Michael Artin: Geometric Algebra

Präsentation zum Thema: "Michael Artin: Geometric Algebra"—  Präsentation transkript:

1 Michael Artin: Geometric Algebra
Matrizen Michael Artin: Geometric Algebra SFZ 15/16 W.Seyboldt

2 Lit6: Arens u.a. Grundwissen Mathestudium Kap 12, S.417
Einschub Matrizen Die Matrizen lernen wir anhand des Buchs Lit2: Michael Artin: Geometric Algebra dort Kapitel 1 S.1 … S.37 (p16… p52) Weitere Literatur zu Matrizen Lit4: Zurmühl , Falk: Matrizen und ihre Anwendungen Lit5: Wolfgang Kühnel: Matrizen und Lie-Gruppen: Eine geometrische Einführung Lit6: Arens u.a. Grundwissen Mathestudium Kap 12, S.417 SFZ 15/16 W.Seyboldt

3 Beispiel: 2*3-Matrix mit 2 Zeilen und drei Spalten:
Matrizen Teil 1 Eine Matrix ist eine Ansammlung von m*n Elementen in rechteckiger Form, n Spalten, m Zeilen. M(m,n) = GL(m,n) Beispiel: 2*3-Matrix mit 2 Zeilen und drei Spalten: Die Elemente (entries) werden mit aij bezeichnet, 1 < i < m and 1 < j < n. Matrizen kann man wie Vektoren elementweise addieren oder skalar multiplizieren. Eine (n*m)-Matrix kann mit einer (m,k)-Matrix multipliziert werden. Man erhält eine (n,k)-Matrix, deren Elemente die Summe von Zeile mal Spalte ist: pij = ai1b1j + ai2b2j + … aimbmj = 𝑘=1 𝑚 𝑎 𝑖𝑘 𝑏 𝑘𝑗 M810 Artin // M818 P65 SFZ 15/16 W.Seyboldt

4 Einheitsmatrix id = E = In =
Matrizen Teil 2 Überprüfe: Berechne: Einheitsmatrix id = E = In = Falls es zu A eine Matrix B gibt, mit AB=E, dann ist B eindeutig bestimmt und B heißt Inverse von A: B = A-1. Bsp oder oder Es gilt: (AB)-1 = B-1A-1 Aufgabe: Berechne AB und BA Eine der einfachsten Matrizen ist eij: Man kann damit alle Matrizen aufbauen etwa: M810 Artin p 8 und Rose p65 SFZ 15/16 W.Seyboldt

5 Matrizen Teil 3 – Lineare Abbildungen
(n*m)-Matrizen beschreiben eindeutig lineare Abbildungen 𝑓: ℝ 𝑛 ⟶ ℝ 𝑚 mit 𝑓 𝛼𝑥+𝛽𝑦 =𝛼𝑓 𝑥 +𝛽𝑓(𝑦) Jedes f ist durch die Werte auf den Einheitsvektoren gegeben. Ist eine Matrix A gegeben, so definiert sie f(x) durch Die Matrix A bestimmt sich aus f(x) durch die Bilder der Einheitsvektoren: „Die Spalten sind die Bilder der Einheitsvektoren.“ Abbildung: Matrix: SFZ 15/16 W.Seyboldt

6 Gaußverfahren für Möchte man ein System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lösen, so macht man dies mit dem Gaußverfahren. Das LGS definiert eine Matrix A, so dass A*x=b gilt. (x und b sind Spaltenvektorenvektoren) Mit elementaren Umformungen bringt man das System auf Stufenform mit aii ≠ 0 U1: Vertauschen von zwei Zeilen U2: Addition des λ-fachen der i-ten Zeile zur k-ten Zeile (λ≠0) Fischer p47 SFZ 15/16 W.Seyboldt

7 Beispiel: Gaußverfahren mit Matrizen
Die Gaußumformungen sind Matrizenmultiplikationen mit den obigen Elementarmatrizen. Lösen eines Gleichungssystems Ax=b, A ist m*n-Matrix, betrachte M=[A|b] Das Ergebnis einiger Zeilenumformungen mit den Elementarmatrizen sei M‘=[A‘|b‘] = EM = [EA|Eb], etwa: M= =M‘ Das Ergebnis heißt reduzierte Zeilenform (row Echelon form) Nicht immer sind die Gleichungen lösbar, d.h. es gibt nicht immer ein x. Das x von M ist aber das von M‘. Hat keine Lösung: hat Lösung: SFZ 15/16 W.Seyboldt

8 Matrizen fürs Gaußverfahren / Elementarmatrizen
Invertierbare Elementarmatrix Pij mit (Pij)-1= Pij Invertierbare Elementarmatrix Qij(a) mit (Qij(a))-1= Qij(-a) Invertierbare Elementarmatrix Si(c): mit (Si(c))-1 = Si 1 𝑐 : Die elementaren Umformungen bekommt man, indem man die Matrix A mit bestimmten Elementarmatrizen multipliziert Für U1 (Vertauschen von zwei Zeilen): multipliziere von links mit Pij Für U2 (Addition des λ-fachen der i-ten Zeile zur k-ten Zeile (λ≠0): multipliziere von links mit Qik(λ) Si(c): multipliziert Zeile i mit c – wenn A von links mit ihr multipliziert Will man die Elemente über die Diagonale „noch zu Null machen“, bearbeitet man die Elemente der letzten Spalte mit der letzten Zeile, dann die der zweitletzen Spalte mit der zweitletzten Zeile, … Addiere zu Zeile i a*Zeile j - multipliziere mit E2 (E1)-1 = I-aeij Für E2X: Vertausche Zeile i und Zeile j - multipliziere mit (E2)-1 = E2 Für E3X: Multipliziere Zeile i mit c m. mit (E1)-1 = I-(1/c-1)eij SFZ 15/16 W.Seyboldt

9 Gruppe der invertierbaren Matrizen GL(n)
Die Teilmenge der invertierbaren (=regulären) Matrizen A ∈ M(n x n, ℝ ) ist eine Gruppe mit der Operation Multiplikation. Man bezeichnet die Gruppe mit GL (n; ℝ) = GL(n) = GLn - general linear group Einheitselement der Gruppe = E = I = id Inverses Element von A = A-1 Die Gruppe GLn ist normalerweise nicht abelsch (für n>1) Jede invertierbare Matrix A ∈ GL (n; ℝ) ist (endliches) Produkt von Elementarmatrizen Bi. B = Br · ... · B1 · A ist obere Dreiecksmatrix E = Bs · .. . · Br+1 · B = Bs · .. . · Br+1 · Br · ... · B1 · A A-1 = Bs · .. . · B oder A = B1-1 · .. . · Bs-1 Man sagt dafür auch, dass die Gruppe GL(n) von den Elementarmatrizen erzeugt wird. SFZ 15/16 W.Seyboldt

10 Matrix invertieren Mit dem Gaußverfahren kann man auch die Inverse bestimmen. Man ersetzt b sukzessive (oder gemeinsam) durch die Spalten der Einheitsmatrix E [A|E]= = [E|A-1] Mitunter setzt man dafür auch Spaltenumformungen ein, für die dasselbe gilt wie für die Zeilenumformungen. SFZ 15/16 W.Seyboldt

11 Bestimme die inverse eine Matrix
Beispiel (schreibe A links, rechts E, forme gleich um). SFZ 15/16 W.Seyboldt

12 Stelle A als Produkt von Elementarmatrizen dar
Aufgaben Stelle A als Produkt von Elementarmatrizen dar Zeigen Sie: A = 𝐴= 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 ∈𝑀(2∗2) ist invertierbar ⇔ 𝑎𝑑− 𝑏𝑐 ≠ 0. Berechnen Sie in diesem Fall die Inverse von A. Zeigen Sie, die zweidimensionalen Drehmatrizen (nach links) sind. Bestimmen Sie die Inverse. Beweisen Sie ihre Aussage. Was ist Rα ∙ Rβ Im dreidimensionalen gilt (Drehung um x-, y- z-Achse): Fischer, Algebra p195 SFZ 15/16 W.Seyboldt

13 Lese Arens: S. 443 Beispiele, rechne nach
Aufgaben Lese Arens: S. 443 Beispiele, rechne nach Lese Arens S Invertieren von Matrizen GLn(K) = {A ∈ Kn×n | A ist invertierbar} K steht hier für die reellen oder komplexen Zahlen (oder…) Lese S. 449 Invertieren von Matrizen, vor allem das Beispiel S. 450 und das Beispiel S. 452 Bearbeite die Aufgaben Lit3, S (p46-) Abschn 1 Nr. 1-7, 12, 15, 16 Abschn 2 Nr. 2, 5 Lese Arens: S. 421 Lineare Abbildung und Matrizen SFZ 15/16 W.Seyboldt

14 Determinaten als Fläche / Determinatenabbildung
Jeder quadratischen Matrix A wird eine Zahl zugeordnet, die Determinate det(A) Es gilt für 2*2-Matrizen: Die Det kann man als Quotient Fläche der von den Bildvektoren / Fläche der v on den Urbildvektoren aufgespannten Fläche, siehe nächste Folie Die beiden Vektoren 𝑥 = 𝑎 𝑏 und 𝑦 = 𝑐 𝑑 seien die Bilder der Einheitsvektoren in x- und y-Richtung Der Vektor 𝑥′ = −𝑏 𝑎 ist senkrecht zu 𝑥 (klar, Skalarprodukt ist Null) mit gleicher Länge. Tragen wir den Vektor 𝑥′ in (a,b) ab, erhalten wir den Winkel δ zwischen 𝑥′ und 𝑦 . Die Fläche A des Parallelogramms ist Grundseite g=| 𝑥 | mal Höhe h= 𝑦 ∗cos⁡(δ). Also ist aufgrund der Definition des Skalarprodukts 𝐴= 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ cos δ = 𝑥′ ∗ 𝑦 ∗ cos δ = −𝑏 𝑎 𝑐 𝑑 =𝑎𝑑−𝑏𝑐 =det 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 Determinanteabbildung: Oder Fischer, Algebra p198 SFZ 15/16 W.Seyboldt

15 Eigenschaften der det-Abbildung
Die Menge der quadratischen Matrizen wird mit 𝑀𝑎𝑡(𝑛,ℝ) bezeichnet. Unter einer Determinantenabbildung verstehen wir eine Abbildung det:𝑀𝑎𝑡(𝑛,ℝ)⟶ℝ mit den folgenden Eigenschaften: det ist linear in linear in jeder Zeile. det(A)=0, wenn zwei Zeilen übereinstimmen. det(E)=1 Satz: Es gibt genau eine Determinantenabbildung. Für jedes λ ist det(λ · A) = λ · det A. Entsteht B aus A durch eine Zeilenvertauschung: det B = - det A . Ist A eine obere Dreiecksmatrix mit den Diagonalelementen λ 1 , … λn so gilt det(A) = λ 1 • … • λn det(A · B) = det A · det B det (A-1) = (det A)-1 Vorsicht! Normalerweise ist det⁡(𝐴 + 𝐵) ≠ det⁡(𝐴) + det⁡(𝐵) SFZ 15/16 W.Seyboldt

16 Determinaten 2-dim Matrizen
3-dim Matrizen, Regel von Sarrus det(A) = aei+bfg+edh-ged-hfa-idb Der Laplacesche Entwicklungssatz gestattet die Berechnung der Determinante von beliebigen Matrizen (n*n) iterativ mit Hilfe von Matrizen (n-1*n-1) - man entwickelt nach einer Zeile oder Spalte, z.B. Für die Vorzeichen der Unterdeterminanten gilt der Vorfaktor (-1)i+j Man wählt sinnvollerweise Zeilen oder Spalten mit vielen Nullen. SFZ 15/16 W.Seyboldt

17 Lösung des LGS mit Determinaten
Cramersche Regel Lösung des LGS mit Determinaten Die Cramersche Regel ist in der Regel nur von theoretischem Nutzen, da der Rechenaufwand in höheren Dimensionen exorbitant ansteigt. SFZ 15/16 W.Seyboldt

18 Aufgaben - Maxima und Matrizen
Bearbeite Arbeitsunterlagen.docx Matrizen – Übung 2 SFZ 15/16 W.Seyboldt