieben(vieleck, mul(-1, zentrum)), faktor), zentrum)

59 59 Schritt 3: Drehungen Drehungen lassen sich durch Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor realisieren. Fall1: Drehzentrum im Ursprung Drehung des Punktes P(x, y) um den Winkel w: cos(w) -sin(w) x x' * sin(w) cos(w) y y' Es gilt: x' = cos(w)*x + (- sin(w))*y y' = sin(w)*x + cos(w)*y Fall 2: Drehzentrum beliebig Verschiebe erst das Drehzentrum in den Ursprung, führe die Drehung aus und verschiebe wieder zurück an den Ausgangspunkt

60 60 Listenrepräsentation Wir repräsentieren Matrizen hier ebenfalls mit Hilfe von Listen.: Vieleck: [[20, 0], [60, 0], [60, 30], [20, 30]] Matrix für eine Linksdrehung um das Drehzentrum [0, 0] und dem Drehwinkel 90°: [[0, -1], [1, 0]] [[0, -1], [1, 0]] * [20, 0] [0, 20]... gedrehtes Vieleck: [[0, 20], [0, 60], [-30, 60], [-30, 20]]

61 61 Aufgabe Entwickeln Sie geeignete Funktionen zur Durchführung von Drehungen. Bei der Implementierung mit Python müssen Sie durch "import math" die benötigten mathematischen Operationen bereitstellen. Ein Aufruf der cos- Funktion lautet hier "math.cos(x)". Das Ergebnis wird im Bogenmaß geliefert. Mit "math.radians(w)" können Sie einen Winkel im Gradmaß ins Bogenmaß umrechen. Die umgekehrte Operation führt "math.degrees(x)" aus. Weitere Informationen erhalten Sie in der mitgelieferten Dokumentation.

62 62 Lösungsvorschlag def skalprod(v, w): if len(v) == 0: return 0 else: return (v[0] * w[0]) + skalprod(v[1:], w[1:]) def matrixmul(m, v): if len(m) == 0: return [] else: return [skalprod(m[0], v)] + matrixmul(m[1:], v)

63 63 Lösungsvorschlag def drehenPunktUrsprung(punkt, w): import math return matrixmul([ [math.cos(math.radians(w)), -math.sin(math.radians(w))], [math.sin(math.radians(w)), math.cos(math.radians(w))]], punkt) def drehenUrsprung(vieleck, w): if len(vieleck) == 0: return [] else: return [drehenPunktUrsprung(vieleck[0], w)] + drehenUrsprung(vieleck[1:], w) def drehen(vieleck, zentrum, winkel): return verschieben( drehenUrsprung( verschieben(vieleck, mul(-1, zentrum)), winkel), zentrum)

64 64 Weitere Ideen Erweitern Sie das System um die Möglichkeit, Spiegelungen durchzuführen.

65 65 Teil 4 Miniprojekt: Automatensimulator

66 66 Miniprojekt "Automatensimulator" Ziel ist es, ein System zu entwickeln, mit dem man das Verhalten eines beliebigen Automaten simulieren kann. 1 gu Ok! akzeptor

67 67 Schritt 1: Automatenbeschreibung Mit Hilfe endlicher Automaten kann man formale Sprachen erkennen. Der dargestellte endliche Automat erkennt die Sprache der 0-1-Wörter mit gerader Parität (gerader Anzahl von 1en). Es handelt sich um einen sog. Akzeptor, der keine Ausgaben erzeugt. Zustandsmenge: Z = {g, u} Eingabemenge: E = {0, 1} Anfangszustand:z a = g Endzustände:z E = {g} Überführungsfunktion: : (g, 0) g : (g, 1) u : (u, 0) u : (u, 1) g 1 gu 00 1

68 68 Aufgabe Der Automat lässt sich wie folgt mit Funktionen modellieren. Implemen- tieren Sie diese Funktionen. Zustandsmenge: Z = {g, u} Eingabemenge: E = {0, 1} Anfangszustand:z a = g Endzustände:z E = {g} Überführungsfunktion: : (g, 0) g : (g, 1) u : (u, 0) u : (u, 1) g 1 gu 00 1 Spezifikation: deltaP '0' 'g' e z Spezifikation: endzustandP True 'g' z Spezifikation: anfangszustandP 'g'

69 69 Aufgabe Modellieren und implementieren Sie noch einen weiteren Automaten (ohne Ausgabe).

70 70 Aufgabe Der unten abgebildete Automat zur Steuerung einer Ampel ist ein Transduktor. In jedem Zustand wird bei jeder Eingabe eine Ausgabe erzeugt. Z. B. wird im Zustand "rot" bei der Eingabe "t" (Tag) die Ausgabe "OOo" (rot an, gelb an, grün aus) erzeugt. Beschreiben Sie diesen Transduktor mit Hilfe von Funktionen.

71 71 Lösungsvorschlag Zustandsmenge: Z = {g, u} Eingabemenge: E = {0, 1} Anfangszustand:z a = g Endzustände:z E = {g} Überführungsfunk.: : (g, 0) g : (g, 1) u : (u, 0) u : (u, 1) g 1 gu 00 1 def anfangszustandP(): return 'g' def endzustandP(z): if (z == 'g'): return True elif (z == 'u'): return False def deltaP(z, e): if (z == 'g') and (e == '0'): return 'g' elif (z == 'u') and (e == '0'): return 'u' elif (z == 'g') and (e == '1'): return 'u' elif (z == 'u') and (e == '1'): return 'g'

72 72 Lösungsvorschlag def anfangszustandA(): return 'ge';; def deltaA(z, e): if (z == 'ro') and (e == 't'): return 'rg' elif (z == 'rg') and (e == 't'): return 'gr' elif (z == 'gr') and (e == 't'): return 'ge' elif (z == 'ge') and (e == 't'): return 'ro'... def lambdaA(z, e): if (z == 'ro') and (e == 't'): return 'OOo' elif (z == 'rg') and (e == 't'): return 'ooO' elif (z == 'gr') and (e == 't'): return 'oOo'...

73 73 Schritt 2: Verarbeitung v. Eingabefolgen Es soll ein Akzeptor-System entwickelt werden, mit dem eine Folge von Eingaben verarbeiten werden kann und rückgemeldet wird, ob diese Folge in einen Endzustand überführt. 1 gu Ok!

74 74 Aufgabe Erweitern Sie das funktionale Programm um die spezifizierten Funktionen. Tipp: siehe nächste Folie Spezifikation: simulatorP ['0', '1', '0'] 'u' 'g' eListe z Spezifikation: akzeptorP Fal se eListe ['0', '1', '0'] def anfangszustandP(): return 'g' def endzustandP(z): if (z == 'g'): return True elif (z == 'u'): return False def deltaP(z, e): if (z == 'g') and (e == '0'): return 'g' elif (z == 'u') and (e == '0'): return 'u' elif (z == 'g') and (e == '1'): return 'u' elif (z == 'u') and (e == '1'): return 'g' 1 gu 00 1

75 75 Aufgabe Tipp: Verallgemeinern Sie die unten an konkreten Beispielen gezeigten Problemreduktionen. 1 gu 00 1 Fall 1: Verarbeite eine leere Eingabenliste simulartorP('g', []) 'g' simulatorP('g', ['1', '0', '0']) simulatorP('u', ['0', '0'])] u'u' Fall 2: Verarbeite eine nicht-leere Eingabenliste

76 76 Aufgabe Entwickeln Sie eine Funktion zur Realisierung eines Ampelsimulators. Spezifikation: simulatorA ['t', 't', 't', 't'] [OOo, ooO, oOo, Ooo] 'ro' eListe z

77 77 Lösungsvorschlag def simulatorP(z, eListe): if len(eListe) == 0: return z else: return simulatorP(deltaP(z, eListe[0]), eListe[1:]) Fall 1: Verarbeite eine leere Eingabenliste simulartorP('g', []) 'g' simulatorP('g', ['1', '0', '0']) simulatorP('u', ['0', '0'])] u'u' Fall 2: Verarbeite eine nicht-leere Eingabenliste def akzeptorP(eListe): return enzustand(simulatorP(anfangszustand(), eListe))

78 78 Weitere Ideen Entwickeln Sie ein System, bei dem die Arbeitsweise eines Transduktors (Automat mit Ausgabe) simuliert wird.

79 79 Schritt 3: Automat als Eingabe Es soll ein universelles Akzeptor-System entwickelt werden, mit dem eine Folge von Eingaben mit einem beliebig vorgegebenen Automaten verarbeiten werden kann Ok! def anfangszustandP():... def endzustandP(z):... def deltaP(z, e):...

80 80 Aufgabe Eine Automatenbeschreibung ist ein Tripel (az, ez, de) mit: - az ist eine Funktion zur Beschreibung des Anfangszustands. - ez ist eine Funktion zur Beschreibung der Endzustände. - de ist eine Überführungsfunktion, die jedem Zustand und jeder Eingabe aus einen neuen Zustand zuordnet. Funktionen simulator 'u' eListe z Spezifikation: aut (anfangszustandP, enzustandP, deltaP) ['0', '1', '0'] 'g' Verallgemeinern Sie das bisher entwickelte Simulator-System. Benutzen Sie die folgende Vereinbarung:

81 81 Lösungsvorschlag def simulator(aut, z, eListe): if len(eListe) == 0: return z else: return simulator(aut, aut[2](z, eListe[0]), eListe[1:]) def akzeptor(aut, eListe): return aut[1](simulator(aut, aut[0](), eListe))

82 82 Weitere Ideen Entwickeln Sie ein System, bei dem die Arbeitsweise eines beliebigen Transduktors simuliert wird.

83 83 Teil 5 Miniprojekt: Programminterpreter

84 84 Miniprojekt "Programminterpreter" Ziel ist es, ein System zur Ausführung einfacher imperativer Programme zu entwickeln. BEGIN p := 1; WHILE u > 0 DO BEGIN IF u mod 2 = 1 THEN BEGIN u := u – 1; p := p * b; END; u := u div 2; b := b* b; END END Interpreter {b: 2; u: 5} {b: 256; u: 0; p: 32}

85 85 Problemvereinfachung Wir betrachten zunächst nur Programme, die aus "primitiven Zuweisungen" vom Typ := bestehen. BEGIN z := x; x := y; y := z END Interpreter {x: 2; y: 5} {x: 5; y: 2; z: 5} Ausgangs- zustand End- zustand Zuweisungs- programm

86 86 Funktionale Modellierung Spezifikation: PrimZuwSeqAusfuehren [('x', 2), ('y', 5)] [('x', 5), ('y', 2), ('z', 5)] [(':=', 'z', 'x'), (':=', 'x', 'y'), (':=', 'y', 'z')] zustand zuweisungen BEGIN z := x; x := y; y := z END Interpreter {x: 2; y: 5} {x: 5; y: 2; z: 5} Ausgangs- zustand End- zustand Zuweisungs- programm

87 87 Schritt 1: Variablenzustände Variablenzustände beschreiben die jeweils aktuellen Variablenbelegungen. Zur Verarbeitung einer primitiven Zuweisung wie z := x muss der Wert einer Variablen (hier x) bzgl. des aktuellen Variablenzustands ermittelt werden und der Wert einer Variablen (hier y) im Variablenzustand verändert (oder neu angelegt) werden. {x: 2; y: 5} z := x; {x: 2; y: 5; z: 2} x := y; {x: 5; y: 5; z: 2} y := z {x: 5; y: 2; z: 2}

88 88 Aufgabe Modellieren Sie geeignete Funktionen, mit denen der Wert einer Variablen bzgl. eines Variablenzustands ermittelt werden kann und der Wert einer Variablen im Variablenzustand verändert (oder neu angelegt) werden kann. Entwickeln Sie anschließend mit Hilfe rekursiver Problemreduktionsschemata geeignete Funktionsdeklarationen.

89 89 Lösungsvorschlag Spezifikation: VariablenWert [('x', 2), ('y', 5)] 5 'y' zustand Spezifikation: NeuerZustand 2 wert bezeichner [('x', 2), ('y', 5)] zustand 'z' [('x', 2), ('y', 5), ('z', 2)] NeuerZustand 5 wert bezeichner [('x', 2), ('y', 5), ('z', 2)] zustand 'x' [('x', 5), ('y', 5), ('z', 2)] bezeichner

90 90 Lösungsvorschlag def VariablenWert(bezeichner, zustand): if len(zustand) == 0: return '?' else: if bezeichner == zustand[0][0]: return zustand[0][1] else: return VariablenWert(bezeichner, zustand[1:]) def NeuerZustand(bezeichner, wert, zustand): if len(zustand) == 0: return [(bezeichner, wert)] else: if bezeichner == zustand[0][0]: return [(bezeichner, wert)] + zustand[1:] else: return [zustand[0]] + NeuerZustand(bezeichner, wert, zustand[1:])

91 91 Schritt 2: Zuweisungsinterpreter Mit Hilfe geeigneter Funktionen sollen jetzt einzelne primitive Zuweisungen bzw. Sequenzen primitiver Zuweisungen ausgeführt werden. {x: 2; y: 5} z := x; {x: 2; y: 5; z: 2} x := y; {x: 5; y: 5; z: 2} y := z {x: 5; y: 2; z: 2}

92 92 Aufgabe Modellieren und implementieren Sie die hierzu erforderlichen Funktionen.

93 93 Lösungsvorschlag Spezifikation: PrimZuwAusfuehren [('x', 2), ('y', 5)] (':=', 'z', 'y') zustand Spezifikation: zuweisung [('x', 2), ('y', 5), ('z', 2)] PrimZuwSeqAusfuehren [('x', 2), ('y', 5)] [('x', 5), ('y', 2), ('z', 5)] [(':=', 'z', 'x'), (':=', 'x', 'y'), (':=', 'y', 'z')] zustand zuweisungen

94 94 Lösungsvorschlag def PrimZuwAusfuehren(zuweisung, zustand): return NeuerZustand(zuweisung[1], VariablenWert(zuweisung[2], zustand), zustand) def PrimZuwSeqAusfuehren(zuweisungen, zustand): if len(zuweisungen) == 0: return zustand else: return PrimZuwSeqAusfuehren(zuweisungen[1:], PrimZuwAusfuehren(zuweisungen[0], zustand))

95 95 Schritt 3: Terminterpreter Auf der rechten Seite einer Zuweisung sollen jetzt auch beliebige Rechenterme erlaubt sein. Wir beschränken uns auf das Rechnen mit ganzen Zahlen. Als Rechenoperationen sollen daher +, -, *, / (Division ohne Rest), % (Rest bei der Division) betrachtet werden. {x: 2; y: 5} x := x-y; {x: -3; y: 5} y := x+y; {x: -3; y: 2} x := y-x {x: 5; y: 2}

96 96 Aufgabe Ergänzen Sie die bereits begonnene Funktionsdeklaration und verallgemeinern Sie den Zuweisungsinterpreter. Beachten Sie die hier gewählte Darstellung von Termen, z. B.: z+(x-y) wird dargestellt durch ('+', 'z', ('-', 'x', 'y')) x+1 wird dargestellt durch ('+', 'x', 1) def TermWert(term, zustand): if isinstance(term, int): return term else: if not isinstance(term, tuple): return VariablenWert(term, zustand) else: if term[0] == '+': return TermWert(term[1], zustand) + TermWert(term[2], zustand) else:...

97 97 Schritt 4: Bedingungsinterpreter Als nächstes sollen Anweisungen mit Bedingungen (wie z. B. if (x > 0) then...) betrachtet werden. Hierzu muss der Interpreter Bedingungen auswerten können. Der Einfachheit halber betrachten wir nur Bedingungen vom Typ. Logische Verknüpfungen von Bedingungen sollen also keine Rolle spielen. Spezifikation: BooleWert [('x', 2), ('y', 5)] ('>', 'y', ('+', 'x', 'x')) zustand term True

98 98 Aufgabe Entwickeln Sie analog zur Auswertung von Rechentermen eine Funktion zur Auswertung von Bedingungen.

99 99 Schritt 5: Kontrollinterpreter Ziel ist es, Fallunterscheidungs- und Wiederholungsanweisungen auszuführen, wie sie etwa im unten dargestellten Programm vorkommen. BEGIN p := 1; WHILE u > 0 DO BEGIN IF u mod 2 = 1 THEN BEGIN u := u – 1; p := p * b; END; u := u div 2; b := b* b; END END

100 100 Aufgabe Überlegen Sie sich eine Darstellung von Kontrollanweisungen (wie im Programm) mit den von Python zur Verfügung gestellten Datenstrukturen. Entwickeln Sie geeignete Funktionen zur Ausführung dieser Anweisungen. BEGIN p := 1; WHILE u > 0 DO BEGIN IF u mod 2 = 1 THEN BEGIN u := u – 1; p := p * b; END; u := u div 2; b := b* b; END END

101 101 Lösungsvorschlag Fallunterscheidung: ('if', (..Bedingung..), [..Then-Anweisungen..], [..Else-Anweisungen..]) Wiederholung: ('while', (..Bedingung..), [..Anweisungen..]) BEGIN p := 1; WHILE u > 0 DO BEGIN IF u mod 2 = 1 THEN BEGIN u := u – 1; p := p * b; END; u := u div 2; b := b* b; END END [ (':=', 'p', 1), ('while', ('>', 'u', 0), [ ('if', ('==', ('%', 'u', 2), 1), [ (':=', 'u', ('-', 'u', 1)), (':=', 'p', ('*', 'p', 'b')) ],[]), (':=', 'u', ('/', 'u', 2)), (':=', 'b', ('*', 'b', 'b')) ]) ]

102 102 Lösungsvorschlag def AnwAusfuehren(anweisung, zustand): if anweisung[0] == ':=': return NeuerZustand(anweisung[1], TermWert(anweisung[2], zustand), zustand) else: if anweisung[0] == 'if': if BooleWert(anweisung[1], zustand): return AnwSeqAusfuehren(anweisung[2], zustand) else: return AnwSeqAusfuehren(anweisung[3], zustand) else: if anweisung[0] == 'while': if BooleWert(anweisung[1], zustand): return AnwAusfuehren(anweisung, AnwSeqAusfuehren(anweisung[2], zustand)) else: return zustand

103 103 Lösungsvorschlag def AnwSeqAusfuehren(anweisungen, zustand): if len(anweisungen) == 0: return zustand else: return AnwSeqAusfuehren(anweisungen[1:], AnwAusfuehren(anweisungen[0], zustand))

104 104 Lösungsvorschlag def ProgrammAusfuehren(programm, zustand): return AnwSeqAusfuehren(programm, zustand) Beachten Sie, dass ein Programm hier immer eine Anweisungssequenz ist, auch wenn es nur aus einer Anweisung besteht.

105 105 Teil 6 Deklarative Programmierung

106 106 Ein Problem - zwei Lösungen Problem: Wie fügt man die Elemente einer Listen (die alle Zeichenketten sein sollen) zu einer einzigen Zeichenkette zusammen? Lösung: Wenn die Liste leer ist, dann ist die leere Liste bereits das Ergebnis. Wenn die Liste nicht leer ist, dann erhält man das Ergebnis wie folgt: Man fügt das erste Element vorne an die Zeichenkette, die man erhält, wenn man alle Elemente der Restliste zusammenfügt. def zusammenfuegen(liste): if len(liste) == 0: return '' else: return liste[0] + zusammenfuegen(liste[1:]) Lösung: Stell eine Hilfsliste "ergebnis" wie folgt zusammen: Starte mit der einer leeren Liste. Füge Schritt für Schritt alle Elemente der Liste jeweils am Ende der Hilfsliste ein. Die am Schluss erhaltene Hilfsliste ist die gesuchte Liste. def zusammenfuegen(liste): ergebnis = '' for wort in liste: ergebnis = ergebnis + wort return ergebnis Deklarativer Ansatz: Man beschreibt, welche Eigenschaften das Ergebnis haben soll, das man beim Zusammenfügen erhält. Imperativer Ansatz: Man beschreibt Schritt für Schritt den Vorgang, wie man alle Elemente der Liste zusammenfügt.

107 107 Imperative Programmierung Ansatz: Beschreiben, wie die Ergebnisse berechnet werden sollen Zentrale Bausteine imperativer Programme sind Wertzuweisungen, die i.a. den momentanen Variablenzustand (Speicherzustand) verändern. Imperative Programmierung ist wegen der Möglichkeit, Seiteneffekte zu produzieren, recht fehleranfällig. Register- maschine def zusammenfuegen(liste): ergebnis = '' for wort in liste: ergebnis = ergebnis + wort return ergebnis {liste: ['HA', 'LL', 'O']} {ergebnis: 'HALLO']} E.-Zustand A.-Zustand Anweisungen Imperative Programmierung besteht darin, eine (mehr oder weniger abstrakte) Maschine mit Hilfe von Anweisungen zu steuern.

108 108 Deklarative Programmierung Ansatz: Beschreiben, was in der Modellwelt gelten soll Die funktionale Programmierung arbeitet ohne Speichervariablen. Variablen kommen hier nur als Funktionsvariablen zur Übergabe von Funktionsargumenten vor. Seiteneffekte sind demnach in der funktionalen Programmierung nicht möglich. Das Verhalten einer Funktion wird vollständig durch die Funktionsdeklarationen festgelegt. Reduktions- maschine def zusammenfuegen(liste): if len(liste) == 0: return '' else: return liste[0] + zusammenfuegen(liste[1:]) zusammenfuegen(['HA', 'LL', 'O']) 'HALLO' Ergebnis Term Deklarationen Deklarative Programmierung besteht darin, den Problemkontext (Miniwelt) mit gegebenen Mitteln (hier: Funktionen) zu beschreiben.

109 109 Fazit Funktionale Programmierung erfolgt auf einem höheren Abstraktionsniveau: - keine Anweisungen an eine Maschine, - sondern Beschreibung funktionaler Zusammenhänge. Konsequenzen: - Funktionale Programme sind kurz. - Funktionale Programme sind leicht zu verstehen. - Funktionale Programmierung ist wenig fehleranfällig. - Funktionale Programmierung eignet sich zum Prototyping.

110 110 Literaturhinweise [Becker 99] K. Becker: Funktionale Programmierung. Materialien zum Lehrplan Informatik. LMZ (http://informatikag.bildung-rp.de/html/funktprog.html) [Becker 00] K. Becker: Problemlösen mit dem Computeralgebrasystem Derive - informatisch betrachtet. (http://informatikag.bildung-rp.de/html/derive.html) [Becker 04] K. Becker: Funktionale Programmierung mit Caml. (http://informatik.bildung- rp.de/fileadmin/user_upload/informatik.bildung-rp.de/Weiterbildung/pps/WB- FunktionaleProgrammierungCaml.pps) [Fischbacher 97] T. Fischbacher: Funktionale Programmierung. In: LOG IN 17 (1997) Heft 3 / 4, S [ISB 97] Staatliches Institut für Schulpädagogik und Bildungsforschung München (Hrsg.): Funktionales Programmieren in Gofer. Baustein zur Didaktik der Informatik. München, [Puhlmann 98] H. Puhlmann: Funktionales Programmieren - Eine organische Verbindung von Informatikunterricht und Mathematik. In: LOG IN 18 (1998) Heft 2, S [Schwill 93] A. Schwill: Funktionale Programmierung mit Caml. In: LOG IN 13 (1993) Heft 4, S [Wagenknecht 94] Christian Wagenknecht: Rekursion. Ein didaktischer Zugang mit Funktionen. Bonn: Dümmlers Verlag [Wolff von Gudenberg 96] J. Wolff. von Gudenberg: Algorithmen, Datenstrukturen, Funktionale Programmierung. Eine praktische Einführung mit Caml Light. Bonn: Addison-Wesley 1996.


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