Mathematik 11 Analytische Geomerie.

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1 Mathematik 11 Analytische Geomerie

2 1. Listenrechnung 1.1. n-Tupel
Ein Schulmensabetreiber bietet an Getränken an Sprudel ,50 € Apfelschorle 0,75 € Orangenlimonade 1,00 € Die Realschule bestellt: Das Gymnasium GSG bestellt: Das Gymnasium TMG bestellt:

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4 1.2. Listenrechnung - Rechenarten
Tupeladdition: Verschiedene Bestellgruppen Tupelvervielfachung (skalare Multiplikation) Wochenmengen Tupelsubtraktion Sonderwoche mit Feiertag

5 2. Vektorrechnung 2.1. Verschiebungen
2.2. Vektor als Repräsentant einer Klasse 2.3. Ortsvektoren

6 2. Vektorrechnung 2.4. Vektoraddition (Schafft an Spitze)
2.2. Gegenvektor (Richtungssinn umkehren) 2.3. Vektorsubtraktion (Addition des Gegenvektors)

7 2. Vektorrechnung 2.4. Rechengesetze

8 2. Vektorrechnung 2.5. Anwendungsbeispiel

9 2. Vektorrechnung 2.6. Alternativer Vektorzug
Ganz wichtig für das Verständnis ist, dass wir einen Ortsvektor auf einen Punkt X, wenn wir diesen nicht kennen, mit Hilfe eines Ersatzvektorzuges über bekannte Punkte unter zu Hilfenahme der Vekoraddition, der Vektorsubtraktion und der skalaren Multiplikation (Streckung von Vektoren) berechnen. Beispiel (Berechnung eines fehlenden 4. Punktes eines Rechteckes): A(1|1|1), B(2|1|4), D (3|0|-1) 𝑂𝑋 0𝐶 = 0𝐷 + 𝐴𝐵 = =

10 3. Einheitsvektoren als Listenkomponenten
dimensionaler Raum Für die Darstellung von Vektoren dimensionaler Raum

11 3.3 Dreidimensionales Koordinatensystem

12 4. Geradengleichung - Parameterformen
4.1.1 Punkt-Richtungsform Dabei ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes X auf der Geraden. nennt man den Stützvektor. nennt man den Richtungsvektor. λ ist der Parameter, der dafür sorgt, dass man alle Punkte X auf der Gerade erreichen kann. 𝑔 : 𝑥 = 𝑎 +𝜆⋅ 𝑢 𝑥 𝑎 𝑢

13 4.1.2. Zweipunkteform 𝑔 : 𝑥 = 0𝐴 +𝜆⋅ 𝐴𝐵 𝑚𝑖𝑡 𝐴𝐵 = 0𝐵 − 0𝐴
Dabei ist der Ortsvektor auf einen beliebigen Punkt X auf der Geraden. Als Stützvektor nimmt man den Ortsvektor auf A, Als Richtungsvektor nimmt man den Vektor λ ist der Parameter, der dafür sorgt, dass man alle Punkte X auf der Gerade erreichen kann. 𝑔 : 𝑥 = 0𝐴 +𝜆⋅ 𝐴𝐵 𝑚𝑖𝑡 𝐴𝐵 = 0𝐵 − 0𝐴 𝑥 𝑂𝐴 𝐴𝐵

14 4.1.3 Besondere Punkte λ=-1 B gespiegelt an A λ=0,5
Mittelpunkt zwischen A und B λ=2 A gespiegelt an B

15 4.1.4. Punktprobe P ist ein beliebiger Punkt in Raum oder Ebene.
Bestimme eine Lösung des Gleichungsystems. Falls eine (einheitliche) Lösung existiert, liegt der Punkt P auf der Gerade, sonst nicht. 0𝑃 = 0𝐴 +𝜆⋅ 𝐴𝐵 𝑚𝑖𝑡 𝐴𝐵 = 0𝐵 − 0𝐴

16 4.2. Lage von Geraden Lage Gleichungssystem
Lage der Stützvektoren zu Richtungsvektoren Richtungsvektoren Die Geraden schneiden sich Eine einheitliche Lösung für alle Zeilen sind linear abhängig Linear unabhängig Die Geraden sind windschief Keine einheitliche Lösung für alle Zeilen sind linear unabhängig Die Geraden sind echt parallel Nullzeile und keine einheitliche Lösung mit Variablenansatz Aufpunkt der zweiten Geraden liegt nicht auf der 1. Geraden Die Zeilen haben keine einheitliche Lösung Sind Vielfache voneinander Rv'en sind linear abhängig Die Geraden sind identisch Nullzeile und eine einheitliche Lösung mit Variablenansatz Aufpunkt der zweiten Geraden liegt auf der 1. Geraden Die Zeilen haben eine einheitliche Lösung 𝑝 − 𝑞 , 𝑢 , 𝑣 𝑝 − 𝑞 , 𝑢 , 𝑣 𝑝 − 𝑞 ≠𝜆 𝑢 𝑝 − 𝑞 =𝜆 𝑢

17 5. Ebenengleichung - Parameterformen
5.1.1 Punkt-Richtungsform Dabei ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes X in der Ebene. nennt man den Stützvektor. und nennt man die Spann- oder Richtungsvektoren. Sie müssen in der Ebene liegen, dürfen aber nicht parallel sein. λ und μ sind die Parameter, die dafür sorgen, dass man alle Punkte X in der Ebene erreichen kann. 𝐸 : 𝑥 = 𝑎 +𝜆⋅ 𝑢 +𝜇⋅ 𝑣 𝑥 𝑎 𝑢 𝑣

18 Dreipunkteform A,B und C sind drei vorgegebene Punkte der Ebene. Dann läßt sich die Ebene, in der diese Punkte liegen mit folgender Ebenengleichung beschreiben: Dabei ist der Ortsvektor auf einen beliebigen Punkt X in der Ebene E. Als Stützvektor nimmt man den Ortsvektor auf A, Als Spannvektoren nimmt man die Vektoren und λ und μ sind die Parameter, die dafür sorgen, dass man alle Punkte X in der Ebene erreichen kann. 𝐸 𝐴𝐵𝐶 : 𝑥 = 0𝐴 +𝜆⋅ 𝐴𝐵 +𝜇⋅ 𝐴𝐶 𝑚𝑖𝑡 𝐴𝐵 = 0𝐵 − 0𝐴 𝑢𝑛𝑑 𝐴𝐶 = 0𝐶 − 0𝐴 𝑥 𝑂𝐴 𝐴𝐵 𝐴𝐶

19 5.1.3. Besondere Punkte λ=-1 B gespiegelt an A λ=0,5
Mittelpunkt zwischen A und B λ=2 A gespiegelt an B

20 5.1.4. Punktprobe P ist ein beliebiger Punkt in Raum oder Ebene.
Bestimme eine Lösung des Gleichungsystems. Falls eine (einheitliche) Lösung existiert, liegt der Punkt P auf der Gerade, sonst nicht. 0𝑃 = 0𝐴 +𝜆⋅ 𝐴𝐵 +𝑙⋅ 𝐴𝐶 𝑚𝑖𝑡 𝐴𝐵 = 0𝐵 − 0𝐴 𝑢𝑛𝑑 𝐴𝐶 = 0𝐶 − 0𝐴

21 5.1.5. Punktprobe - Beispiele
A(||), B(||), C(||) sind Punkte einer Ebene. Liegt auch der Punkt D(||) in derselben Ebene?

22 6.1. Länge von Vektoren Die Länge des Vektors im ℝ³ berechnet sich
Der Abstand zweier Punkte P und Q mit den Ortsvektoren berechnet sich 𝑣 𝑣 = 𝑣 1 ²+ 𝑣 2 ²+ 𝑣 3 ² 𝑝 𝑢𝑛𝑑 𝑞 𝑃𝑄 = 𝑞 − 𝑝 = 𝑞 1 − 𝑝 1 ²+ 𝑞 2 − 𝑝 2 ²+ 𝑞 3 − 𝑝 3 ²

23 6.1.1. Beispielaufgaben (Länge von Vektoren)
Normierung von Vektoren (Bestimmung eines Vektors mit gleicher Richtung und gleichen Richtungssinn),deren Länge gleich 1 ist. Abstandsberechnung von Punkten Vermessung von Figuren und Körpern Bestimmung der besonderen Form vorgegebener Figuren und Körper.

24 6.2. Skalarprodukt von Vektoren
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist erklärt als das Ergebnis der folgenden Form einer additiven Multiplikation. Achtung: Das Ergebnis dieser Rechnung ist also eine reele Zahl und kein Vektor. Das unterscheidet diese Rechnung u.a. von der skalaren Multiplikation, deren Ergebnis ein Vekor ist. 𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 1 𝑢 2 𝑢 3 ⋅ 𝑣 1 𝑣 2 𝑣 3 = 𝑢 1 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑣 2 + 𝑢 3 𝑣 3

25 6.2.1. Orthogonale Lage von Vektoren
Zwei Vektoren liegen im ℝ² oder ℝ³ senkrecht zueinander, genau dann wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist. Bew.: 𝑢 , 𝑣 𝑚𝑖𝑡 𝑢 ≠0, 𝑣 ≠0 𝑢 ⊥ 𝑣 ⇔ 𝑢 ⋅ 𝑣 𝑢 ⊥ 𝑣 ⇔ 𝑢 ²+ 𝑣 ²= 𝑢 − 𝑣 ² ⇔ 𝑢 1 ²+ 𝑢 2 ²+ 𝑢 3 ²+ 𝑣 1 ²+ 𝑣 2 ²+ 𝑣 3 ²= 𝑢 1 − 𝑣 1 ²+ 𝑢 2 − 𝑣 2 ²+ 𝑢 3 − 𝑣 3 ² ⇔ 𝑢 1 ²+ 𝑢 2 ²+ 𝑢 3 ²+ 𝑣 1 ²+ 𝑣 2 ²+ 𝑣 3 ²= 𝑢 1 ²−2 𝑢 1 𝑣 1 + 𝑣 1 ² + 𝑢 2 ²−2 𝑢 2 𝑣 2 + 𝑣 2 ² + 𝑢 3 ²−2 𝑢 3 𝑣 3 + 𝑣 3 ² ⇔0=−2 𝑢 1 𝑣 1 −2 𝑢 2 𝑣 2 −2 𝑢 3 𝑣 3 ⇔0= 𝑢 1 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑣 2 + 𝑢 3 𝑣 3 ⇔ 𝑢 ⋅ 𝑣 =0

26 6.2.2. Normalenform der Ebenengleichung
Die Normalenform der Ebenengleichung lautet: ist ein Normalenvektor senkrecht zur Ebene ist der Stützvektor und ist der Ortsvektor auf einen beliebigen Punkt X in der Ebene Man erkennt an der Graphik: Egal wo der Punkt X in der Ebene liegt, der rechte Winkel bleibt immer erhalten, also 𝑛 ⋅ 𝑥 − 𝑝 =0 𝑛 𝑛 𝑝 𝑂𝑃 𝑥 𝑥 𝑂𝑋 𝑛 ⊥ 𝑥 − 𝑝 ⇔ 𝑛 ⋅ 𝑥 − 𝑝 =0

27 6.2.3. Parameterform → Normalenform
Zur Umrechnung muss ich einen Normalenvektor bestimmen, der auf den beiden Richtungsvektoren senkrecht steht. Den Stützvektor kann ich übernehmen. 1. Möglichkeit 2. Möglichkeit 𝐵𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑚𝑒 𝑛 𝑎𝑢𝑠𝑑𝑒𝑛𝑧𝑤𝑒𝑖𝐺𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑛 ⋅ 𝑢 =0𝑢𝑛𝑑 𝑛 ⋅ 𝑣 =0 𝑢 1 𝑣 1 𝑢 2 𝑣 2 𝑢 3 𝑣 3 𝑢 1 𝑣 1 𝑢 2 𝑣 2 𝑢 3 𝑣 3 X 𝑛 1 = 𝑢 2 ⋅ 𝑣 3 − 𝑣 2 ⋅ 𝑢 3 𝑛 2 = 𝑢 3 ⋅ 𝑣 1 − 𝑣 3 ⋅ 𝑢 1 𝑛 3 = 𝑢 1 ⋅ 𝑣 2 − 𝑣 1 ⋅ 𝑢 2

28 6.2.3. Koordinatenform der Ebenengleichung
Schreibe ich die Tupel mit ihren Komponenten so erhalte ich: Diese Schreibweise nennt man Koordinatenform der Ebenengleichung. 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 3 ⋅ 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 − 𝑝 1 𝑝 2 𝑝 3 =0 ⇔ 𝑛 1 ⋅ 𝑥 1 + 𝑛 2 ⋅ 𝑥 2 + 𝑛 3 ⋅ 𝑥 3 − 𝑛 1 ⋅ 𝑝 1 + 𝑛 2 ⋅ 𝑝 2 + 𝑛 3 ⋅ 𝑝 3 =0 ⇔ 𝑛 1 ⋅ 𝑥 1 + 𝑛 2 ⋅ 𝑥 2 + 𝑛 3 ⋅ 𝑥 3 = 𝑛 1 ⋅ 𝑝 1 + 𝑛 2 ⋅ 𝑝 2 + 𝑛 3 ⋅ 𝑝 3 ⇔ 𝑛 1 ⋅ 𝑥 1 + 𝑛 2 ⋅ 𝑥 2 + 𝑛 3 ⋅ 𝑥 3 =𝑑

29 6.2.4. Punktprobe mit der Koordinatenform
Ob ein Punkt P in der Ebene liegt, erkennen wir daran, ob die Koordinatengleichung erfüllt wird, wenn man die Koordinaten des Punktes einsetzt. 𝑃 𝑝 1 | 𝑝 2 | 𝑝 3 ∈𝐸? ⇔ 𝐼𝑠𝑡 𝑎𝑝 1 + 𝑏𝑝 2 + 𝑐𝑝 3 =𝑑?

30 6.2.5. Durchstoßpunkt einer Gerade durch eine Ebene
Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E mit Wir schneiden Gerade und Ebene, indem wir die Geradengleichung koordinatenweise in die Ebenengleichung einsetzen. Diese Gleichung lösen wir nach t auf und setzen den Lösungswert für t in die Geradengleichung ein. Der spezielle x-Vektor ist der Ortsvektor auf den Durchstoßpunkt F. 𝑔: 𝑥 = 𝑝 +𝑡 𝑢 ; 𝐸: 𝑎𝑥 1 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 3 =𝑑 𝑎 𝑝 1 +𝑡 𝑢 1 +𝑏 𝑝 2 +𝑡 𝑢 2 +𝑐 𝑝 3 +𝑡 𝑢 3 =𝑑

31 6.2.6. Lotgerade und Lotfußpunkt
Gegeben sind ein Punkt R und eine Ebene E mit Wir stellen mit dem Punkt R als Stützpunkt und dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor die Geraden- gleichung der Lotgerade auf. Anschließend ermitteln wir wie in der vorherigen Folie den Lotfußpunkt, indem wir die Geradengleichung koordinatenweise in die Ebenengleichung einsetzen und dann t und F bestimmen. 𝑅 𝑟 1 | 𝑟 2 | 𝑟 3 𝑢𝑛𝑑 𝐸: 𝑎𝑥 1 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 3 =𝑑 𝑛 = 𝑎 𝑏 𝑐 ; 𝑔: 𝑥 = 𝑟 +𝑡 𝑛 = 𝑟 1 𝑟 2 𝑟 3 +𝑡 𝑎 𝑏 𝑐

32 Abstand Punkt - Gerade 𝑅 𝑟 1 | 𝑟 2 | 𝑟 3 ; 𝑔: 𝑥 = 𝑝 +𝑡 𝑢 Konstruiere eine Ebene, die durch den Punkt R geht und senkrecht zur Gerade g liegt. Bestimme den Lotfußpunkt durch Einsetzen der Koordinaten von g in die Koordinatenform der Ebenengleichung und berechne anschließend die Länge des Vektors 𝐸: 𝑢 ⋅ 𝑥 − 𝑟 =0 𝐹𝑅

33 6.2.8. Zusammenhang Winkel - Skalarprodukt
𝑣 𝑣 ┴𝑢 𝑣 ║𝑢 𝑢 𝑢 ∗ 𝑣 = 𝑢 ∗ 𝑣 ║ 𝑢 + 𝑣 ┴ 𝑢 = 𝑢 ∗ 𝑣 ║ 𝑢 +0= 𝑢 ∗ 𝐿𝑎𝑒𝑛𝑔𝑒 𝑣 ║ 𝑢 ⋅ 𝑢 𝑢 = 𝑢 ∗ cosδ⋅ 𝑣 ⋅ 𝑢 𝑢 = 𝑢 ² 𝑢 ⋅ 𝑣 ⋅cos δ = 𝑢 ⋅ 𝑣 ⋅cos δ Für den zwischen zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel gilt: cos δ = 𝑢 ∗ 𝑣 𝑢 ⋅ 𝑣

34 Abstand Punkt - Ebene Der Abstand eines Punktes von einer Ebene läßt sich, wie in der Abbildung gezeigt, erschließen.

35 Abstand Punkt - Ebene Damit ergibt sich für den Abstand eines Punktes R (mit Ortsvektor ) von einer Ebene E: folgende Formel: 𝑟 𝑛 ⋅ 𝑥 − 𝑝 =0 𝑑= 𝑛 ⋅ 𝑛 ⋅ 𝑟 − 𝑝 𝐸: 2 −2 −1 ⋅ 𝑥 − =0 Beispiel: R(3|1|-1); a) Berechnung von b) Berechnung von 𝑛 = 2²+ −2 ²+ −1 ² = 9 =3 𝑑= ⋅ 2 −2 −1 ⋅ −1 − = ⋅ 2 −2 −1 ⋅ −5 1 −2 = ⋅ −10−2+2 = − = 10 3